初露才華

早在中學時代，洪加威在數學上就已才華綻露。

那是在剛上初二的時候，一天，他看到上高中的哥哥在解這樣一道數學題：兩個正方形，一大一小，問切成幾塊後能拼成一塊大的正方形。看到哥哥和他高年級的同學都在為此而冥思苦想，洪加威好奇地拿來題目，不料很快就把它做了出來。大家的誇獎並沒使他中斷思考，他又在想：到底什麼樣的兩塊圖形能夠切成有限塊互相拼來拼去呢？

當時的《數學通報》上經常刊登一些數學難題征解，他非常喜歡動腦筋去解幾道難題，隨着本領的漸漸增長，他終於把上面的問題的一般性定理獨立做了出來。

上了高中，洪加威更迷上數學了，這裡面有詩畫一般的意境，深入進去會使人流連忘返。他開始試着把自己想出的一些定理加以證明（實際上前人已證明），然後就寫成一篇篇“學術論文”，不料有些文章還被當作學生習作在雜誌上發表了。

數學成績的突出並沒有使洪加威因而影響全面發展，他的興趣太廣了。下棋、拉琴、作曲、演戲以至於集郵、航模，他簡直無一不愛。各門功課的成績都非常出色，使得他的中學老師對他格外器重：“好好學，不久的將來一定能成為科學家的。”是的，洪加威對此也充滿了信心。

1955年秋，洪加威以優異的成績考上了北京大學數學系。從此，他告別了父母、老師，告別了培育他5年的母校南昌一中，來到這座嚮往已久的科學家的搖籃，美麗的燕園。從小就活潑好動的洪加威，在這裡更是如魚得水，他身體健康，性情爽朗。多才多藝。他是北大民族管樂隊的二胡演奏手，繪畫和書法也很不錯。在學習方法上，他更喜歡標新立異，看數學書，別人仔細看定理的證明，而他卻把一條定理都當作習題做出來。出色的學習成績，很快引起了老師們的注意和好評。

到了高年級，系裡開始分專業了，洪加威專攻數理邏輯和計算機專門化這個年輕的數學分支。數理邏輯課上，洪加威的才華受到系主任段學復和丁石孫老師的賞識，他們覺得像他這樣有才能的學生在經歷中是不多見的。過了不久，計算機程序理論課程也開設了，洪加威第一次領略這門年輕學科的風采。當時在這個領域的研究，我們和日本是大體上同時起步的，以洪加威當時的狀況，如果繼續深造，取得突破性的成果是可以預期的。然而，1958年“紅專辯論”開始了，他作為“白專”典型受到重點批判。從此，他的成才之路荊棘叢生，為了實現學用一致的願望他付出了整整18個春秋。

種種考驗

1960年，23歲的洪加威在北大畢業了。這位難得的高材生，即沒能到科研部門，也沒能留在高等學府，而被分配到北京市計量管理處標準化科當科員。那時，丁石孫是“反右傾”運動重點批判對象，段學復實際上成了一個掛名的系主任，對洪加威的分配，雖深表惋惜，但都愛莫能助。

剛參加工作的洪加威還是想認認真真於點象樣的事情。他認真學習了許多政治理論著作，決心走出一條了解和認識社會的新路。他打起背包，主動到京郊各地去搞實地調查。沒過多久，他就根據實地了解，寫出了《北京昌平縣小農具質量情況的調查》、《北京市皮、布鞋質量情況的調查》等10多篇報告。幾個月後，《人民日報》發表了一篇重要社論《大興調查研究之風》，洪加威的實踐得到了證實。

在市計量處積極工作的同時，對於研究數學理論的渴望，有時又使他禁不住在同事們喝茶聊天的時候抽空讀點專業書，演算幾道數學題。不料這件事引起了旁人的不滿，想抓緊時間多學點東西卻被指責為“種自留地”，鬧得他很苦惱，名聲還挺“臭”。他曾提出請求調換一個和專業接近點的工作，但在當時那種科技幹部“單位所有制”的條件下，他也只得照樣天天干着近乎“打雜”的工作。“難道從此就這樣離開心愛的數學了？”洪加威心裡實在想不通，他感到茫然。

