青年時代

約翰·馮·諾依曼1930年12月28日生於匈牙利布達佩斯一個殷實的猶太人家庭里。他的父親曾受匈牙利國王弗朗茲·約瑟夫的冊封，獲得低等貴族稱號。

在布達佩斯，當時是數學界人才輩出的時代，馮·諾依曼與西拉德（1898年）、維格納（1902年）和特勒（1908年）相比，仍然是他們中間的佼佼者。關於他的童年，有不少傳說。有的故事說他的記憶力十分驚人。他自幼愛好歷史學，幾乎過目成誦，終於成了拜占庭史的行家，還諳熟聖女貞德審訊的詳情以及美國南北戰爭的細節。

有人曾說，他只要看過電話本的某一欄，即能諳記欄內的姓名、地址和電話號碼。他不但機智過人，還富於幽默感，愛好雙關語和俏皮的打油詩。

大多數的傳說都講到他自童年起在吸收知識和解題方面具有驚人的速度。他6歲時能心算做八位數除法，8歲掌握微積分，12歲就讀懂領會了波萊爾的大作《函數論》的要義。

馮·諾依曼十幾歲時曾得到一位叫L.拉茲的頗有才智的中學教師的教誨，不久以後，他成了M.法格蒂和L.法傑爾的弟子。L.法傑爾人稱“許多匈牙利數學家的精神之父。”

馮·諾依曼的父親因考慮到經濟上的原因，請人勸阻年方17歲的諾依曼不要成為數學家。後來父子倆達成協議，諾依曼便去攻讀化學。1921～1925年，他先後在柏林和蘇黎世學習化學。1926年諾依曼同時獲得蘇黎世化學工程文憑和布達佩斯數學博士證書。

馮·諾依曼20歲時發表的序數定義，現在已被普遍採用，他的博士論文也是關於集合論的；他的公理化方法，在這個主題方面，留下了不可磨滅的標記。他一生中始終對集合論和邏輯抱有很大的興趣。儘管1931年哥德爾證明了“數學的無矛盾性是不可能證明的”，說明數學推理能力有局限性，然而這僅僅使諾依曼情緒有過短暫的波動。

他在柏林（1926～1929年）和漢堡（1929～1930年）當過無薪大學教授（報酬直接來自學生的學費）。在這段時期，他離開了集合論，從事兩個課題：量子理論和算子理論方面的工作。他被新的物理概念所激勵，更廣泛深入地進行無限維空間和算子的純粹數學的研究。基本見解是希爾伯特空間中的向量幾何和量子力學系統的態結構之間有着同樣的形式性質。馮·諾依曼論述量於力學的著作（德文本），在1932年發表，它被譯成法文，（1947年）、西班牙文（1949年）和英文（1955年）。至今，該文仍是這個主題的經典著作。諾貝爾獎金獲得者E.維格納，在一篇描述馮·諾依曼對量子力學所作貢獻的講演中說：量子力學方面的貢獻，就足以“確保馮·諾依曼在當代理論物理領域中的特異地位。”

在普林斯頓大學

1930年，馮·諾依曼以客座講師的身份赴普林斯頓大學講學，任期一學年，次年即應聘當了普林斯頓大學的教授。1933年高級研究院成立時，他是研究院數學所奠基時代的六位教授之一，並在這一職位上了其一生。

1930年馮·諾依曼與瑪利埃塔·科維茜結婚，1935年生了一個女兒，取名瑪利娜。馮·諾依曼神童般的幼年預示他將來必成大器，歲月果然證實了這點，他很快就成為數學界的明星。在他揚名數學界的同時，關於他的種種趣聞軼事也廣為傳播開來了。他是個世界主義者，然而，成為美國公民卻是他自己作出的選擇。

馮·諾依曼家裡常舉辦持續時間很長的社交性聚會，這是遠近皆知的。約翰尼（約翰的暱稱）自已飲酒不多，但決非滴酒不沾的人。他偶爾也玩撲克牌，不過，打起牌來，他總是輸家。

