（三） 征服無限——數學的力量


“所有的動物生而平等，但是有些比別的更平等[1]。”在數學裡也一樣存在
這個現象。如果只是要合乎邏輯的話幾何可以有很多種，代數也一樣。就算動用美
學的標準，也很難說我們的數學就比它的這些兄弟們更好一些。那為什麼我們今天
見到的數學是這樣的而不是那樣的？我想，原因在於我們總是用現實世界的眼睛去
觀察和發現數學。歐氏幾何之所以有這樣的公理而不是別的，是因為它最符合當時
人類對自然世界的觀察。這樣一來它就比別的幾何在數學裡具有更高的地位，擁有
更多的關注。

偉大的蘇格拉底曾經向普羅塔奇思(Protarchus)問道：“是不是有兩種數學，
一種是平民百姓的，一種是哲學家的？.....（平民）在建築和作買賣時運用的算
法和測量的技術與哲學家們的（歐氏）幾何和極為精細的計算比較如何——我的意
思是，它們是一種還是兩種？”
普羅塔奇思：“.....我認為是兩種”。[2]

這段對話其實反映出數學自降生以來，就被分成從目標上來說截然不同的兩部
分：純粹數學和應用數學。我認為這種分類並不能嚴格地從內容上進行，比如說屬
於應用數學的微分方程理論就有很多定理十分優美和抽象，當年被證明出來大概也
還是出於認識真理的動力；而以前非歐幾何完全是在純數學的小圈子裡面流通的，
後來也在二十世紀成了描述現實宇宙的重要工具。最有意思的是這麼一個故事，在
一九一零年左右，普林斯頓大學一位數學家和一位物理學家在討論課程表的時候，
物理學家很有把握地聲稱，他們無疑可以去掉抽象代數，因為它絕不會對物理有用
的[3]。 結果是沒出幾十年，不懂群論就已經無法進行基礎物理的研究了。在數學
的發展史上，“純粹”往往在多年以後找到“應用”，而“應用”也常常成為理論
研究的動力，它們二者與其說成是兩個不同的數學分支，不如說成是統一的數學的
兩個側面。就象在希臘神話中，雅典娜不僅有俏麗的面容，也有強大的力量。純粹
思辯的數學在自然科學中是極有力的工具，以至於馬克思曾經說過，一門科學只有
當它能夠成功地運用數學的時候，才可以真正算作發展成熟了。[4]

然而為什麼數學是如此地有用？這本身卻是一個難以回答的哲學問題。就象我
在前面兩章里所闡述的，數學是為數很少的幾個公設在邏輯推理下可以得到的所有
命題的總和。如果把“真理”理解為在現實世界裡行得通的某種“法則”，那么正
好和常識相反，數學裡不包含任何“真理”。在物理，化學，生物里我們經常可以
看到這樣的論斷：A具有性質B。驗證它的方法是實驗C。和這種毫不猶豫地求助於
實驗的風格不同的是，在勾股定理的命題描述後面，你絕不會看見驗證它的實驗是
什麼什麼，取代這一步驟的是從歐幾里得幾何的幾條公理出發，通過清晰的邏輯把
它證明出來。按照羅素等人的解釋，“正三角形的直角邊平方和等於斜邊的平方”
這個給人以“客觀真理”印象的命題是過於簡化了，它應該被說成：“從歐氏幾何
的公理和實數的策墨羅-富蘭克爾公理體系出發，推出勾股定理的邏輯值為真”。
後一種說法其實就和客觀實踐無關了，如果我們把前提修改一下，後面那個符合實
踐的結論很可能就不成立。比方說在非歐幾何里，這條定理就行不通。這兩個不同
的結論可以很好地共存，而且還不象經典力學和相對論那樣是彼此近似的關係。原
因是單從邏輯的角度上講，只要它們各自的前提不存在內部矛盾就是平等的。而前
提是不是正確？是不是我們這個自然世界的性質？數學家們狡猾地笑笑，說：這就
是物理學家，化學家，生物學家們的事情了。