1962年，廣州會議後國家制訂的“科研十四條”下達了，在職人員有報考研究生的機會。洪加威滿懷信心，躍躍欲試。深謀遠慮的丁石孫老師，早就認為洪加威去搞計算機領域最能發揮他的特長，就介紹他去報考吉林大學王湘浩的研究生。王教授是搞計算機科學方面的權威，洪加威是多麼希望能投考這個專業啊！他馬上向領導提出請求，但得到的答覆是不能去外地上學，要考只能考北京的。但北京當時並沒有招收這方面專業的研究生啊，這不是明擺着不讓考嗎？這樣就放棄嗎？不，改考別的專業。他立即找到了原系主任段學復，段先生很同情洪加威當時的處境，鼓勵他改學“群論”。可洪加威原不是學習代數專業的，離考試期只有兩個月了，他只有奮力拼搏才有希望。白天上班，只能利用早晚攻讀，即使乘公共汽車他也爭分奪秒看幾頁書……這一年招考研究生是解放以來最嚴格的一次，題目很難。段先生為能讓洪加威有迴旋餘地，特意出了比規定多一倍的題目供部分選做，出乎意料的是，在指定的考試時間裡，洪加威竟出色地答出了全部考題，終於成了段學復的研究生。然而就在同時，他卻因患肺結核而病倒了，一個新的考驗又降臨了，為了能保全這個難得的學習機會，洪加威決定抱病從師。

群論，是代數學裡的一個重要分支。段學復教授早年曾在加拿大和美國留學，在有限單群方面頗有建樹。洪加威在很短的時間裡就讀完了段先生指定的代數基礎課程，接着他開始攻讀群論方面的英文專著《有限群的模表示論》。一年以後，他參加了由段教授和王莒萼芳老師主講的一個群論討論班，儘管“四清”運動使討論班受到影響，但它還是始終堅持下來了。良師益友加個人勤奮，洪加威登堂入室，很快就到達了這個領域科研的前沿。1965年，他完成了一篇數學論文《關於P（KP+1）（KP+2）階的單群》，它的水平已相當於國外一篇很好的博士論文。13年後，這篇論文被評為全國科學大會重大貢獻成果獎。然而，洪加威當時對這項工作總感覺有點不過癮，他希望能搞點更具有開拓性的和更有思想性的工作。接着，他相繼又寫了第二篇、第三篇論文。使段學復先生多年感到遺憾的是洪加威的第三篇論文，這篇論文裡涉及一個找到世界上第六個零散單群問題，因為前五個“零散單群”是本世紀以前人們發現的，段先生十分了解當時洪加威的研究進展，覺得如果再深入一步成功大有希望，然而人為的因素終止了這項研究。不久終於讓國外同行搶先找到了第六個零散單群。

1965年底，洪加威卓有成效的研究工作中斷了，他還是被專業不對口的原單位要回。疑惑、苦悶、憂慮。3年多的艱苦努力結局竟還如此……洪加威的肺結核加重了，無情的手術刀切除了他的右肺下葉。接着，摧毀科學文化的風暴席捲而來，使他更加陷入困境。

1969年，洪加威被下放到京郊南口人民公社七間房大隊接受“再教育”。由於他機敏好學的特點，很快竟當上了大隊的赤腳醫生和公社的農業技術員。在這個廣闊的天地里，再去研究群論是沒有希望了，但不久，推廣優選法的熱潮把他吸引住了。搞不成群論，研究一下應用數學總可以吧！當時，優選法中的一個基本的問題：黃金分割法為什麼是最優的問題始終沒有人能解決。洪加威細心研究了這個領域，他一面勞動，一面冒着很大的政治風險，利用工余搞研究。很快，在極缺乏資料的情況下，憑藉他十幾年的雄厚數學基礎，黃金分割為什麼最優的問題被徹底解決。他把寫好的《關於一維優選的理論研究》一文寄給了當時正在搞優選法推廣工作的華羅庚教授，華羅庚看到後很希望把他調到自己身旁工作或安排他到有關研究所工作。然而，在那種動亂歲月中，像他這樣一面學生時代的“白旗”，文革期間他的父親——一位老工程師，也因莫須有的罪名被趕回原籍，又使他蒙上家庭成份不好的陰影，他自然被種種理由拒之門外。