1937年馮·諾依曼與妻子離婚；1938年又與克拉拉·丹結婚。克拉拉·丹隨諾依曼學習數學，後來成為優秀的程序編制家。多年後，克拉拉在一次接受記者採訪談及她丈夫時說道：“他對自己家的屋子一點兒幾何頭腦也沒有，連個位置都搞不清楚……一次在普林斯頓，我叫他去給我取一杯水，過了一會兒他回來了，問我玻璃杯在哪裡。我們在這所房子裡住了17年……他從來沒有用過錘子和螺絲刀，家裡的事，除了修拉鏈以外，他一點也不做。他修拉鏈可以說是‘手到病除’。”

馮·諾依曼決不是那種臉譜化的大學教授樣子。他是個粗壯結實的男子漢，衣着整齊、講究。自然有人說他有時是何等的心不在焉。克拉拉告訴我，一天早晨馮·諾依曼從普林斯頓的家裡驅車出發到紐約赴約會，車抵新不倫瑞克時，他又打電話回來問他妻子：“我上紐約去幹什麼？”當然這可能不完全貼切，不過我還是想起有一天下午我開車送他回家的情形。因為那天晚上他家有一次聚會，我自己又記不清到他家的路途。於是我就問他，我下次再來時怎樣辨認他的那所房子。他告訴我說：“那可容易，街邊有家鴿啄食的那所房子即是我家。”

馮·諾依曼思考問題的速度真是令人敬畏。G.波列亞也承認，“約翰尼是我唯一感到害怕的學生。如果我在講演中列出一道難題，講演結束時，他總會手持一張潦草寫就的紙片向我走來，告訴我他已把難題解出來了。”無論是抽象的求證還是運算，他做起來都是得心應手的，不過他對自己能熟練地運算還是格外感到滿意和引以為豪。當他研製的電子計算機準備好進行初步調試時，有人建議計算一道涉及2的冪的計算（這道題大致是這樣的：具有下列性質的最小冪是什麼，當它的十進數字第四位是7時？對現在使用的計算機來說，運算這道題根本不費吹灰之力，它只需幾分之一秒的時間即可取得運算結果）。計算機和約翰尼同時開始運算，約翰尼竟領先完成了運算。

一個著名的故事說到，阿伯丁檢驗場的一位青年科學家有一個複雜的式子需要求值。第一個特解，他花了十分鐘時間，第二個特解，他用筆和紙運算了一個小時。第三個特解，他不得不求助於台式計算機，即使是用了台式計算機他還是得花上半天的功夫。當約翰尼進城時，這位青年科學家把公式遞上去向他求教。約翰尼自然樂於相助。“讓我們先來看看前面幾個特解的情況。如果我們令n=1，我們可求得……”——他昂首凝思，喃喃而語。年輕的提問者頓時領悟到它的答案，便插嘴說，答案“是2.31吧？”約翰尼聽了後不解地看了他一眼並說：“我們現在令n=2，……”他思索着，嘴唇微微啟動。這位年輕人由於事先胸有成竹，當然能摸得到約翰尼的演算過程，在約翰尼就要算出答案前的一瞬間，這位青年科學家又插話了，這次他用一種遲疑的口吻說：“是7.49嗎？”這次，約翰尼聽了不免蹙起了眉頭，他連忙接下去說：“如果令n=3，那末……”還是一如既往，約翰尼默念了片刻，青年科學家在一旁偷偷地聽到了他計算的結果。還沒等約翰尼運算完畢，青年科學家就喊了出來：“答數是11.06。”這下約翰尼可受不了啦。這完全不可能。他從未見過有初出茅廬之輩能勝過他的！他一時陷入了心煩意亂之中，一直到開玩笑的傢伙自己向他承認事先已作過筆算以後，他才平息了心頭的慍怒。

