（序）

很久以前我就想寫一篇這樣的文章了。一方面，就我自己觀察來看，很多非數
學專業的朋友甚至包括一些數學系的本科生對究竟什麼是數學有一種不正確的理解
。這種流行的理解就是，數學是一種為其他科學服務的工具或者說語言。數學的任
務就是把已經列成式子的現實問題算出一個用數字表示的結果而已。我經常在我們
系的Studying Hall被一些外系的學生搞得哭笑不得，在他/她的眼裡，我們就是一
群比別人算得快的奇怪動物。然而在我看來，數學無疑是具有自己獨立精神的一門
科學，或者說是藝術。但是這一點往往只是在數學的教科書中被泛泛而談，並不真
正讓人信服。另外一個動力就是我想人的思想可以說九成九被他所占有的知識所決
定，讀不同的專業的人很可能會有對世界的不同看法。這篇文章肯定是戴着我自己
的眼鏡寫的，正好袞袞諸公分析一下我的思想的緣起，俾能起到拋磚引玉的作用。


英國大數學家G. Hardy曾經說過[1]，對於一個數學家來說，不去證明任何定
理而只是泛泛而談數學實在是令人感到悲哀，因為這種情況多半發生在一個因為年
老（對於數學家來說，四十歲就已經是老人了）而不再具有年輕時的創造性的人身
上。一個擁有創造力並正在改寫當代數學的年青人不會屑於去向外行“談數學”。
我現在還只是一個學生，在數學上和Hardy比只不過是個三歲毛頭。按照中國古代
的說法小孩是不必忌諱的，所以就不必為泛泛而談數學而感到任何不適。再說這個
世界上有許多的“外行”擁有比我更好的數學功底，還有更多的人其實比我更加具
有學數學的天份，我實在不敢有“不屑一顧”的傲氣。

（一） 數學對歷史的兩次推動

這篇文章到底要怎麼下筆，我想了很久，最後還是認為該從歷史談起。西方有
一句形容古板學究的話，叫做言必稱希臘。好吧就讓我們從頭談起吧，從這個科學
皇后在希臘當黃毛丫頭的場景開始吧。

埃及的亞歷山大城自公元前三百年左右就有了世界上第一所大學，第一座圖
書館。歐洲的戰亂並沒有怎麼波及到這裡，所以這裡也成了當時西方世界第一流學
者的天堂。就是在羅馬征服埃及以後，學術傳統仍然被保留下來。當時的羅馬皇帝
在各行省征 苛稅，但對其它方面並沒有干涉的興趣。在科學和文學?，征服者是
崇拜希臘人的。羅馬士兵在戰亂中殺死了阿基米德，當時的統帥Marcellus垂胸頓
足，後悔莫及。後Henllenistic時期學術氣氛仍算是寬鬆，Apollonius系統地研究
了圓錐曲線，托勒密等人對三角學推動很大，而丟番圖提出的問題至今仍是純數學
中的難題。

主歷三二五年，羅馬康斯坦丁大帝接受基督教為國教。那時希臘的最後一塊屬
地埃及也已經陷落三百五十五年了。從這以後曾經備受壓迫的基督教（天主教）開
始成為壓迫異端的急先鋒。公元四七六年，西羅馬帝國在北方各蠻族的不斷打擊下
毀滅。但是就象入侵並占領了漢族中國的滿族人最終被同化一樣，強大的基督教戰勝
了羅馬兵團所沒有戰勝的敵人----古羅馬帝國垮掉了，他們的宗教思想卻獲得了前
所未有的勝利，基督的威勢在歐洲的每一個角落建立起來。公元五二九年，在狂熱
的天主教信徒不斷的壓力下，雅典學院因轉播異端思想被關閉。在此之前亞歷山大
大學和圖書館已經焚毀，整個古希臘數學時期就此結束了。

從此中世紀的陰影就一直在 分 籠罩了一千年左右。要等到一五一七年馬丁路
德在維滕貝格發表反贖罪券的《九十五條論綱》正式向教皇挑戰並成為新教創始人
後歐洲的宗教壟斷才被打破。在路德改宗前歐洲還發生了一些影響世界的大事情。
一四九二年一個叫克里斯托弗·哥倫布的意大利人發現了一個他稱之為印度的龐大
新世界，以後各國特別是英倫三島受宗教迫害的人們就找到了一個棲身之地，在這
之前在繁榮的意大利已經開始了文藝復興，各種各樣的新思潮和新技術伴隨着新的
資本都在蠢蠢欲動。