幾年裡，洪加威為了能有一個用他所長的工作崗位，四處奔波，想盡辦法，然而所有單位的回答都是“不要”。難道我的事業就此為止了？此刻，他開始感到彷徨、沮喪，生活已是第三次向他開了大玩笑，他似乎不再抱什麼希望，因為希望的結果往往帶來更大的失望。此時的洪加威，從一個對國家民族，對自己都充滿希望的熱血青年，仿佛一下子變成另外一個人。此後，畫畫、下棋、音樂，甚至烹調、縫紉成了他發揮聰明才智的地方，最富於創造性的年華就這樣一天天地消磨過去了……

平靜的生活使他漸漸冷靜下來，他時常感到空虛和不安。後來他想，作為一個普通的中國人，一個受國家培養多年的知識分子，總應該為國家、民族做點最有價值的事，站着等，不如干着瞧。這樣，一旦有用武之地，也不致悔恨自己磋跎歲月。即便等不到那一天，在我們臨終的時候也可以對自己說：我一生雖無做成什麼大事，但對生我養我的祖國母親，也不能算是交了張白卷吧。從此，他更加發憤了。為了進城求知識，他只得經常借宿同學家，有時乾脆躺在西直門火車站的長椅上過夜。為了想一個問題，他甚至可以幾天幾夜不睡覺。十幾年沒有一個固定專業，他不得不在數學許多分支里東碰西撞。然而，這卻激勵了他，磨鍊了他，他期待着有朝一日能在事業中大顯身手。

XY語言的研製

1974年，洪加威終於結束了5年之久的“下放幹部”生活，來到剛成立不久的“北京市計算中心”工作。在這裡，儘管他在理論研究方面的優勢難以施展，但他很快就在計算機應用方面發揮了巨大的創造才能。

事情是這樣的，70年代初，我國開始生產一種加工精度很高的數控機床。經過幾年這一新產品就已遍及全國各地，成為各工業部門用來製造模具和加工精密零件的重要工藝裝備。然而，這一先進裝備在當時卻拖了我國模具生產的後腿。

原來，所謂“數控”機床就是利用數字來控制機床的運行。每當生產一個零件時，工人們必須根據圖紙進行計算，再把計算數據做成一卷鑿着一個個圓孔的紙帶裝入一台光電機里，它就能“指揮”機床自動加工零件。然而，這種靠手工編制加工程序的方法非常麻煩，有時工廠為了編出一套模具程序，組織五六十人“會戰”三四個月，但是在機床上一加工，零件卻成了廢品，原來不定是誰又計算錯了！難怪有的老工人說：“我國線切割機床的切割速度是世界第一流的，但手工編程卻是老牛破車！”

為了解決當時我國模具生產直接面臨的“老大難”問題，看來只有請計算機“出馬”了。

北京、上海等許多擁有計算機的研究部門、大專院校都投入力量開展了這項應用計算機進行自動編程的研究。所謂自動編程，就是要先給電子計算機編制一個“軟件”，只要把模具圖紙的形狀、尺寸告訴它，這個軟件就可以指揮計算機自動地計算、編程，並輸出一條控制模具加工的紙帶。當時在美國已有一套大型數控語言——APT語言，但直接在國內使用它還有許多障礙。因此，許多研究部門都想把APT語言搬用一部分內容，經改造用於線切割機的自動編程。

