數學與科學隨想

這是著名數學家S.Ulam自傳的最後一章“數學與科學隨想”，供有興趣的同學參考。

在某種意義上，這一章的內容與本書前面所述的，我以及我所認識的科學家的“冒險經歷”有所不同。

此處我試圖收集、評論並在一些情況下較詳細地敘述某些在本書前面僅僅稍稍涉及了的一般思想。由於這些問題的隨意性，我希望這些隨想將使讀者能夠看到科學的更多方面，特別是數學與其他科學的關係。這裡所涉及的僅僅是“要點的要點”。對於更細緻的內容，只能請讀者參閱我更為一般性的科學論著。

數學到底是什麼？很多人曾經嘗試過，但沒有一個人成功地定義了數學；永遠有些定義未能包含的東西。 粗略說來，人們認為數學處理數字和圖形，處理模式、關係與運算，還認為數學涉及公理、證明、引理和定理的形式化程序自阿基米德時代以來就從未改變過。人們還知道，數學的目的是形成所有合理思想的基礎。

有些人可能認為，是外部世界鑄造了我們的思想——即人腦的運作——使之具有了現在稱之為邏輯的東西。另外一些人——諸如哲學家以及科學工作者——則認為，我們的邏輯思維（思想過程？）是頭腦自身工作的創造物，是通過進化獨立於外部世界發展的結果。然而，數學則顯然是具有上述兩方面內容的。 它似乎是描述外部世界的語言，但可能更適宜用來分析我們自己。在從原始神經系統開始的進化過程中，人腦作為由上百億神經元和為數更多的元與元之間的連接所構成的組織，已然經歷了很多變化和生長，而這些變化和生長則是無數偶然事件的結果

數學本身的存在是由於這樣的事實：存在有某些表述或者說定理，其陳述是簡單的，而它們的證明則需要很長的篇幅。 沒有人知道為什麼事情會是這樣。許多數學表述的簡單性既具有美學價值，又具有哲學趣味。

在整個數學的成長中，美學方面一直具有絕對的重要性。一個定理是否有用並不十分要緊，關鍵在於它是否精美與優雅。除了數學家，甚至在其他領域的科學工作者中，也幾乎沒有人能夠充分判斷、欣賞數學的美學價值，然而，即使對於那些初入門的數學學徒而言，美的重要性也是不可否認的。然而，我們可以反過來看看，是什麼可以視為數學最一般的方面。這最一般的特點就是它在作任何事情的時候必須小心謹慎，注意細節，對每一步驟都應確信無疑。在數學中我們不能滿足於粗線條塗抹，所有細緻之處必須在適當時刻描繪。

龐卡萊(poincare)曾經說過：“數學是一種語言，我們不能用這種語言表達不精確或含混不請的思想。”我想這段話出自很多年前他在聖路易斯博覽會上關於世界科學的一次講話。他還給出了一個語言如何影響思想的例子，他感到當用英語代替法語時對事物的描述會如何不同。

我傾向於贊同他的意見。顯然，法語具有其他語言所沒有的清晰性，我認為，清晰性造成了數學與其他科學文獻間的差別。思想可以被不同的方式所駕馭。在法語中，我想到的是對命題的概括，促使我朝向明晰和簡化。在英語中人們看到的是實際意義。而德語則傾向與使人朝向不總是存在的深度思考。

在波蘭和俄國，語言使其自身具有某種被釀造的意味，思想的發展像茶一樣越來越濃。而斯洛伐克語則傾向於是沉思的、超越物質的和可擴展的，其心理學意味強於其哲學意味。但是斯洛伐克語並非含混不請，也不象德語有那樣多的詞彙，且詞彙和音節連鎖在一起。詞彙和音節也鎖定了思想，而思想常常並不和語言一起展開。拉丁語又有所不同。它是有規律的，永遠是清晰的；詞與詞是分開的，不像在德語中那樣膠結在一起；二者的關係如同蒸煮適當與煮的過爛的米飯。

一般而言，我個人對語言的感覺是這樣的：當我說德語時，我所說到的每一件事物似乎都被誇張了，相反，在英語裡，總感覺沒有把意思表達充分。只有對法語而言，表達才似乎恰到好處，波蘭語也一樣，因為它是我的母語，感覺特別自然。

一些法國數學家習慣於以一種更為流暢的，不表述太多確切定理的風格寫作。這種方式比起現在某些研究論文和書籍在每一頁上充斥了大量符號和公式的風格更易於讓人接受。當看到只有公式和符號，幾乎沒有什麼文字時，我就感到掃興。對我而言，讀這樣的文章，而不知道它要作什麼，真是太累人了。我懷疑有多少數學家真正詳細讀過這樣的作品而且欣賞它們。