一個現實問題的數學解法之合理性是出自近似性。從應用的角度講，我們從來
就不需要絕對的精確，恐怕永遠也達不到它。根號二是個無理數？那不要緊，反正
我們連有理數長的尺子也造不出來。exp(x)=x沒有“解析解”？這也不要緊，要緊
的是我們能夠想出一個逼近的方法，有多精確的需要，就能夠通過有限步運算達到
多麼精確。

回到幾何和數學本身，它們是有限步邏輯的產物，哪怕最接近“現實”的數學
也已註定了是這個無限複雜的世界的某種近似。那麼真實世界中任何問題都能夠被
某種數學所漸進描述麼？學過一些比較專業的數學就知道，這個問題等價於“全體
數學空間”在“全體現實問題空間”里稠密，而這一般來說並不是顯然的。好在我
們的科學發展暫時還沒有碰到這些問題，多麼複雜的物理問題最後總是找到相應的
數學工具，而且在很多時候這件事情還富有戲劇性：物理學家們有時發現，他們需
要的工具，很早以前一小群純粹數學家們就已經準備好了。這種應用在數學界的影
響也是巨大的，因為它把某種“沒有用”的純粹數學隱含的應用性揭示出來，從而
強烈地暗示，任何抽象的數學研究終歸會被派上用場，成為應用數學。這也是非歐
幾何創始人之一的羅巴切夫斯基的信心，而且我們還知道，愛因斯坦沒有讓他失望
。“所有數學都是有用的”這個命題大致是前面“所有現實問題都有數學模型”的
逆命題。很可惜，就和前面那個命題一樣，這也是難以證明的。困難來自於無限，
希望卻也來自無限。數學的發展與人類對無限的挑戰和超越密不可分。

在上一章里，我已經提到所有的數學都是研究涉及無限的模式，哪怕最簡單的
自然數也不例外。現在我們更進一步，看看我們是怎麼解決由數本身所構成的無限
命題。第一步我想我們應該看看最為簡單的無限：自然數所產生的無限（這種無限
有個學名，叫做“可數無窮大”）。在近代數學定義中，這個無限可以通過“給定
一個自然數n，總存在n+1比它大”這一事實來描述。這些語言本身僅僅涉及有限，
因而是我們可以把握的。由此我們還得到數學歸納法，它可以處理含有這種無窮大
的命題，比方說“1+2+……+n=n*(n+1)/2”。步驟是先證明最開始的一個情況是對
的，然後證明第n+1個情況的正確性可以由第n個情況所推出。這就象是在搭梯子，
只要第一下踏中了，而且保證一腳踏實後就可以踏第二腳，那麼哪怕這梯子有無限
多級，我們也滿可以登上去。

然而這並不是一個讓人放心的邏輯。事實上它違反了一個“常識”：如果真有
無限級的梯子，就算一個人結結實實地踩中了第一腳，並且保證下一腳永不踏空，
他也沒有辦法爬完全部梯子。不過好在我們誰也沒有真正見到過無限級的梯子，真
正的無窮是不為人所見的。世界是那樣的複雜，我們把它叫做無窮；而人卻是渺小
的，我們只能感知到有限。無限如果不和有限結合起來，就是對我們毫無用處的無
限。這條想象中的“無限梯”是那樣真實，以至於我們已經忘了它其實來自於“非
常長”然而仍然是有限的梯子的經驗。我們不必為那條無限梯永遠爬不到頂而煩惱
，我們的勝利來自於每一級被征服的有限，和不斷延續的過程。過程！是的，無限
不是靜止的體驗，無限來自不停息的過程。每一個被征服的具體的n+1都是有限，
歸納的過程卻意味着我們征服了第一個無限。