北京計算中心也投入這項研究工作。外地取經、下廠調查，大家從不同渠道，熱火朝天地搞起這個“迫在眉睫”的課題來。

洪加威在實際接觸中感到，美國的APT語言儘管是一種高級數控語言，但對我國線切割行業的實際問題存在着許多不便之處，它在設計上也有許多缺點。“我們何必都只在APT語言上做文章呢？”洪加威心想，“應當根據面臨的實際情況，搞一個新的語言系統。”

他根據自己的初步想法擬定了一個方案，但剛一提交就被否決了。

“自己搞一個語言系統難度太大了，還是借鑑美國的APT型照搞一個吧！”有人說道。

少年時代就形成的強烈創新意識沒有使洪加威就此罷休。“不，要搞就應創新，要自己設計搞中國式的。”他決心已定，寧可單槍匹馬，也要大幹一場。

1976年深秋，洪加威在一間矮小的地震棚里，開始了緊張的設計工作。

搞一個應用系統的軟件，對一個人來說的確是件異常艱巨的任務。在這項工作里，洪加威多年養成的“注重方法”的特點得到了充分的發揮。新起爐灶，重新設計一個像APT那樣的大型數控語言，至少要花費幾十個人一年的工作量，這條路顯然行不通。如果在某種現成的算法語言上簡單地添一點內容，來實現自動編程的功能，工作量雖小，但它的功能不強，工廠的同志用起來也很不方便。洪加威苦心積慮，終於想出了一個兩全其美的辦法。

當時國產計算機上使用一種科學計算語言——BCY系統，他十分巧妙地給這套語言系統做了一個“大手術”。打個比方，如果把計算機比作一個花盆，把原有的BCY語言系統比作生長在盆中的一片大的仙人掌，那麼，洪加威設計的這種線切割語言就好像是嫁接在仙人掌上的蟹爪蓮，由於它可以從母體中吸收更為豐富的營養，所以它的枝葉更為繁茂，它的花朵兼有二者的特性。為了使這套語言最精練、最有效，洪加威用上了一切可能的方法，夜以繼日地趕寫着。

僅僅一個月，手編程序就完成了。下一步要在計算機上進行調試，對這套程序做逐項檢查。然而，當時計算中心的計算機總是忙得晝夜運轉，像他這樣的“單幹戶”，就更難有足夠的機時。出於無奈，洪加威馬上想出了一個“高招”，他調試之前設計好一個通用的模擬程序，利用別人停機做準備工作的空隙，就能很快地上機打出一卷他所需要的數據，從這些數據紙帶上，就能方便地獲得調試手編程序所需要的一切。這巧妙的方法竟使調試應花時間奇蹟般的縮短了。

3個月之後，一種高效的國產線切割語言誕生了。根據特徵，洪加威給它起了一個響亮的名字——XY語言。

1976年以前，我國計算機基本用於科研，XY語言是第一個被廣大工廠、工人所接受的直接用於生產第一線的應用軟件。洪加威在設計語言時考慮到，要想迅速使自己的研究化為生產力，就必須在語言的易於普及上下大功夫。因此他在設計時將大量難度較大的專門知識“隱藏”在軟件內部，同時採用中文和拼音描述模具。這種“深入淺出”的處理便於記憶，易於書寫，語言精練，容易掌握，功能極強。投入使用後，工人們反映：這個語言降低了線切割編程人員文化水平要求，清除了對計算機的神秘感。一般具有初中文化程度的人，學上3天，就能掌握。

如同一篇結構嚴謹、結論漂亮的數學論文，XY語言中傾注了洪加威那精湛的數學造詣和良好的美學修養。因此，XY語言一誕生就顯示了它的巨大生命力，受到生產部門同志的一致稱道。首先，眾多的“老大難”模具編程問題被解決了。某工廠過去想生產一種“人形槓桿”，由於它形狀奇特，幾次手算都算不出來，先後拖了兩年之久，但XY語言一上馬，這個技術難關只消半小時就被迎刃而解了。一些過去認為形狀古怪難以計算的零件，現在卻能在很短的時間內用這套語言編出程序。同時，由於在編寫上極為嚴密準確，使得這套語言體系所有語句都準確無誤。多年使用XY語言的同志都知道，凡計算上出了毛病，一定是計算機硬件系統出了故障，因為軟件絕無問題。這套語言投入使用後的近10年裡，竟不需要修改任何一條指令，也沒有碰到一個解決不了的線切割編程問題，這在同行業中是極罕見的。它足以反映洪加威當初設計時的良苦用心。1980年一位美籍華人軟件專家回國時看到XY語言及其應用高興地說：“想不到，祖國在這方面有這麼高的水平。”美國耶魯大學計算機科學系一位教授1984年回國看到它時說：“今天把這種語言開發到美國去都是很受歡迎的。”