然而，確實有一些重要的，艱澀且不優美的定理，例如某些與偏微分方程有關的工作，在形式和風格上傾向於不那麼漂亮，但是可能具有深度，而且其物理解釋可以具有非常重要的意義。

今天，人們是如何進行價值判斷的？

在某種意義上，數學家的任務是分析他們工作的起因和來源，然而，當他們認為自己的主要職責是證明定理，而無須哪怕是在最低限度上指出這些定理為什麼是重要的，那麼他們實際是在愚弄自己而且是玩忽職守。如果完全歸結為美學原則，那不是把問題變得更加神秘了嗎？

我相信，在未來的幾十年中，甚至在形式化的高度，對美的程度都會有更多的理解， 雖然那時標準會有變化，而且還將會出現在不可分析的高水平上的超級美的概念。迄今為止，對任何試圖精確地分析數學中美學原則的人，不管他們提出的是什麼，似乎都過於狹窄了。它們都必須求助於與外部世界其他理論的關聯或者人類心智的發展史，甚至是純粹美學的，或者像音樂一樣完全主觀的。我確信，在一定程度上，至少利用形式化原則，利用類似思想的數學化，音樂的質量也將是可分析的。

某些多年未能搞清楚的老問題正在被解決。某些問題的解決帶來了巨大衝擊，然而另外一些問題的解決則可說是伴隨着失望和啜泣。這一說法適用於諸多表面看來同等重要和有意思的問題，然而其中的一些，甚至是一些著名的經典問題竟以如此特殊的方式被解決了，它使得沒有任何更多的東西可問可說。而另外一些不那麼著名的問題一旦解決反而變成了引發好奇和探索的源泉。它們似乎開闢了有前景的新領域。

至於說到論文的發表，今天數學家幾乎是被迫把他們得到結果的途徑隱藏起來。死於21歲的年輕法國天才伽羅瓦（Evarist Galois）在使他喪命的決鬥前的遺書中強調發現的過程如何不同於最終表現在出版物中的證明過程。再次重申這一點是重要的。

就整體和主要發展線索而言，在那些仍然工作着的數學家中，對每個人的成就和新定理的價值似乎確實存在着共識。因而，即使是數學家所主張的對美的感覺還不能定義，也必然有某種客觀性存在，有時也取決於在數學的其他分支或其他科學中，一項工作是否有用。為什麼在描述物理世界時，數學實際上如此適用，對我而言，至少在哲學上仍然是神秘的。Eugene Wigner曾經寫過一篇很吸引人的文章，論述數學看似“不合理”的有用性，題為“數學不合理的有效性”。

當然，數學是一種表達所有合理思想的簡潔方式。

在小學、初中和高中數學顯然還具有訓練思維的價值，正如其他遊戲一樣，練習會使器官更敏銳。我說不出今天一個數學家的思維是否比起古希臘時期的數學家更敏銳；然而就更長的進化時間而言，它應該如此。我確實相信，數學可能具有極大的遺傳功能，它可能是少數能使人腦完善的手段之一。如果確實如此，那麼對於人類，不管就群體或個人是否會有新的命運而言，沒有任何其他東西比數學更重要了。數學也可能是使身體發育的一種方式，這裡所說的是解剖學上人腦中新連接的形成。雖然物質的巨大增生顯示了一種走向衰老死亡的趨向，這一點還是具有明確價值的。

每一種形式化方案，每一種算法，都在其中含有某種不可思議的神秘之處。在猶太法典（The Jewish Talmud） 甚至在猶太神秘主義知識（Kabbalah）之中，都包含有一些對智力並不特別具有啟迪作用的材料，它們僅僅是語法或者食譜大全，有些或許是詩歌，而其他部分則是不可解的神秘之物，所有的材料都是相當任意的。在過去很多世紀裡，無數人的智力用於這些作品的研讀、記憶、剖析和分類。在做這些事情的時候，人們可能已經鍛煉了他們的記憶與演繹能力。正如我們可以在磨石上把刀磨利，人腦也可通過對枯燥單調事物的思考而變得敏銳。任何一種堅毅、持續的思考形式都有它的價值。

在數學中存在有那樣一些命題，諸如人們常常提到的所謂“Fermat大定理”，它長期沒有解決，且似乎是特殊的、與數論主體無關的問題。這些命題的表述十分簡單，然而所有最聰明的頭腦試圖證明它們的努力都遭到了失敗。這樣一些問題曾經激發了眾多年輕心智（包括我自己在內）的好奇心去進行更為一般的探索。至於Fermat 大定理，作為一個特定的、獨立的問題，激勵了過去300年間的數學，引發了數學思想活躍的新課題的創立，特別是所謂的代數結構中的“理想”理論。數學史中有許多這樣的創造。