另一則趣聞是所謂著名的蒼蠅難題。兩名自行車選手在相距20英里以外以每小時10英里的勻速從南北兩向相對而行。與此同時，有一隻蒼蠅以每小時15英里的勻速從南行的自行車前輪出發，飛往北行的自行車的前輪，然後再返回南行自行車的前輪，依此情形不斷往返，直到蒼蠅被輾死在兩輛自行車的前輪之間。問：蒼蠅飛行的總距離是多少？緩慢的解題方法是先求出蒼蠅北飛的第一段距離，然後求出南飛的第二段距離，然後再求出第三段距離，最後計算出由此求得的無窮級數的總和。快捷的解題方法是從觀察中知悉，兩輛自行車出發後整一個小時即相遇，因此蒼蠅恰好只有一小時的飛行時間；因此，答案一定是15英里。當有人向馮·諾依曼提出這道難題時，諾依曼不加思索就解了出來，這使提問者十分失望：“呀，你一定曾經聽說過其中的奧妙！”諾依曼反問道：“你說的是什麼奧妙？我僅是求出了無窮級數呀！”

有人記得馮·諾依曼講課時曾講過算子環問題。他提到，算子環可以分成兩類：有限對無限一類，離散的對連續的為另一類。他接下去說：“這就會引出總共四種可能性，這四種可能性每種都能成立。或者——讓我們想想——它們能成立嗎？”聽講者中間有好幾位數學家在他的指導之下研究這一課題已有相當一段時間了。如果稍稍停頓略加一番思考，對四種可能性—一核驗決不是太麻煩的事。一點也不費事——每種可能性只需用幾秒鐘時間核驗，如果把思索和轉話題的時間加進去，總共不過費十秒鐘時間。但是，兩秒鐘以後，馮·諾依曼已經在說：“是的，四種可能性都能成立。”大家還沒從迷茫之中清醒過來跟上他的講演，他已經就開始講解下文了。

鮮明的個性

嚴格地說，匈牙利語不是一種四海通行的語言，所以所有受過教育的匈牙利人必須能操比他們本國語更具廣泛使用價值的一種或幾種語言。馮·諾依曼一家在家裡都說匈牙利語，然而他能極熟練地使用德語、法語，當然還有英語。他說英語的速度很快，在語法上也經得起推敲。但是在發音和句子結構方面，不免使人想起很像德語。他的“語感”還不能算是盡善盡美，遣詞造句不免複雜。

他準備講演時幾乎從來不用筆記。有人看到他對一般聽眾作非數學專業的講演開始前五分鐘作的準備。他坐在研究院的休息室里，在一張卡片上粗略地塗寫上隻言片語，比如：“動機的形成，5分鐘；歷史背景，15分鐘；與經濟學的關係，10分鐘……”

作為一個數學講演者，他會使人感到應接不暇。他說話很快，但吐字清楚，用詞確切，講解透徹。比如，如果一個課題可能有四種公理方法，大多數教師只滿足於展開一個或最多兩個系統，最後再附帶提及其他兩個。馮·諾依曼則不然，他喜歡把情況的“全部圖景”描繪出來。也就是說，他會具體描述從第一導致第二的最短捷徑，從第一至第三，然後再繼續下去一直到12個可能性為止。

他講課時擦黑板太快，十分令人不愉快。他板書討論中關鍵性的公式，當公式中的符號可由別的符號來替代時，他不作適當的修改重寫公式以標明替代部分，與此相反，他擦抹去可替換的符號，代之以新的符號，這種做法不免使記筆記的聽講者泄氣，特別是他為了繼續他的推理過程同時還一直滔滔不絕才智橫溢地講個不停。

他所闡述的原理是那麼平易自然，他的風格是那樣的令人折服，所以要聽懂他的講演，不必一定是個數學行家。然而，聽講者幾小時以後會感到，一般的記憶力已支撐不住因果內含的微妙平衡了，聽講者會感到迷惑和不足，需要聽取進一步的講解。