這時候還有一些不是那麼為正史所看中的人物在另外一個世界，一個只有靠人
類抽象的思辯才能夠達到的世界裡努力地耕耘着。他們是伽利略，開普勒，哥白尼
，帕斯卡，笛卡爾，萊布尼茲，牛頓..... 特別是牛頓和萊布尼茲所發現的微機分
，整個地改寫了科學史。通過數學工具的極大改進，一系列原本用初等方法無從下
手的問題迎刃而解。一個對社會的影響當然是提高了當時的生產力的需求，從而孕
育出最終埋葬神權和君權的資產階級，另外一個更加直接的影響卻是從天文學上來
的。這個天文學在中世紀經院哲學裡占了相當大的比重，因為按照基督教教義，天
體是天使和聖靈運行的軌跡，是完美的。天是圓的，地球在這個圓的最中心。當這
些觀念被科學一個個地打破以後，教皇的權威，甚至說聖經本身的權威，才真正受
到了根本性的衝擊。對於牛頓到底有多重要，下面這收詩大概可以反映一下吧：

“Nature and Nature's laws lay hid in night;
God said, 'let Newton be,' and all was light."[1]

信仰這個東西是非常奇怪的。和狂熱的信徒談天你會發現你幾乎無法用另一套
信仰來改變他。這不僅僅是幾百上千年以前中世紀的事，也不是只有西方民族或者
有宗教的地方才有。今天的朝鮮和昨天的民柬在信仰狂熱的程度上絕不亞於費迪南
德和伊沙貝拉治下的西班牙。畢竟在那裡宗 灘門興 三個半世紀才燒死了三萬兩千
人，加上其他刑罰處死和間接死亡的，不過百萬之數吧，而他們在亞洲的同仁們卻
在短短的幾十年內就達到了這個目標。其實就在幾十年前我們的國家在思想領域又
何嘗不是如此？七八年鄧小平說出了一句“實踐是檢驗真理的唯一標準”，沒過多
久全國人民突然就發現了過去的荒謬----怎麼會是那樣呢？怎麼會那麼笨呢？在這
里皇帝的新衣一旦被揭下，謊言就變得一錢不值。今天的西方世界在回想起中世紀
的一幕幕場景時恐怕也和我們一樣會覺得荒謬大於恐懼吧，為什麼當時的人們會為
對聖經上某一句話的不同解釋如此憤怒，以至於非要把同樣是信奉上帝的兄弟姐妹
送上火刑架呢？甚至在英國有很長一段時間裡竟然要在全國找最美麗的女人來燒死
，只因為當時那裡的神學家確信這些美人是撒旦的化身！

路德和加爾文站起來挑戰羅馬教皇的權威了，但丁更早些在《神曲》裡把教皇
判入了地獄，但是人們很快就發現，單憑文學和神學的革命並不能夠改變上帝獨一
無二的地位，人本主義並沒有因為《神曲》而成為主流。甚至新教首領加爾文在教
皇鞭長莫及的日內瓦還燒死了塞爾維特，而且足足把他烤了兩個小時。歷史的車輪
似乎又在向着循環往復的軌道上滑去。靠神學本身的辯論只能夠產生新的神學；靠
文學的啟蒙可以產生懷疑，卻無法最後戰勝神學；靠地理上的發現可以解決一時的
壓迫，但是一個清教徒的天堂依然讓人們嗅到了舊世界信仰之爭的味道；靠美學
----達·芬奇的名作並沒有改變天主教堂的圖案，再說這世上還有比那些送上火刑
架的“撒旦”更美的作品麼？

只有真實和時間，才是戰勝精神強權的終極力量。西方有一句話，說是（強權
）可以短時間欺騙所有人，也可以永遠欺騙一些人，但是它不能永遠欺騙所有人。
象317是個素數這樣的真實，就是再堅強的神學信仰也只有在這個事實面前底頭。
而物質生活的真實呢，一旦產業革命的機器開動起來，田園詩似的貴族們又如何抵
擋呢？打敗舊制度的歸根到底是靠以微機分為代表的理性擊敗了神學和以機器為代
表的新生產力戰勝了貴族勢力。如果沒有這些，一切革命都將重複類似於中國農民
革命的老路。

牛頓和他之後一個世紀的科學家們生活在一個背靠絕對真理挑戰世俗神權和政
權的偉大時代。在馬斯頓荒原，英國革命軍戰勝了保王黨的反動勢力；在美洲，八
年艱苦的奮戰打跑了日不落帝國的總督；在巴黎，第三等級廢除了歐洲最頑固的君
主制。在那個時期的主流科學家頭腦里，一個來源與物質世界，卻又比它更加完美
的理性取代了華麗的拉丁文聖經。人作為上帝的影子的日子過去了，任何權勢在真
理面前必須是平等的。微機分之後的科學文明中心在法國。那時全歐的人文主義旗
幟在以狄德羅和達郎貝爾為首的法國百科全書派學者手裡。達郎貝爾對發展方程，
函數論和代數都有重大貢獻，他有一句名言：“代數是慷慨的，你從她那裡得的總
是比你想要的多”，另外他還說過，“幾何上的真理是物理真理的漸進形式，就是
說後者無窮地逼近前者但卻永不相交”[2]，這大概更加接近現代科學家們的想法
吧。