虛數和複數（它們是服從特定加法與乘法規則的一對實數）的發明超出了它們最初創立時的直接用途和目的，開闢了新的可能性且導致了復變量眾多奇妙性質的發現。從支配解析函數的少數一般規則中，可以導出它們具有未曾期望的，簡單然而又是事先未能預見的性質（解析函數最簡單的例子是 ， e , z=log w）。解析函數有方便的算法，與幾何對象的性質有深刻的聯繫，而且涉及人們似乎是如此熟悉的自然數，即普通整數的奧秘。通過解析函數似乎某些支配着我們思想的不可見的，不同的宇宙隱約地變得可以感知，這是一個服從某些規律的宇宙，其中所發生的事件我們僅僅達到模糊地能夠覺察的階段。

某些似乎是很特殊的函數，例如黎曼Zeta函數與整數或素數的行為有如此深刻的聯繫是難以先驗地和深入地加以解釋的。實際上即使到今天，這一點也還未能夠被深刻地理解。無論如何，最近這些實體，這些由無窮級數定義的特殊的解析函數已被推廣於比複平面更為一般的空間，諸如代數曲面。這些實體顯示了似乎是不同概念間的聯繫。它們似乎也顯示了（由課題本身暗喻了）另外的現實曲面，另外的觀念上的（與觀念相關聯的）黎曼面的存在，這些觀念我們並未自覺地領悟。

復變量解析函數的若乾性質不僅僅是方便的，而且，在水力學理論中，在諸如水這樣的不可壓流體運動的描述中，在電動力學和量子理論自身的基礎中， 它們與事物的物理性質有根本性的關係。

一般空間概念的創立確實來自於我們對物理空間的感知，但是，它並不是完全地或唯一地被這一來源所指示和支配，對n維空間，此處n大於3，以至無限維空間的推廣至少作為一種語言對於基礎物理本身是如此有用，這些都是人腦的奇異功能嗎？或者它是將這些概念泄露給我們的物理實在固有的屬性？存在有不同程度或不同種類的無限性這一發明，或者說這一發現，對於那些易於接受新思想的頭腦而言，不僅僅具有哲學上的，而且還具有遠在此之外的心理學上的巨大影響。

談到數學，當然還有其他科學，特別是物理學的驚人魅力和神秘吸引力時，一個值得注意的經常發生的情況是，在象棋比賽中人們可以看到一個弱的甚至是初入門的棋手陷入了難解的複雜迷人的棋局。我常常注視着業餘棋手或者僅只是一些不具天才的初學者，看着他們走過十五步的棋局，看到或許是由於偶然，達到了某種未經設計的，而對雙方都充滿了奇妙可能性的局面。我想知道，在這些經驗不足的棋手甚至尚未領悟到的情況下，這盤棋自身如何產生出如此引人而又具有藝術魅力的局面。我不知道在圍棋中是否可能有類似的情況。對於那一美麗遊戲的複雜性我知之不多，我自己無法判斷，但是我很想知道，是否一個大師看到一個棋局時可以說出，它是由偶然性造成的，還是由正確的，深思熟慮布子的邏輯發展結果。

在科學，特別是在數學中，某些算法似乎具有相似的不可思議的奇妙性質。即以其原來的形式，其自身似乎具有某種力量產生出若干問題的解答或者是一系列新的展望。有些最初似乎僅僅是為特定目的所設計的工具竟然能夠具有許多未曾預見，未曾期望的新用途。

順便提一下，有一個困擾我的不知如何解決的小小的哲學難題：考慮諸如solitaire這樣的紙牌遊戲或者一種兩個人玩的遊戲。假設在遊戲過程中，玩的人可以有一次或兩次作弊。例如在玩Canfield solitaire 時，如果玩牌的人有一次改變了一張或兩張牌的位置且僅改變一次時，遊戲並不會被毀掉。它與原來的玩法儘管不同，但仍然是一個精確的、完整的、數學上有意義的遊戲，只不過變得更有趣一點，更一般一點。然而如果我們考慮一個數學系統，一個公理體系，且允許添加一個或兩個錯誤的命題，那麼結果立刻變得毫無意義，這是因為一旦有了一個錯誤命題，我們就可以隨心所欲地導出任何想要的結果。二者之不同在於何處呢？它或許是這樣的：僅僅在遊戲中某些類別的動作是允許的，而在數學中一旦一個不正確的命題被引入，我們可能立即得到零等於一這樣的命題。因而必須有一種方式推廣數學遊戲，使得我們能夠不發生錯誤，不陷入完全無意義的情況，而只是得到一個更一般的系統。