科學技術一旦被開發出來，交給生產者掌握，就會迅速化為生產力。計算中心和北京機電學院的許多同志，為了能讓XY語言更好地服務於生產第一線，開展了大量艱苦、細緻、深入的工作。

試用、擴充、移植、推廣，一期期XY語言培訓班之後，回報的是祖國各地生產第一線同志們一封封熱情洋溢的感謝信。

“這個語言解決了我廠生產關鍵，我們不再依靠進口，節省了大量外匯……”

“工藝的精度問題解決了，全廠職工向你們致敬”

洪加威他們的科研成果，經過9年多的開發、推廣工作，今天已成為我國模具行業的關鍵技術，創造着巨大的物質財富，有着深遠的社會效益。有人算過一筆賬，一套模具本身價值在千元以上，每套模具又要生產出千千萬萬個零件，每套模具產生的直接經濟效益以1萬元計，9年來其經濟效益也在100億元以上。這項成果終於在1985年獲國家級科學技術進步二等獎。

XY語言的研製成功，並沒有使洪加威停步不前。他，又在思考着更新的研究課題。十一屆三中全會召開以後，黨制定了一系列關於大力發展科技、實行對外開放的政策，像春風吹遍了祖國大地，也吹暖了洪加威那顆曾一度飽受苦悶和失望的心。少年時代立志成為優秀科學家的夢想又在向他招手，他鼓起勇氣，決心攀登計算機理論的世界高峰。

走向世界

1978年初，美籍華裔著名科學家王浩教授來華訪問，經丁石孫介紹，王浩了解了洪加威的工作能力，回國後他把這些情況及洪加威早年在《中國科學》上發表的兩篇論文介紹給國際計算機理論界的權威——多倫多大學的柯克教授。第二年10月，洪加威受柯克邀請，以客座教授的身份去多倫多和美國研究和講學。正是這次北美之行，洪加威以他那機智幽默的性格和極出色的工作，給北美許多科學家以及整個計算理論界留下了難以忘懷的印象。

在十二屆計算理論會議上，洪加威作為第一個中國代表以“三個中國人的故事”深入淺出地介紹了他出訪後的第一篇成果《關於決定性空間完全性問題》。在這之前，理論界的許多學者找到了時間的完全性問題，非決定性空間的完全性問題，但一直沒有找到決定性空間完全性問題。報告一結束，洪加威和他的故事立即成為會議間學者們的話題。幾十位著名科學家爭先前來道賀。

“這真是三天會期間最好的報告。”

“聽你的報告真是一種享受。”

不認識他的人都在問：“這個報告人是誰？你認識嗎？太好了！”

大會閉幕這一天，洪加威一下子接到了美國許多大學的邀請。

斯坦福、麻省、康乃爾邀他去演講。

伯克利、羅徹斯特邀他去教學。

卡內基一梅隆大學邀他去研究。

於是，會場上紛紛傳說：“三個中國人的算法”已經被10個大學請去工作了。

但是，最讓洪加威高興的，卻是會議主席米勒告訴他的話：“ACM過去跟中國的聯繫太少，以後一定要特別加強。”

洪加威在ACM會議上宣讀的第一篇論文，雖然贏得國際學者的普遍好評，但他真正的重大成果還在後面。在多倫多做研究時期，使他有機會了解計算理論界的最新動向和一系列重大課題。縱觀這一領域幾十年來的風雲變幻，一個重大的突破性課題在他胸中逐漸醞釀成熟。