時間就這樣一點一點卻又是無可抗拒地從中世紀走到了十九世紀末。科學學飛
速地發展着，正如當時的資本主義一樣。神權和君權一點一點地退出了舞台，科學
和經濟的力量似乎已經取得了全面的勝利。“上帝死了”，人作為主體出現在那個
喧囂的世界。“這是一個最好的時代，這是一個最糟的時代”[3]。世界似乎是永
無休止地被開採着，人幾乎可以憑機器做到一切想做的事。在自然科學上，一個與
這種自大相對應的是在那時，主流物理學家們認為這個世界的規律已經被發現完畢
了。一九零零年，英國的開爾文勳爵在皇家學會的新年致辭中自負地宣稱，物理學
的大廈已經完成，今後物理學家的任務只是把實驗做得更精確些（當然那時他並沒
有料到，他眼中小小的“兩朵烏雲”——黑體輻射的理論解釋和邁克爾遜——莫雷
實驗對以太觀念的衝擊——引起了現代物理學翻天覆地的變化）。自然的，社會的
終極真理似乎就在人們手邊。隨後文明世界卻遭到了空前的打擊，那就是兩次世界
大戰。在那些年現實中的文明世界秩序已經在意大利，德國國家社會主義和日本軍
國主義的衝擊下蕩然無存了。

兩次次世界大戰，全人類為此付出了近億生命的代價。科學的標誌既不是體現
在治病救人的青黴素上，也不是體現在純粹數學和理論物理的完美結合廣義相對論
上，而是體現在可以一次毀滅一個城市的原子彈上。西方人文主義的傳統讓位於民
族主義和意識形態，二戰後東西方兩大陣營相互敵對，勢不兩立。社會主義陣營的
故事我就不說了，美國的麥卡錫先生對美國共產黨（毋寧說是同情共產黨的左派知
識分子）的迫害也足以名垂青史。與中世紀不同的是，現在沒有一個極權愚蠢到敢
於宣稱科學在自己之下了，相反地這個權力為了強調自己的正確性合法性，往往宣
稱自己是“科學”的。就算它還要迫害知識分子，也是用別的方法來進行。這種迫
害進行的方法說來也很簡單，那就是先宣稱自己是科學和正確的化身，然後讓每一
個公民都相信，不“科學”不“正確”的人或者思想就必須予以消滅。最後給異端
貼標籤的工作就比較容易了，各個不同的國家自有不同的方法和習慣。

好吧再讓我們回到數學吧，回到這個比現實世界優美的避難所吧。讓我們從本
世紀的最初看看數學的發展。在這一時期，數學學上出了一件大事。這件事在正史
中當然沒有推倒柏林牆那麼重要，但是其內在的意義，也許將比那個政治事件更能
讓我們的後代共鳴。

德國數學家希爾伯特於一九零零年在巴黎國際數學家代表大會上作了一次演講
[4]。在演講中希爾伯特提出了二十三個公開問題，這些問題後來主宰了二十世紀
（至少是前五十年）的數學研究，幾乎所有的第一流數學家都在為攻克這些難題而
奮鬥。在這次著名的演講中，他還說到：“.....每一個確定的數學問題，.....無
論這些問題在我們看來多麼難以解決，無論在這些問題面前我們顯得多麼無能為力
，我們仍然堅定地相信，它們的解答一定能夠通過有限步純邏輯推理而得到。”這
一說法後來被稱之為希爾伯特綱領，是人類可以解決一切問題在 看饉 辯領域的縮
減版本。這二十三個問題如今大部分已經被解決或者部分解決，剩下未被解決的問
題是如下幾個：

第二問題：算數公里體系的相容性；
第六問題：物理公理的數學處理；
第八問題：素數問題；
第十二問題：Abel域上的Kronecker定理的推廣。

這裡面後兩個基本上是獨立的技巧性問題，而前兩個卻事關整個數學物理的基礎，
進而對整個人類科學和邏輯產生影響。我不是搞物理的，就物理公理的數學化不好
作深入的評論，但是這無疑是希爾伯特或者說任何一個相信希爾伯特綱領的科學家
的一個“野心”吧，先在數學領域建立起可以解決一切問題的信心，然後再把物理
數學化，進而推廣到一切人類的科學領域。就象運用數學歸納法時我們要證明兩件
事：“對最基本的出發點成立；假設對n成立，證對n+1也成立”相仿，第六問題更
象是後一步，而第二問題則更象是前一步（的一個必要條件）。如果前一步走不通
，後一步也就失去了意義。