談到過程，就要談談時間了。和自然數不同，時間是連續的。換句話說，在萬
分之一毫秒中我們還可以插入許多億分之一毫秒，而且這一分割還可以繼續下去，
要多細有多細。在現實生活中，人對“微小”的認識水平是有限制的。所以無限可
分並不是直接的經驗，而是和可數無窮大一樣，是有限經驗的一種抽象。這種無限
可分的性質不光時間有，空間也是有的，它們合在一起構成了我們這個宇宙的框架
。最早對這一框架的數學描述是歐氏幾何，通過笛卡爾等人的努力，實數和這一幾
何通過坐標系建立了不可分割的關係。

幾何的出發點是抽象的“點”，“直線”等概念，這些概念，在現實生活中是
不存在的。確實，有誰能夠見到一個沒有任何大小的“點”呢？又有哪一條“直線
”不是彎曲的呢？然而今天對於任何一個受過教育的人來講，這些奇怪的人造動物
都是再自然不過的了。我們把力學問題抽象為幾何，通過數學來推導，運算，得到
一個數字或者圖形，然後再把它的力學意義解釋出來。而這個結論總是對的，這可
以從無數實驗中看出來。可是這種正確，卻是基於在現實生活中誰也沒有見到過的
“點”和“線”的 看 邏輯推理。

解釋它的辦法仍然是用過程的概念：比方說一個“點”或者說一個實數不是個
固定的概念——無限小的“存在”，而是一個可以不斷逼近（縮小）的過程。一顆
質量為3.75公斤的石子在113.14牛頓的推進力下沿直線運行了3.03秒，那麼它的軌
跡就有138.50米。這裡的任何一個數字都不是對現實實驗的真實描述，而是近似。
隨着對3.75公斤，113.14牛頓，3.03秒近似水平的提高，軌跡也會越來越接近
138.50米。這個“越來越接近”又是一個涉及無限的過程了，它被有限的邏輯以
F=ma, S=a*t^2/2的形式表達出來。其中第一個式子來源於物理經驗，第二個式子
則是微積分的一個結果。

微積分和它所生成的分析學是近代數學最值得銘記的里程碑，它在數學中的重
要性怎麼估計都不會過高。可是它竟然在相當長的一段時間裡不是嚴格意義上的數
學——因為它的基礎要到很晚以後才被建立在堅實的邏輯之上。天文學家開普勒嘗
試着做最早的積分，被叫做“dolichometry”——小桶的量度——即量度由曲麵包
圍起來的物體的容積。這是非公理化的，經驗的幾何學，而不是歐幾里得以後的那
種幾何學[5]。牛頓發明的“流數”運算，不僅是為了研究物理提供工具，連陳述
都是物理化的，而這種不精確性，來源就是把無窮小量當作靜止的恆量。在牛頓時
代的微積分運算中，我們經常可以看到用這個無窮小量做分母（這意味着它不等於
零），而在隨後的乘法中和它相乘的量又都被消去（這時它就是零了），從而得到
結果。這個矛盾當時無法解決，而且它並不是象虛數那樣完全是形式上的問題，那
種推導方法還有可能會得出象0=1這種荒謬的結論。以前曾經是如此嚴格地合乎道
德的數學也犯了原罪；它吃了智慧果，這為它開闢了獲得最大成就但也造成謬誤的
道路[6]。

現在我們高等數學/數學分析教科書上已經找不到這個象幽靈一樣的無窮小量
了，取而代之的是柯西和魏爾斯特拉斯所發現的極限思想和用來描述它的ε-δ法
則。無窮小量現在被看成某個函數的極限過程，精確的描述如下：對於任意ε>0.
存在δ>0, 當|x-x_0|<δ時 |f(x)-f(x_0)|<ε，記為當x→x_0時，f(x)→
f(x_0)。