1980年10月13日，在美國紐約州西諾求斯市，第二十一屆計算機科學基礎會議隆重召開。這是國際上理論計算機科學中最重要的會議之一，具有最長的歷史和最高的水平。這天到會的代表，包括許多第一流的著名計算機科學家，卡爾普、羅賓，還有柯克教授，他們都帶來了最重要的成果。

10月15日，洪加威帶着自信的微笑走上這莊嚴的國際講台。600多人濟濟一堂，聚精會神地聽着這篇具有開創性的學術報告《計算的相似性與對偶性原理》。

“自從圖靈論題提出以來，我們知道，不同的計算模型是等價的。但我最近得出，任何合理模型所使用的並行時間、序列時間和存儲空間在本質上都是一樣多的，即具有所謂的相似性……”洪加威用流利的英語做了開場白。

轟鳴般的掌聲中洪加威結束了講演。多少計算機科學家用敬慕的眼光看着他，他把現代計算機科學的基礎——圖靈論題，從本質上向前推進了一步。“真是太漂亮了，一個驚人的報告！”著名學者鮑羅廷感慨地說道下屆大會主席羅森伯向洪加威表示祝賀時說：“你的報告不僅在成果上是傑出的，在報告藝術上也是超群的。”加州大學卡爾普教授在給洪加威的一封信中寫道：“聽你傑出的報告是一種巨大的享受，你的研究是計算機複雜性理論中迄今所得的最傑出的成就。”

為了說明洪加威這篇論文究竟有什麼重大意義，我們還要從圖靈論題談起。

千百年來，數學家們都確信這樣一個事實，凡是正確的數學命題，就一定能找到證明的方法。然而，德國數學家哥德爾在1931年發表了一篇爆炸性的論文，它證明了有些正確的數學命題是不可以被證明的。這個結論把一個重要的數學難題擺在了人們的面前：怎樣判斷一類數學問題是機械可解的，或者說能通過有限的固定步驟得到解決？正當許多大數學家一籌莫展之時，英國一位24歲的數學家圖靈異想天開地搬出了一種“理想計算機”，並且說，凡我這台計算機能算出的，就是可計算的，凡我這台計算機算不出的，就是不可計算的。這就是赫赫有名的“圖靈機”。那麼是不是一切判斷能否計算問題非要在圖靈機上定義，用別的計算模型就不能定義呢？接着，圖靈提出了這樣一個論題：只要在一個模型下可以計算，那末在別的“合理”的模型下也可以計算，你能算的我也能算，你不能算的我也無可奈何。這便是日後被稱為計算機科學基石的圖靈論題。

然而，圖靈只考慮任何數學問題在理論上是否可計算，卻沒有研究實際當中能否計算的問題。換句話說，即使現代最快的計算機，也仍得考慮時間的因素。舉個例子來說，寫出26個英文字母的全部排列，即使一架機器每秒能寫一億個排列，也需要好幾億年才能完成。由此可見，計算問題光考慮能否計算還不行，還得講點“效率”，這便是當今計算理論界最熱門的複雜性問題。

洪加威剛剛跨入這個領域時，正值理論界群星薈萃，百家爭鳴的年月。許多有名望的學者都在不同側面、具體問題上探索着複雜性理論。他沒有把精力耗費在別人的成果上做些添枝加葉的工作，而是以高屋建瓴之勢，洞察到了複雜性理論關鍵問題的所在。他把圖靈論題推進了一大步，提出了這個轟動理論界的相似性原理。這個原理指出：不但各合理模型能否計算的問題是一樣的，而且計算模型所用到的三種資源：並行時間，串行時間及存儲空間在本質上一樣多。它表明，不僅計算的可能性是客觀實在，而且計算的複雜性也是一種客觀實在。