為了更好的說明問題，我想我不得不講點專業化的東西了。大家都知道所有的
自然數{1，2，.....}是個無窮集合，而且肯定也知道全體實數，通常記作R的也是
個無窮集合。直觀告訴我們，雖然都是無窮集合，後者比前者應該要“大”[5]。
數學怪才康托(Cantor）第一次給出了一個嚴格的證明，這個證明我想在實變函數
的第一章就可以找得到。康托還證明了一個和一般人直觀很不一致的結論，那就是
一個正方形或者正方體的點數和一條小得可憐的一維線段的點數是“一樣多”的。
這樣一來一個自然的問題就出來了：有沒有一種無窮大，它比自然數（數學上稱之
為可數集）的無窮大要大，卻又比實數（數學上稱之為連續統）的無窮大要小？這
就是有名的希爾伯特第一問題，連續統假設了。

一九六三年美國的Paul J. Cohen以一個大家都意想不到的方式解決了這個問
題：連續統假設和實數公理體系（Zermelo-Fraenkel公里系統）是相互獨立的，也
就是說，我們既不可以用實數公理來證明它，也不可能證偽！希爾伯特幸運地在這
個消息之前很早就去世了，但是不幸地是，在他逝世前十二年（一九三一年），一
個叫哥德爾[6]的年輕人已經徹底擊碎了他的理想：在任何一個數學體系裡，一定
存在既不能能夠被證明，也不能夠被證偽的命題[7]。那一年希爾伯特已年近七旬，
而哥德爾二十五歲。在這裡理想國里老派學者的綱領被年輕人徹底給擊敗了。和我?
們驕傲的宣言正好成對比的是，數學的真理讓我們知道我們永恆的無知。

時間似乎又回到了兩千年前的古希臘。蘇格拉底說：“我唯一知道的是我的無
知。”兩千年來我們的智力不斷地在發展，我們的科學不斷地在完善，我們比起任
何一個時代都更有資格判斷對錯。我們甚至想要運用邏輯去證明一切事物都可以貼
上“正”“誤”的標籤。然後達到一個正確的天堂。而這時數學又一次改變了人類
的哲學，當人們盲目地崇拜上帝時她用鋒利的矛挑戰神性，而當人們把“正確”當
做新的偶像來崇拜時，又是她告訴人們，人類任何對真理的認識總有不足，地上不
僅僅沒有神的天國，也沒有絕對真理的標準。只有對不同的哪怕是錯誤的思想的包
容並蓄，只有放下打擊“錯誤”的執着，憑着對異端的寬容，我們才能真正接近真
理。


*********

[1] 該詩為英國詩人亞歷山大·普伯(Alexander Pope)所作。
[2] 《An Introduction to the History of Mathematics》, Howard Eves
[3] 《雙城記》，狄更斯
[4] 《數學問題》，大衛·希爾伯特
[5] 這裡的大小關係是按照基數等價類的方式來定義的。集合A和集合B等價指存在
一個映射f:A-->B, f是一一對應。而A“大於”B則是定義為存在A到B的滿射，但A
，B間不存在一一對應。
[6] 哥德爾的英文是Kurt Godel, 但是要在中間的“o”上加兩點。
[7] 這個結論也許太過於抽象了。Alan Turing（圖靈）後來把這個結論用到計算
數學上去，得到如下的結論：存在數和函數不能夠被任何logical machine（圖靈
機？）所計算。

（二） 作為藝術的數學


如果有同學認真看了我寫的序言，會看到我現在是M.A. 和Ph.D. 資格候選人
。這個M.A. 是拉丁文magister artium的縮寫，而Ph.D.則是拉丁文
philosophiae doctor的縮寫，這兩個頭銜直接翻譯過來就是藝術碩士，哲學博士
資格候選人，看起來似乎和數學一點關係也沒有。其實還不光是數學，在很多屬於
理科範疇的專業都既有M.A.，也有M.S.（理學碩士）。而在幾乎所有的學科，最高
學位都是Ph.D.（另外還有象醫學博士M.D., 法學博士J.D.等，但從學術的角度講
都比Ph.D.要稍差一點）。現在在西方這也只是一種從中世紀流傳下來的習慣，不
過在我看來，它還保留有一點象徵性的意義----Ph.D：無論什麼學科到理論的頂點
都成為哲學；M.A.：自然科學也可以是藝術的一種。