這裡ε和δ都代表了有限，“任意”和“存在”是集合論或者說是邏輯運算的
語言，通過它們把代表無限的無窮小量刻畫出來。看似笨拙的描述中透露的還是那
個思想：如果不能夠從有限出發刻畫無限，那樣的無限就毫無意義；如果一種計算
不能寫成標準的邏輯語言，它就不能被稱為真正的數學。數學的力量表現在豐富多
彩的應用上，但更是出自它無比的嚴密。在歷史上應用很多次走在了嚴密的前面，
就象微積分那樣，但最終數學總可以為它們建立嚴格的邏輯，儘管有時不得不付出
直觀性和有效性的代價。後者一個典型的例子就是概率論。古典概率的直觀體系很
早就有了雛形，而且被實踐證明是管用的。然而要到本世紀柯爾莫哥洛夫（
Kolmogorov）突破性的工作後它才談得上有一個嚴格的數學基礎。這套體系是建立
在測度論上的，而在現有的體系下一定有很多事件是無法定義概率的（不可測），
所以概率的定義域就從來自經驗的“全部可能的事件”縮減為一個純粹為滿足數學
嚴格性而建築的δ-algebra之上。這種不自然多多少少削弱了概率論的力量（儘管
幾乎所有我們見過的集合都是可測的），因此直到現在還有人反對它，試圖建立一
套更加完美的理論。

不管新的體系會是什麼樣子，有一點是肯定的：它一定是保證了邏輯嚴密性後
的推廣，只有這樣，我們才有充分的信心去運用它。可是邏輯又為什麼會適用於我
們這個世界？這是還未得到解決的哲學問題。抽象的邏輯其實一樣來自於重複足夠
多次的經驗，我們的經驗則是視覺，聽覺，觸覺，嗅覺——通過機器可以把它們延
伸，通過思考可以間接地感受它們，然而歸根到底它們還是基於這些感覺。也許
1+1=2不是感覺，可是它也是從一大類我們感知得到的具體事物中抽象出來的規律
。這個規律，就我們過去的經驗所知是正確的。之所以我們要去（通過研究過去的
經驗）追求規律，是為了把握我們難以把握的未來，如果歷史對未來毫無影響，如
果宇宙隨時間的變化完全不可知，我們還有研究科學的必要嗎？我們的信心只能建
立在宇宙的規律性上，這種規律性也許永遠不能夠為人類所完全認識，但總是在某
個地方“存在”着，全部自然科學包括數學不是創造它，而是發現它。然而即使全
部的過去都支持某一種規律，這種規律就一定會在將來永遠地成立下去嗎？太陽明
天還會升起，這可以通過物理定律來證明，可是物理定律恰恰是從象太陽無數次有
規律的升起這樣的大量經驗中得出的，這就象是自己證明自己，並沒有產生新的信
息。

到這裡我打算停下來，把問題交給搞自然科學的同仁們。歸跟到底，那些建立
模型解釋模型的任務不在數學家身上。我們所從事的工作就象是下圍棋，給定了規
則（邏輯）後就演繹出許多推論，在數學上的“正確”意味着合乎這種規則，和現
實生活中的“正確”具有不同（然而非常相關）的哲學意義。由此可見，數學不是
具體科學，更不是“客觀真理”的總匯。


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[1] 《動物莊院》，George Orwell
[2] 《Applied Mathematics Is Bad Mathematics》，P. Halmos
[3] 《Mathematics in the Physical Science》，F. J. Dyson
[4] 《馬克思回憶錄》，拉法格著，轉引自《數學與人類文化》，孫小禮著
[5] 《論數學》，馮·諾伊曼
[6] 《反杜林論》，恩格斯

（附錄一） 迦羅華小傳


E·迦羅華（Evariste Galois），法國數學家。一八一一年生於巴黎近郊的
Bourg-la-Reine。他父親當時是那裡的鎮長，他母親是知識婦女，她在家裡一直教
小迦羅華到十二歲，到那時他才開始上正規的學校。但是由於不喜歡學校正規教育
的僵化體制和一成不變的教材，迦羅華在學校的成績很快就從剛進去時的名列前矛
跌到了谷底。有一次他偶然找到了一本勒讓德寫的幾何學專著，這個成績一塌糊塗
的小傢伙很快就全部看懂了。學校的代數課本對他來說實在太boring，他於是就去
找數學大師拉格朗日和阿貝爾求學。然而在大師們那裡他也表現不好，得到的評價
是該生十分古怪，喜歡爭辯，老是惹麻煩。

