（本文根據網上的一些科普內容改寫而成。）
在介紹宇宙大爆炸和黑洞的文章里，“奇點”這個概念經常出現，讓很多人感到困惑。所謂奇點在數學上是指一個分數的分子為有限值而分母趨於零的極限。例如正切函數tan(x),當x從89度逐步逼近90度時，tan(x)無限趨近於正無窮大；當x從91度逐步逼近90度時，tan(x)無限趨近於負無窮大；當x無限接近90度時，tan(x)趨於無窮大，但無法判定正負，tan(90)就是一個數學奇點。
在現實物理世界中，任何具體的度量都是有限的，所謂無窮大是一個數學上外推的概念。例如力學中的所謂質點，是“質量為m（體積為0）的點”，要深究它的密度會是個棘手的問題。在經典力學中，忽略質點所占的空間體積，不關心它的密度，並不影響對問題的求解，因此質點是一個理想的研究對象。但如果研究對象進入微觀領域，或者宇宙的宏觀尺度，密度無限大的影響可能就不能如此輕易地迴避了。
根據愛因斯坦的廣義相對論引力場方程，巨大質量所帶來的引力場將會使其附近的空間發生強烈的彎曲。在曲線的任意位置上取一段無限短的弦，都可以視其為某個圓弧的一部分；而它所對應圓的半徑越小，曲線在該處的彎曲程度（曲率）就越大。正如一盤極為細密的蚊香，其理論燃燒速度會隨着接近中心而越來越快，而終點處曲率的理論值為無窮大。引力場方程的一個非平凡解表明，中心質量達到一定門檻的引力場可以使它周圍的空間彎曲到在“視界”或者說史瓦西半徑以內的任何物質（包括光）都無法逃逸出來，這就是所謂的黑洞。黑洞的中心是一個空間曲率為無窮大的奇點。
事實上，廣義相對論引力場方程的每一個非平凡解都對應着一個“特殊的”宇宙。愛因斯坦曾經為了使其中一個解所對應的宇宙模型符合當時占主導地位的“靜態宇宙學說”，在引力場方程中添加了一個被稱作宇宙項的常數。1929年哈勃等人的觀測表明我們所處的宇宙正在不斷地膨脹而非靜態，其相應的膨脹宇宙解正是場方程去掉宇宙項的一個非平凡解。愛因斯坦其後承認添加宇宙項是他一生中犯下的最大錯誤。
在霍金、彭羅斯之前的理論認為：宇宙始於150億年前的一次大爆炸，終局根據場方程的具體參數可能是大坍塌，也可能會持續膨脹到接近絕對零度的死寂（或許可以認為是熵無限大的一個奇點）。宇宙從奇點創生並終結於奇點；在奇點附近，質量無窮大、空間曲率無窮大、基本物理定律包括場方程本身都會失效。換句話說，所以有關初始以及終結的問題都被排除到物理學定律的適用範圍之外：完全無可奉告。
如果宇宙真的始於一個奇點，那麼從現在向過去追溯，必然會到達一個“沒有從前”的時間原點。追問它之前究竟是什麼的問題“沒有意義”，這個奇點雖然是愛因斯坦廣義相對論的必然推論，但它對於充滿好奇心的科學家來說在感情上終究很難接受。霍金同學就是這樣一個不太安分守己的科學家。他在提出的宇宙膨脹中的奇點理論之後四年勇敢地否定了自己之前理論，用量子理論的路徑積分找出了迴避奇點的方法。簡單地說，如果只考慮時間，霍金的新宇宙是連續的：任何時候都存在時間，即使在大爆炸之前或者大坍塌之後也不例外。
直觀地看，霍金的新宇宙模型象一個球形，北極點對應於宇宙誕生的大爆炸。宇宙從北極點開始，球的緯度圈對應於着宇宙的大小，隨着時間的推移，宇宙逐漸沿北緯80度、70度、60度……的方向膨脹。目前對應着宇宙誕生後大約150億年，大致為北緯40度。再過100億年左右，宇宙會膨脹到最大也就是赤道的位置。然後轉入收縮，最後是大坍塌，相當於模型的南極點。
在數學上，新宇宙模型的南、北極並沒有像奇點這樣的特殊構造。問題是，如果大爆炸對應着北極，那麼大爆炸之前難道要對應“比北極更北”的地方嗎？霍金的辦法是定義大爆炸以前的時間為虛數，這樣就可以不依靠奇點，“平坦地”解釋宇宙的初始與終結。問題是消滅了奇點卻又引入了令人費解的“虛數”，那麼虛時間究竟是什麼呢？
狹義相對論認為光速不變，長度及時間因測量方法的不同而不同，時間與空間都是運動的維度。設x、y、z為三維空間互相垂直的三個坐標軸，t為時間。為了使時間成為可用長度表示的維，以時間與光速c的乘積ct作為第四維的軸。這四維坐標軸彼此垂直，兩個點在四維空間中的距離S定義為:
x**2 + y**2 + z**2 -(ct)**2 = S**2
這就是所謂四維時空中的勾股定理，這個擴展勾股定理表示了四維時空中的光速不變性。已知四維時空中兩個點的距離為S，它們之間的時間差是多少呢？如果S**2 > x**2 + y**2 + z**2，則有：
t = i * Sqrt(S**2 - x**2 - y**2 - z**2)/c
這是否在暗示我們，時間本身就是一個虛數呢？相對於實實在在伸展的空間(x、y、z），時間似乎真的是虛無漂渺的呢！
以此為基礎，再來看對應於宇宙時間“初始點”的北極。經線的長度ct表示時間，緯線的長度r表示空間（縮減為一維的圓圈）。球面上近距離兩點（時空）間的距離的平方等於緯度線方向上距離的平方（r**2）與經度線方向上距離的平方[-(ct)**2]之和，即：
S**2 = r**2 -(ct)**2
當我們把這個應用到北極點上就會遇到困難，因為從北極點只能引出經線，沒有緯線，因此r=0，在那裡S**2隻能為負數，因此我們必須特殊地對待北極點：把它看作奇點。這個模型叫做弗里德曼時空模型。
然而，如果我們定義在北極點的鄰域時間為it（虛數）,則有：
S**2 = (ct)**2
這就是霍金等人所採用的所謂德西特時空模型，它迴避了對北極點的特殊奇點處理。在弗里德曼模型里，北極點象東正教的尖屋頂一般突起，而德西特模型則圓滑地象個皮球。
更進一步，如同霍金所假設的，在宇宙的最初時間是虛數，那麼
力 = 質量 * 加速度 = M * Δr / (Δt)**2
由於Δt為虛數，力的方向由引力變為反向的斥力，鎖定能量的禁錮在一瞬間消失，揭開了宇宙大爆炸的序幕。在此瞬間後不久時間由虛變實，引力再次成為主宰，回到了廣義相對論能夠提供解釋的膨脹狀態。可見，虛時間不僅消除了大爆炸的奇點，還解釋了大爆炸的原因。但是它又引出了一個新的老問題：到底什麼是虛時間？它為什麼會從虛轉實？