我相信大家都曾經聽說過“數學的美”這個概念。這個概念在課堂教學中雖然
從來不占主要地位，卻仍然不斷地為數學老師們所敘述。不過就我自己的經驗言，
從小學到大學，絕大部分人並不認為這種美比神話故事真實多少。確實，當你面對
成千上萬道刁鑽古怪的習題，當你必須記住一大堆公式，計算某個數值精確到小數
點後多少多少位，或者解一個要把你的草稿紙橫過來放才能寫得下的方程組的時候
，如果聽到下面這一段話，一定會覺得離自己太遙遠了：

“數學，如果正確地看它，則具有.....至高無上的美----正象雕刻的美，是
一種冷而嚴肅的美，這種美不是投合我們天性的微弱的方面，這種美沒有繪畫或音
樂的那些華麗的裝飾，它可以純淨到崇高的地步，能夠達到嚴格的只有最偉大的藝
術才能顯示的那種完美的境地。一種真實的喜悅的精神，一種精神上的亢奮，一種
覺得高於人的意識----這些是至善至美的標準，能夠在詩里得到，也能夠在數學裡
得到。”[1]

　　正如同欣賞一首用英語寫就的英文詩我們必須掌握這一語言一樣，數學的公式
和符號，諸公理，定理體系就是這種我們必須要掌握的語言。另一方面，這些語言
本身並不具有美的意義，是它們的組合構成了美。詩有詩的組合法則，散文有散文
的，儘管它們用的可以是一種語言。這種法則是在語言背後的深層結構，通過這種
法則一個文學作品可以表達遠遠超過自面意義的內涵，從而喚起人們的美感。我們
要“看懂”一首象《荒原》這種技巧複雜的現代詩，不僅僅要懂英文或者看譯文，
弄懂它的字面意義，還要通過學習掌握必要的文學欣賞能力。現在對於一個理工科
的大學生而言，基本的幾何，代數和分析的工具都可說已經了解了，要看懂一個高
等數學定理證明的每個步驟恐怕都不難，真正極為欠缺的是第二種能力，也就是理
解並領會從左一步，右一步的推導過程中透露出來的內在規範的本領。

　　當今數學界主流認為，數學是研究模式和結構的。模式的一個簡單例子就是一
元二次方程 ax^2+bx+c=0，它的解可以借一個帶平方根的式子表示出來。這個方程
可以從許許多多完全不同的現實例子中抽象而來，但是其內在的數學性質卻是一致
的。在這個模式中，我們注意到a，b，c是“任意”的數，這個簡單的事實卻隱藏
着一個深刻的思想：我們是把一個涉及無限的命題“解所有一元二次方程”用給定
的條件（a，b，c）和結論（方程的解）之間的關係代替了無窮個具體的數值。現
實問題無窮無盡，甚至每一個具體的問題比如說扔塊石頭，看看它落到什麼地方也
都具有無限精細的內部結構。可是對於人類來說，我們的認識是有限的，我們處理
這些信息的能力就更加有限：我們只能夠通過有限步邏輯推理（這是人類唯一能夠
做到的思維）去解決問題。我們是在無限中認識有限，又通過模式去把握無限。在
這裡重要的不是某個具體的結論，而是從模式中體現出來的可以處理“任意”問題
的方法。這個今天看起來理所當然的方法卻經歷了漫長的歷史才被人類認識到
----從古巴比倫和古埃及發掘出來的資料顯示[2]，最早的數學只有數與數之間的
對應，沒有一般化的“公式”。按照約簡的美學觀點，這也是第一個數學的美學判
定法則，今天抽象的二次方程求根公式就比古代一堆（啟發性的）具體答案要美。
再進一步抽象，人們就不僅僅滿足於解二次方程，而是要解n次方程，相應的模式
就變成了帶有n個常數的多項式方程。是不是有一種公式，能夠把這些方程的解方
便地表達出來？如果沒有，那麼我們知道多少？對於不同的方程，我們可以通過方
程的次數n來進行分類，這個次數就是類型的一種指標，不同的類型可以有不同的
處理方法----這種分類的思想，也是現代數學的一個重要特徵，以至於布爾巴基學
派[3]甚至認為數學就是一個（脫離主體存在的）真理和方法的倉庫，數學家要做
的全部工作，就是把這些精美的貨物分門別類。