“會當凌絕頂，一覽眾山小”。作為一個出色的科學家，不僅需要有滴水穿石般積累起來的紮實功底，更需要具有那種能透過具體問題，觀其大略、扭轉乾坤的氣魄。相似性原理不僅統一了所有的計算模型，而且統一了所有的計算類型。因而它已成為現代複雜性理論中的重要的基礎工作之一。

加拿大多倫多大學計算機科學系主任鮑羅廷寫給我國有關負責人的信中說：“洪加威的論文是質量很高的研究篇章。我認識到，這些論文對我的思路和我的同事柯克教授和拉道夫教授的思路都產生了影響……洪加威已成為對我們系做出巨大貢獻的人。”

新的想法

19世紀，印度哲學家辨喜說過：“最偉大的東西是世界上最簡單的東西，它和你自己存在一樣簡單。”這句話告訴了人們這樣一個道理：不要忽視你身旁那些看來習以為常的小事，因為這裡面往往會有寶藏。

《中國科學》1986年第三期刊登了《能用舉例子的辦法來證明幾何定理嗎？》等兩篇文章，這是洪加威回國後的又一項重要成果。這篇題材別開生面的論文不僅對計算機證明平面幾何定理的研究工作跨進了一大步，而且對多年來數學界的一個傳統觀念提出了新的看法。

要了解這項新工作，還得從有關歸納推理問題講起。打這樣一個比方，假如你第一次吃蘋果，發現蘋果是甜的，你再吃第二個、，第三個……當你吃了一定數量的蘋果之後，你會得出一個結論：“蘋果吃起來有甜味”，雖然你並沒有吃掉世界上所有的蘋果。這種歸納式的推理本是人們常用的，是一種非常合乎邏輯的推理形式。然而，這種從特殊的事例概括出一般性知識的思想方法在數學上卻站不住腳。

兩千多年前，古希臘數學家歐幾里得寫了一本劃時代的偉大著作《幾何原本》。他在書中總結了古希臘的數學成果，用公理法建立起演繹的數學體系。這部書裡，歐幾里得僅從5條公理、5個公設及一些原始定義出發，演繹出幾百條命題和定理，從而征服了人類的心靈。這種演繹的推理方法至今仍統治着數學界。

“凡人總要死的，張三是人，因此張三是會死的。”

這是一個典型的演繹推理，它的前提和結論之間的聯繫是必然的。在數學中，從歐幾里得以來，只有經過這種把一般性知識應用到特殊場合的推理才能在證明的過程中使用。如果誰在數學裡從幾個特殊的例子慨括出一般性的結論，那麼這種結論只能被稱為猜想，不能叫做定理。因為它還尚待嚴格證明。像著名的哥德巴赫猜想至今也還未最後被證明出來。

在中學的課堂上，數學老師總是這樣告誡學生：“數學是一門最嚴格的科學，它的每條定理，都是由前面正確的結論經演繹推理而得到的，在數學裡，決不允許靠舉幾個例子來證明問題……”如果哪個學生“膽敢”靠舉幾個正確的例子來證明一道幾何命題，那他一定要“吃”零分，因為這是數學上的大忌。

然而，從學生時代起就喜歡“異想天開”的洪加威對數學裡這個司空見慣的觀點卻發生了疑問。一天，他和著名數學家吳文俊教授一起閒談，講到了這樣一個平面幾何問題：

“我們在紙上隨便畫一個三角形，再連上它三邊上的高，如果畫得仔細就會發現三高交於一點。不妨多試幾次，但每次的結果都是如此。於是你肯定會認為，這要不是一條定理才怪呢！因為這是一個多麼直觀又簡單的推理過程啊！如果能按一定的方式找出幾個特例來證實這個平面幾何定理成立，那麼不就能藉助計算機來證明平面幾何問題了嗎？”