作為一個數學著作家，馮·諾依曼的思路清晰，但脈絡分明稍遜。他的著作行文有力，然而雅致尚嫌不足。他似乎喜歡搞細微末節和不必要的重複，各種數學符號運用得過於詳盡而有時會令人摸不着頭腦。他在一篇論文中首次使用了一種普通函數符號的引申，以此來保持邏輯上的正當區分，而不顧這種明顯的區分事實上是無關緊要的。除了運φ（x）的標準符號以外，他還使用了一種φ((x))的符號。讀者必須進行瑣細的分析，由φ((x))求得φ(((x)))，最後再求得φ((((x))))，所以會出現這樣的方程式：

(φ((((x)))))2=φ((x)))

要消化吸收這種方程，一定要先除去外皮才行，一些出言欠遜的學生把這篇論文中的公式稱為馮·諾依曼的洋蔥頭。

馮·諾依曼十分注意細節，原因之一可能是他感到自己動手運算求證要比博引旁證約定俗成的定規要來得簡捷。結果就難免使人產生一種印象，他似乎對標準文獻資料了解甚少。如果他需要從勒貝格積分理論中援引若幹事實，即使是熟悉的事實，他總是情願全力以赴，從最基本的符號下定義開始，逐步展開一直到他能加以引用的步驟。在第二篇論文中，如果他又需要引用積分理論，他又會從頭做起。

論文中一長串的尾標，添標上又加上添標，論文中充滿了可避免的代數計算，這在他看來並沒有什麼不好。其中的原因可能是他從大處着眼，不願樹木淹沒在森林之中。他樂於考慮數學問題的各個方面，而且思維周密。他著書立說時從不以居高臨下的口氣對讀者說話，僅是告訴讀者他的見解而已。這種做法倒也高明，結果是很少有人能找到機會可以給馮·諾依曼的著作提出批評指正的。

因為馮·諾依曼30歲以後便與教育機構失卻了正式的關係，所以他的學生人數是屈指可數的；他一生中只指導過一篇博士論文。然而經過講演和不拘形式的談話，他在自己的周圍雲集了一小批弟子，弟子們各自繼承了他研究的數學科學的某個領域。這批弟子中有J.W.卡爾金，J.查尼，H.H.戈爾茨坦，P.R.哈爾姆斯，I.哈爾普林，O.摩根斯頓，F.J.默里，R.沙頓，I.E.西格爾，A.H.陶布，以及S.烏拉姆。

馮·諾依曼決不因為自己能敏銳地把握事物而駐足不前，他是一個勤奮工作的人。他的夫人說：“他在家寫作總要到深夜或黎明時分才擱筆。他的工作能力驚人。”除了在家裡工作以外，他在辦公室也孜孜不倦地工作。他每天一早就到研究院，一直到很晚才離開，其間他十分珍惜時光，決不讓光陰白白流逝。他辦事事無巨細都安排得井井有條，文章校對也很細心。

馮·諾依曼在數學科學上對學問的探求是激流勇進的，這是他引人注目同時時又令人欽佩的品質。他在數學領域的學問和知識可謂廣博，從他的整個知識結構看還不免有缺陷，特別是數論和代數的拓撲。

聰明才智，加上敏捷和勤奮必然會結出豐碩的成果。馮·諾依曼的著作《選集》一書中，收集了他的150餘篇文章，其中約60篇是純粹數學（集合論、邏輯、拓撲群、測度論、遍歷論、算子論以及連續幾何學），20篇屬於物理學，60篇屬於應用數學（包括統計學、博弈論以及計算機理論），還有幾篇零星的文章。

多領域的成就

馮·諾依曼數學家的聲譽是在1930年才較好地確立起來的，主要依賴於他在集合論、量子論和算子論方面的工作。然而就純粹數學而言，他走過了三個歷程。第一是遍歷性定理的證明。遍歷性假設，可以精確地敘述為在希爾伯特空間上的算子理論，這正是馮·諾依曼早期用來使量子力學精確化的論題。馮·諾依曼敘述和證明了現在著名的關於酉算子的遍歷性定理，並且用於算子理論的研究，取得了成功。