　　n次代數方程求解實在不是個容易的問題。事實上在將近兩千年或者更長的時
間裡，代數學的主要任務就是對這個問題給出儘可能多的答案。繼二次方程以後，
數學家們又給出了三次方程的求根公式。這個公式裡面含有平方根和立方根，而我
們知道，為了讓平方根“有意義”，就必須讓根式裡面的數大於等於零。在二次方
程的情況下如果根式“沒有意義”就一定不會有實數解，而在三次方程里卻可能會
出現“既約情況”，也就是說在求根公式里出現了“沒有意義”的根式，但是如果
我們不管這些，帶着根號負一進行計算，那麼有時這些不合理的根式會互相抵消而
得到實數解。把它們帶回原方程，我們可以檢驗它們的確是解。現在同學們都知道
，通過引入虛數，那些“沒有意義”的根式就根本不成其為一個問題。可是在歷史
上虛數的存在性及它的意義曾經引起一場激烈的論戰。虛數被譏笑為“數的鬼魂”
，一些象笛卡爾這樣的大數學也拒絕承認它。這場爭論一直要到一八零零年左右幾
何解釋虛數成功後才慢慢平靜下來。對實用主義者而言，虛數當然是一個計算的工
具，只要它有用就行了，但對於嚴肅的數學家來說卻並非如此。高斯就曾經說過，
關鍵不在於應用，而在於如果歧視這些虛量，整個分析學就會失去大量的美和靈活
性。為什麼認為“歧視虛數”就不美呢？我想這是由於數學中第二個關於美的法則
在起作用：對稱性法則。當我們把虛數和實數認為是同樣真實，只是分別屬於一個
統一的複平面的橫軸和豎軸時，所有的代數方程的解對於實數和虛數而言就具有了
一種對稱性。而任何人為的“歧視”都將打破這種對稱。

自十六世紀以來，人們就開始研究五次或者更高次的代數方程的求解問題，這
個問題後來被證明是不可能的。有一個證明（按照年代來說是第三個證明）是法國
數學家E·迦羅華[4]在一種更一般的理論框架中給出的。當時他的理論是如此之新
穎和富有創意，以至於直到他死後多年人們才克服了很大的困難弄懂。迦羅華注意
到了對於一個已知方程，它的根的全部置換構成一個現在叫做迦羅華群的集合。而
方程本身的能不能通過根式求解，則和這個集合的性質有關。用現在的語言來講，

迦羅華群必須是一個可解群，解才可以寫為根式。當方程的次數n=1,2,3,4時相應
的迦羅華群是可解群，而當n大於等於5時不是。這套理論被認為是整個數學中最優
美的篇章之一，那麼它美在什麼地方？第一它比起以前的證明都要簡潔，第二它是
通過問題模式中的對稱性來解決問題的，最後按照A·波萊爾的說法，是因為它是
以新的概念建築起來的新結構下提出的原理，顯示出巨大的獨創性。這裡我們得到
一個新的美學概念：獨創性。獨創性和天才，靈氣是分不開的。大家在聽肖邦的音
樂，看凡高的畫時無疑可以感覺到和一般的音樂，一般的繪畫很不一樣。這種“不
一樣”所附加的美感，我想就是來自獨創性。獨創性來源於想象力和直覺，而這兩
點可以說是所有科學的共同追求目標。畢竟，如果僅僅是記熟了公式，方法，能夠
熟練地從事某種工作那只能被稱為巧匠而不是大師。

就象我在最開頭所說的，數學不是討論具體問題，而是去研究相應的模式。模
式有大有小，2x^2+1x-1=0 的解是X=1/2或者說-1，這個“具體的”結論本身其實
也是一個模式。這不僅僅是因為x可以指代許多具體的事物，還因為任何數，包括
2，1，-1，就已經不是兩塊橡皮，一根筆，欠一塊錢這些具體的東西了。那麼這個
“數”本身是什麼？以下的一段推理是邏輯主義對數的解釋：

一切均不存在的狀態叫做空集Φ。Φ的所有子集構成一個新的集合，叫做Φ的
冪集P{Φ}。而P{Φ}的冪集又是另外一個集合，記為P^2{Φ}。通過一些簡單的運
算，我們可以發現P^n{Φ}的基數是2^n，而通過這些集合的並我們可以得到這些基
數到正整數的一個滿射。在所有集合（及其映射）構成的範疇里，用基數或者說映
射的一一對應關係做一個等價類，把這些等價類就叫做自然數，那麼我們就從無到
有，運用最簡單的集合論或者說是邏輯（集合論可以和數理邏輯有嚴格的一一對應
，一個例子就是交集就相當於邏輯中的“或”）就可以得到整個（包括零的）正整
數。然後就可以通過不相交集合的並來定義“加法”，這個擁有加法並且滿足一些
簡單性質的集合叫做半群，通過對加法半群的求逆（即減法）完備化產生出所有整
數。通過加法又可以定義乘法除法，通過對除法的完備化產生整個有理數域，而對
有理數進行戴德金分割或者對有理數收斂數列進行分類我們又得到了整個實數。有
了加法（減法）和乘法我們可以定義多項式，然後為了對求根運算封閉，我們還得
把數域擴張到全體複數。其中最典型的一個元素 i 的定義就是一個滿足 i^2=-1的
“東西”。