“想法是好，但怎麼把這個問題嚴格化呢？”吳文俊教授問道。

是啊！有大膽的設想，還需要有解決問題的手段才行。計算機複雜性理論的研究工作剛告一段落，洪加威立刻又把全部精力投入這一數學的新領域。

數學，以它精密而無懈可擊的論證方式贏得了科學女皇的美名。它一向被人們描述為是一門抽象的、演繹的科學，純理智的精英。然而另一方面，在數學的萌芽和發展階段中歸納推理也立下過“汗馬功勞”。有人研究過，原始人通常總用一隻手拿一件物品，正是經過無數次的反覆和歸納，最終才從“多”的概念中分出數字“一”的概念。數學史上的偉大革命——微積分的誕生也與歸納推理密切相關。牛頓等人從前人解決的大量變量問題中歸納出有價值的想法，歸結出微分和反微分兩個問題，完成了科學史上的一大勳業。撫今追昔，洪加威在想：“歸納和演繹兩種推理，它們像一對孿生兄弟，都是人類認識自然的基本方法。可是它們為什麼這樣水火不容呢？歸納和演繹兩者關係的問題，一定有些很深奧的東西在裡面。但究竟如何突破呢？”他繼續往下想着。

“歸納推理的好處是簡單易行，但卻不嚴密可靠，而演繹推理是嚴密可靠的，但卻不簡單易行。能不能用演繹推理的方法來證明某種歸納推理的嚴密可靠性呢？”

事實上，歸納推理作為科學研究方法幾乎和演繹推理有同樣悠久的歷史。早在兩千多年前，亞里士多德就把歸納—演繹方法作為認識自然的統一方法一併提出。而古老的數學分支——平面幾何，恰恰是歸納推理和演繹推理歷史上分道揚鑣的地方，洪加威希望在此找到一個突破口。

經過嚴密的論證，洪加威在理論上終於證實了他的想法。在中國數學會五十周年年會上，他的《能用計算一個實例的辦法證明幾何定理嗎？》一文，引起了數學界同行們的極大興趣和關注。根據這一方法，對於一個平面幾何的命題只要按一個簡單的公式給出一個數值特例，然後對該特例進行驗算。如果這個命題對該特例在一定誤差範圍內正確則命題一般地精確地成立，否則不成立。於是可以用近似計算代替傳統的三段式的推理。這項工作的意義和價值，將有待今後數學界、計算機科學界以及哲學界的學者們去評判。

唯物辯證法是宇宙間一切事物的根本大法，在數學這門嚴密的學科中也毫不例外。洪加威以他出色的思想方法再次證實了恩格斯早年的一句名言：“歸納和演繹，正如分析和綜合一樣，是必然互相聯繫着的。不應犧牲一個而把另一個捧到天上去，應當把每一個都用到該用的地方去，而要做到這一點，就只有注意它們的相互聯繫、它們的相互補充。”

洪加威是新中國培養起來的新一代科學家，他個人成長曆程中的起落興衰與我們整個國家民族的命運是緊密相聯的。他時刻都沒有忘記，在極左路線盛行、是非顛倒的年代，有多少老師、同學曾給他以鼓勵和支持，又有多少熱心的好同志、好領導冒着風險保護和幫助過他。在他的每一份成績里，都蘊含着祖國人民對他的殷切希望。當有的外國科學家勸他留在國外時，他這樣寫道：“他們知道我的水平，但是不知道我的心。我生為中國人，死為中國鬼，為了祖國的榮譽，我願奮鬥終生！”

現在，洪加威雖已是一個年近五旬的人，但始終保持一顆年輕人的心，他正以旺盛的精力開拓、探索人類思維奧秘的新領域。但他把更大的希望寄予下一代青年同志。他常這樣講：“我是一個樂觀派，對科學的未來和人類的前途我充滿信心。因為在歷史的長河中，人類現在還不過是一個嬰兒。它將在信息時代中改造自己，達到出神入化的地步，變成一個比現代人類高千萬倍的新人類。”

一位早期數學家說得好：“不是心靈中的詩人，就不可能成為數學家。”是的，洪加威多麼像一個滿懷豪情的詩人。他筆下的一行行符號、公式、公理，不就是美妙的詩篇嗎？這是一首首讚頌科學、頌揚真理、憧憬着人類美好明天的詩！