1900年，大衛·希爾伯特提出了著名的23個問題，它們總結了當時數學知識的狀況，而且指明了今後所需做的工作。1933年，阿·哈爾證明了在拓撲群中存在着適當的測度（後來稱為哈爾測度）；他的證明發表在數學年刊上。在發表前，馮·諾依曼已接近了哈爾的結果，他清楚地看到這恰好是求解希爾伯特第五問題的一種特殊情況（緊緻群）時所需要的，他的文章也發表在同一期數學年刊上，恰好緊接着哈爾的文早。

1930年下半年，馮·諾依曼發表了一系列關於算子環的論文（部分論文是和F.J.摩萊合作的）。該理論現在稱為馮·諾依曼代數。也許，這是馮·諾依曼最值得人們銘記不忘的著作。它是算子理論在技術上最光輝的發展，它推廣了許多有限維代數的熟知結果，是量子物理研究中最強有力的工具之一。

算子環理論的一個驚人的新的生長點是由馮·諾依曼命名的連續幾何。普通幾何論述維數為1、2、3的空間。在他論算子環的著作中，馮·諾依曼已看到，實際上決定一個空間的維數結構的是它所容許的旋轉群。馮·諾依曼陳述了使得連續難數空間有可能成立的公理。這幾年中他不斷地思考和論述連續幾何的論題。

1940年，是馮·諾依曼科學生涯的一個轉折點。在此之前，他是一個通曉物理學的登峰造極的純粹數學家；1940年以後則成為了一位牢固掌握純粹數學的應用數學家。他開始對把數學應用到物理領域去的最主要的工具偏微分方程發生了興趣。此後，他的文章主要是論述統計、衝激波、流問題、水動力學、空氣動力學、彈道學、爆炸學、氣象學以及把非古典的數學應用到現實世界去的兩個新的領域：博弈論和計算機。

馮·諾依曼曾提出用聚變引爆核燃料的建議，並支持發展氫彈。1949年軍隊的嘉獎令讚揚他是物理學家、工程師、武器設計師和愛國主義者。

馮·諾依曼在政治和行政方面的決策，很少站在所謂的“自由主義”這一邊。他有時還站出來主張對俄國發起一場預防性的戰爭。早在1946年，原子彈試驗就遭到了持反對意見者的批判，但是馮·諾依曼卻認為它們是必需的。他不同意J.R.奧本海默反對核彈爆炸計劃的意見，而且敦促美國在俄國掌握它之前就着手建造，然而在一次國會安全聽證會上，他說：奧本海默是以“良好的願望”反對這個規劃的，但是一旦作出繼續製造超級炸彈的決定，他的意見就是“很有建設性的。”他堅信奧本海默是一個可靠的人。

他是原子能委員會的成員，不得不“思考某些不可思議的問題”。他推動聯合國去研究世界範圍的放射性效應。早期太平洋原子彈試驗的放射性外逸事件中，死亡一人。並使200人受傷，這件事幾乎引起了全世界的關注。馮·諾依曼將這次事件與日本的某一次渡船事件造成的損失作了對比，渡船事件中有1000人死亡（其中包括20名美國人）。損失大大超過前者，於是他斷言：為了用先進的技術來裝備工業，承受某些儘可能小的損失，看來還是難免的。

馮·諾依曼不僅曾經將自己的才能用於武器研究，而且他還發現，自己的時間和能力可以用到所謂的博弈論中去，這種理論主要用於經濟學研究。博弈論的數學基礎是一個命題，稱為極大極小定理。極大極小定理用於處理一類最基本的二人博弈問題。如果博弈雙方中的任何一方，對每種可能的博弈策略，考慮了可能遭到的極大損失，從而選擇“極大損失”。極小的一種策略為“最優”策略，那麼從統計角度來看，他就能夠確保方案是最佳的。