這一段看似非常不自然而又冗長的推理告訴我們的是一個這樣的事實，即對於
一個數學家來說，重要的不是他的研究對象的具體化，而是它們的性質，就連最基
本的研究對象：數本身，也只是某種性質的形象化說法而已。這種思維就是抽象思
維，通過不斷深刻地從小模式中抽象出必要的性質，去除（或者綜合）次要的性質
，用儘可能少的條件來推出儘可能多的結論。愛因斯坦曾經說過一句話，大意是科
學的發展就是不斷地戰勝二十歲以前人所有的“常識”。用在數學上，也十分貼切
。因為抽象常常就意味着對某種公認的常識的挑戰。在每一次的抽象過程中哪怕對
於當時最優秀的數學家來說都是一種冒險的嘗試，連象高斯這樣的大家，在生前都
不願意發表他關於非歐幾何的開創性的文章。一旦某個抽象過程被確認下來，數學
也就隨之更加完美。因而在這裡，作為純粹思維範疇的抽象性也是一種美學標準，
而這個標準，從某種程度上講是所有在數學中起作用的美學法則中最重要的一個，
作為藝術的數學，也正是一種抽象的藝術。對了談到抽象，我又想起了現代的抽象
畫和實驗性的文學創作。拿數學和它們對比十分有意思，畫家進行色彩和形態的組
合，文學家把一個個的字寫在一塊，而我們則把一定的類型通過邏輯串起來。繪畫
和文學最初是對客觀現實的模擬，古典數學也是；然而通過長期的模擬過程，人們
發現了一種超越實在的“語言”，通過這種語言可以直接達到美。畢竟，藝術家們
創造的全部藝術都必須通過人的審美來體現，從這個意義上講他們創造的真正內容
不是油畫，詩歌，而是人的沉思，感動和激情。只有這樣看，我們才能夠理解非常
不相似的文學和繪畫，音樂竟然可以擁有相似的性質，從而是統一的藝術的不同分
支。而巴羅克，洛可可，古典主義，浪漫主義，印象派，……在幾乎每一個分支里
都有代表就一點都不奇怪了。

形式是為內容服務的，而不是反過來，所以經過抽象後色彩和文字的“感性”
就遠比它所附着的形式----繪畫的主題和小說的情節更為重要。在數學上，這一步
走得更加極端----一旦某個性質被提出來，它的構造就完全可以被忘記。拿向量的
“長度”這個概念來說，它無疑具有實在的結構和意義。但是一旦我們意識到它滿
足三到四個代數性質[5]，並且我們在很多用到“長度”的定理證明中也只要這些
性質時，它的“實在性”就完全被拋開，並推廣到廣泛得多的一大類空間中去，在
那裡，一個“向量”往往是一個函數。王浩[6]說，數學是一種類“純淨美”（try
beauty），意思大概就是指它可以不附加任何不必要的（為現實服務的）修飾。
這一境界對於任何一門藝術都非常不容易達到，而數學在這方面令人驕傲地走在了
所有其它藝術形式的前面。

作為一門最古老的科學，數學的分支之間的距離越來越大。同樣是搞數學，搞
分析的常常完全看不懂代數方向的論文；同是搞分析，搞微分方程的和搞多復變的
也沒有什麼共同語言；同是搞微分方程，常微分方程和偏微分方程也天差地遠；甚
至同屬偏微分方程，橢圓型方程用的工具和拋物型又大不一樣。數學這棵大樹，分
支看來是越來越往互不相干的方向在發展了。然而這一看似危險的分裂主義傾向卻
從來沒有真正動搖數學作為一個思想體系的統一性。哈爾莫斯[7]是這樣說的：“
數學如今生氣勃勃，分支如此眾多，各分支又如此廣博，基本上無人能全部了解。
……但這不要緊，無論演講是關於無界算子，交換群還是可平行曲面，相距很遠的
數學各部分之間的相互影響常常會出現。一個部分的概念，方法常常會對所有其他
部分有啟示。這一體系作為一個整體的統一性令人驚嘆。”的確，在歷史上曾經有
過幾何和代數完全脫節的時期，兩個分支各自“過度”發展，變得無聊，極端複雜
。比方說我們大家都不會對平面幾何的怪題感到陌生，而對於古典代數當時情況也
好不了多少。設想一下，在中世 團分薜 某一個地方，一位運氣?好的皇帝?他的
朝臣們在一起，聽一位有學問的意大利人講解一個三次方程的解法。可憐的人們
-----那位可愛的意大利人整整花了一個下午啊！如果沒有魔法吸引住他們的注意
力，他們肯定要打哈欠的！[8]