十六歲時他投考聞名全歐的Ecole Polytechnique，結果考官根本不能理解他
的答題，因而被拒。後來Terquem是這樣評價的：“A candidate of superior
intelligence is lost with an examiner of inferior intelligence”。後他再
次報考該校，又碰到一幫這樣的考官，在複試（面試）的時候，他甚至憤而拿粉筆
擦扔中一名考官。這一扔，也就扔掉了他讀Polytechnique的希望。不過他雖然這
兩年沒有讀大學，卻還是找到了一個能夠容忍他的數學老師，Louis Richard，自
此開始真正意義上的數學研究。他的第一篇論文也正是在這個階段（十七歲時）發
表的。就在這個時候還發生了一件影響他人生觀的事情，他的父親，因為受到當時
法國天主教會的迫害而自殺了。

十九歲（一八二九年）終於上了另外一所學校Ecole Normale，然而不久（一
八三零年）法國發生革命。當時Ecole Normale的校長把所有的學生都鎖在學校里
面，只除可憐的迦羅華以外----他因為懷有民主理想，寫了支持暴動罵校長的公開
信而被開除了。在Ecole Normale短短的一年時間裡，迦羅華發表了三篇關於代數
方程的論文，並寄給法國科學院。當時科學院的秘書把它們帶回家準備去讀，不過
他在寫出評價之前就死了，那些論文再也沒人找得到。

開除以後二十歲不到的他試圖開辦他自己的數學學校，結果是沒有人肯當他的
學生。然後他就加入了國民衛隊，並且說了一句對於我們中國人或多或少熟悉的話
：如果必須用屍體來激勵民眾，拿我的去好了。具有戲劇性的故事還在後面：他這
個危險分子似乎是不可避免地被抓了起來，罪名是“試圖謀害國王”。這本是求仁
得仁，但在法庭上法官不知為什麼卻又判他無罪。最後他還是被判了六個月的徒刑
，罪名是“illegally wearing a uniform”！

當他刑滿釋放後，他這一生第一次，也是唯一的一次捲入了愛情紛爭。就象他
一慣的不走運，他這一次也沒有好多少。性子火暴的他很快就對愛情，他的女友和
他自己完全厭惡了。幾天過後情緒低沉的他接受了他的政敵的決鬥挑戰。他自己知
道他不會有什麼機會贏，於是整晚就在寫數學手稿，那是他短暫不幸而又閃亮的一
生唯一能夠給他安慰，體現他的價值的東西了，也是他不願隨自己的生命帶走的。
他把這些新的結果，連同那次被法國科學院弄丟的論文的結果寄給了他的朋友
Auguste Chxxxxier，然後在一八三二年五月三十日依約前往決鬥場。

在那裡他被射中腹部，一時斷不了氣。在送往醫院的路上他對他兄弟說：“別
哭，我可是要鼓起全部勇氣才能在二十歲去死呢。”痛苦結束於第二天，然後他被
安葬於一個連標記都沒有的墓穴里。

二十四年以後，劉維爾整理並發表了迦羅華的一些文章和傳記。而真正理解他
的成就，還要等到1870年約當寫出Traite des substitutions，或者更晚一些，到
二十世紀克萊因（Felix Klein）和李（Sophus Lie）把他的理論系統地運用到幾
何上去時人們才真正認識到他們曾經擁有過一個怎樣的天才。迦羅華只活了二十歲
，寫的全部論文只有六十頁紙。在他生前他的數學思想不為人所理解，政治主張也
大逆不道。然而在他死後人們稱他是現代代數學的開創者，而他的祖國，再也不會
有“謀害國王”這條罪名了。他真正當得起Bell的評論-----
In all the history of science there is no completer example of the
triumph of crass stupidity over untamable genius than is afforded by the
all too brief life of Evariste Galois.


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註：本文參照http://scidiv.bcc.ctc.edu/Math/網站中迦羅華的傳記，Howard
Eves 《An Introduction to the History of Mathematics》和E. T. Bell《
Men of Mathematics》編成。