數理經濟學，過去模仿經典數學物理的技巧，所用的數學工具主要是分析（特別是微積分），將經濟問題當作經典力學問題處理，這種方法的效果往往不太有效。馮·諾依曼拋棄力學的類比，代之以新穎的觀點（對策論）和新的工具（組合和凸性的思想）。

博弈論在未來的數學和經濟學中所處的地位，當時還不容預料。但是有些博弈論的熱情支持者已經認為：博弈論可能會是“二十世紀前半期最偉大的科學貢獻之一。”

對馮·諾依曼聲望有所貢獻的最後一個課題是電子計算機和自動化理論。計算機運行過程的邏輯成分是什麼，從不可靠的元件組成的一台機器要得到實踐上可靠的答案的最好辦法是什麼，一台機器需要“記住”些什麼，用“存儲器”裝備它的最好辦法是什麼，能否造一台機器，不僅能節約計算工作而且也能減少建造新機器的困難，即能否設計一台自己能再生產的自動機，一台計算機能否成功地模仿“隨機性”，使得當沒有公式可遵循時，也能解出一個具體的物理問題（如怎樣尋求一個最優的轟炸模型），計算機能通過大量的概率實驗，推得一個統計上精確的答案嗎？這些都是馮·諾依曼研究的問題。他為解答這些問題，作出了基本的貢獻。

馮·諾依曼還提倡將計算機技術用於各個不同的學科領域，從求解偏微分方程的近似解，到長期精確的天氣預報，以至最終達到控制天氣。他建議研究的最引人注目的題目之一是對北極“冰帽”染色，以期減少它們輻射出的能量，提高地球熱能，讓冰島的惡劣氣候變得接近於夏威夷。

科學院交給馮·諾依曼的最後一個任務是整理和發表耶魯的西列曼講座的成果。他住醫院期間，還一直在做這件工作，但是沒有最終完成。他在整理西列曼講座中所用的方法，用詞的精確性，也間接地證明了，在多方面作出過卓越貢獻的馮·諾依曼，始終首先是一位數學家。

離開人間

馮·諾依曼是他所處時代的傑出人物。他接受了多種榮譽和學位，包括普林斯頓（1947年）、哈佛（1950年）和伊斯坦布爾（1952年）的學位。他在1951～1953年間，擔任美國數學協會主席，他也是好幾個國家的科學院院士。1956年，他在身患不治之症時，接受了E.費米獎。

馮·諾依曼1955年得病，經過檢查，結果確診為癌症。病勢在擴展，但即使在旅途中，他也不停止工作。後來他被安置在輪椅上，但仍在思想、寫作以及參加會議。1956年4月，他進入沃爾特·里德醫院，以後就未曾離開過。

馮·諾依曼思考問題的清晰程度，在任何情況下，都比我們大多數人的水平要來得高。N.維格納和馮·諾依曼都是傑出人物，他們的名字都將留傳於後世。但是，他們又是不同類型的人物，維格納觀察事物深刻而又直覺，而馮·諾依曼看問題清晰並且邏輯性強。

是什麼因素使得馮·諾依曼不同凡響的呢？是他思考問題時理解和思考力超常迅速呢，還是能牢記各種事物的非常的記憶力呢？不！這些品質，儘管它們可能給人印象深刻，但不是決定性的。

“公理方法”有時被看作為馮·諾依曼取得成功的奧秘。在他的手中，公理方法並不是迂腐的而是直觀生動的；他通過把注意力集中於基本性質（公理）上，以求把握問題的實質，然後由此出發推演出一切。同時，公理方法也啟示他一步一步地從基礎理論研究推向應用。他了解自己的能力，他讚揚或許也羨慕那些具有特殊素質的、並區有着非理性的直覺靈感的人，這種靈感有時能改變科學進程的方向。對馮·諾依曼來說，似乎不可能有難於理解和難於表達的思想。他的遠見卓識給人深刻的印象，他的表述則是嚴謹清晰的。