幸運的是，笛卡爾坐標系的建立開創了幾何代數化的歷程。而這種聯合無疑為
人們認識什麼是古典幾何和代數的精華提供了一個標準，使得人們可以把那些人為
過度發展的分支拋開，集中精力研究那些更加深刻的問題。有了解析幾何，才有了
微機分和現代數學分析。再往後到了十九世紀末，當數學又一次陷於過分分叉和復
雜化時，新的突破又出現了：人們發現定義“連續性”“極限”只要有開集就行了
！再後來人們更以此為基礎發現了一種描述空間在連續變形下不變性質的群，從而
把現代代數和空間的幾何性質聯繫起來。另外一個方面，“垂直”，“線性”和“
距離”的概念，完全可以脫離有限維的歐氏空間，搬到類似“全體連續函數”這樣
的函數集合上去，並且在很大一類空間上可以建立坐標系，從而應用類似解析幾何
的方法來成批地研究函數，泛函數和算子。這兩個不同的抽象方向就導致了拓撲和
泛函分析的創立，體現了代數，幾何和分析這三個高度分化的學科之間內在的統一
性。而這種奇妙的統一性，既體現了數學的生命力，更反映出了造物的和諧。“和
諧”是一個美學概念我想就不用我多講了。這個概念恐怕是最神秘的一個，我們可
以把握哪怕是最艱深的抽象，我們可以給所有的對稱性分們別類，我們更能夠（幾
乎是本能地）知道簡化的重要性，然而沒有一次統一的和諧不是“偶然”出現的，
我們只能憑着信仰來感受這種和諧。這種“科學的”信仰其實和無條件的宗教信仰
並沒有本質的區別，在約翰福音中耶穌說，“我就是道路，真理，生命，若不籍着
我，沒有人能到父那裡去”。按照我們數學的慣例，這句話也可以理解為真理和生
命就是基督的一種比較抽象的說法。G. Hardy就曾經說過，“我相信，數學實體
是在我們之外而存在的，我們的職能就是去發現它，觀察它，我們證明的定理，我
們誇張地說成是我們的‘創造’的那些定理，不過是我們觀察的記錄而已。”[9]
對於一個數學家，他一生都在創造方法和手段，但是沒有一種手段本身可以保證他
明天能夠發現什麼，或者發現的都是“有價值”的。他最後的力量依然是存在真理
世界和通向真理的道路的強烈信心。

我的俄國師兄曾經和我聊天，他那時正在為他的學生不會也不願算積分題而煩
惱。不過他的抱怨是暫時的，因為他自己就認為將來這種技巧會隨着計算器的發展
而變得越來越不重要。我們做四則運算肯定不如大部分中學生快，但那不要緊，我
們的任務不是算加減乘除，我們是要去發現和創新。甚至當有一天機器也擁有了發
現和創新的本領時（這一點我的師兄深信不疑），我們也不會餓死，因為我們還可
以作為藝術家而活下去。甚至於有些數學家象G. Hardy乾脆就認為如果說數學有什
麼存在的理由的話，那就只是作為藝術而存在[10]。當我們意識到數學中的藝術性
不僅僅是一種外帶的附加的屬性，而且是人類思考一個最根本的價值時，也許就會
象我一樣認為，當愛因斯坦說他不相信上帝會擲色子時，他的信心與其說是某種客
觀實踐或者是邏輯推理，不如說是對他的上帝----自然真理之完美的深信不疑。


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說明： 本文參照A·波萊爾的演講《數學：藝術與科學》一文寫出。所有該文的引
用不另行注出。

[1] 引自M·克萊因的《數學與文化----是與非的觀念》一書，原文引自伯特蘭·
羅素。
[2] 參看《An Introduction to the History of mathematics》，Howard Eves著
。
[3] 布爾巴基（Bourbaki）學派：一九三零年左右一批數學家（主要是法國人）試
圖寫一本包羅萬有的數學全集，後來對整個當代數學的發展起到了非常大的影響。

[4] 參見附錄《迦羅華小傳》。
[5] 非負性，對稱性，三角不等式和一個等式：|V|=0 ==> V=0。
[6] 王浩（H. Wang）美國華裔數學家。
[7] P.R. 哈爾莫斯（Halmos），美國數學家。後面的引文出自其有名的文章《應
用數學是壞數學》。
[8] 引自A.N. 懷特海（Whitehead），《數學與善》。
[9] G. Hardy, 《A Mathematician's Apology》。
[10]同上。