Hawkins和我曾經思索過下面的問題：它是遊戲20個問題的一個變種。某人想定一個數，這個數在一到一百萬之間（它恰恰小於 2 ）。另一個人允許提問最多20個問題，對每一問題第一個人只回答是或否。顯然，這個數可以按如下的提問方式猜出，首先問：這個數在一百萬的前一半嗎？然後在下一次提問中把數的範圍再縮小一半， 如此繼續。最後這個數可以在小於log (1,000,000)次提問中得到。現在假設允許回答者撒一次或兩次謊，那麼我們必須問多少個問題才能得到正確答案？顯然為了猜到2 中的一個數，我們需要超過n個問題，因為我們不知道回答者何時撒謊。在一般情況下這一問題尚未解決。

在我論述尚未解決的問題的書中，我說過許多數學定理都能被payzised （這是一個希臘詞，意思是玩）。這就是說，它們可以用博弈論的語言來確切表述。例如，一個相當一般的博弈方式可按下述方式建立：

假設N是一給定的整數，博弈的兩個參加者要構造N個字母 (n , n , … n ) 的兩個置換，這兩個置換由兩個參加者按下述方式輪流參與構造出來。對第一個置換，第一個參加者取n ,第二個取n ,第一個參加者再取n ,如此繼續。最終第一個置換得到了。然後他們為第二個置換博弈。如果兩個置換可生成整個的置換群，則第一個參加者贏，否則第二個贏。誰能有一個贏得這一博弈的策略？這僅

僅是一個小例子，說明在任何數學領域——在此是有限群理論， 我們如何可以發明一個類似的博弈方式，它導致純粹數學的問題與定理。

我們也可以問一些不同類型的問題：如果博弈是以隨機方式進行的，那麼偶然性是多少？這是一個將測度論、概率與組合學結合起來的問題。在很多數學領域中，我們均可按此方式行事。

十九世紀接近結束時，集合論革命性地改變了數學。這一變革開始於康托 （Georeg. Cantor）證明了（發現了）連續統是不可數的。在無窮邏輯的研究方面，外爾斯特拉斯（Weierstrass）和波爾察諾 （Bolzano）的確是先行者，然而第一個對無窮基數的精確研究無疑是屬於Cantor的。這起源於他對三角級數的討論，而且很快就改變了整個數學的風格和外貌。集合論的精神逐漸地擴展到了整個數學；近來它更有了一個技術上未曾料到的具有青春活力的新發展，這一點不僅限於它最為抽象的形式範圍，同樣也發生在它的直接應用之中。拓撲學與代數思想在它們最一般形式下的精確表述從波蘭學派（Polish school）的活動中得到了推力和方向，其中大部分來自於Lwow, 那裡的數學興趣集中在結合了幾何與代數思想的，粗略說來可稱之為泛函分析的領域。

以下對波蘭學派大部分活動的起源作一極度簡化的描述：在康托和法蘭西學派的數學家波雷爾（ Borel），勒貝格（Lebesgue）和其他人之後，上述類型的研究在波蘭安了家。費米（Laura Fermi）在他的傑出的移民（Illustrious Immigrants） 一書中，對大多數在美國的波蘭數學家給予了極度的讚揚，他們對這一領域的繁榮貢獻了大量有意義的工作。很多人來到這裡定居下來，繼續這樣的工作。同時Hilbert和其他德國數學家的分析研究對無窮維泛函空間給出了一個簡單的一般的數學結構，它在此後的進一步發展也是由波蘭學派作出的。莫爾（Moore）、維布倫 （Veblen）和在美國的其他數學家同時的獨立工作產生了代數與幾何觀點的交匯，以及僅在一定程度上可以肯定的數學活動的統一。

儘管有日益增加的多樣性和過分的專門化，數學研究課題的選擇仍然遵循着從不同獨立來源匯集到一起的普遍的潮流，線索和趨勢。

少數一些人利用不多幾個新的定義確實能在某些特定領域的工作中引發一次雪崩。這可部分地歸功於教師們的絕對影響力所造成的時尚與自我永存（self-perpetuation）。當我初到美國時，對我而言，似乎一切都誇大地集中在拓撲學上，這使我感到驚異。現在我感覺在代數幾何領域的工作或許是太多了。

哥德爾（ Godel）的工作是第二個里程碑，近來科亨（Paul Cohen）的結果使其更為明確。哥德爾是普林斯頓高等研究院的數理邏輯學家，他發現任何數學上的公理系統，即使是可數無窮的公理系統，都允許我們確切地表述一些有意義的論斷，然而在此系統中，它們是不可判定的——也就是說，在此系統中，對這些論斷的真理性我們既不能證明也不能證偽。 科亨則打開了通向整個一無窮公理類的大門。現在已經有大量的結果說明我們對無窮的直觀是不完全的。他們打開了我們直觀中對不同無限概念的神秘領域。這一點表明，數學並不象人們一貫相信的那樣，它不是一個建立在一組固定的，唯一給定的規律之上的完成了的實體，相反，它是在遺傳中進化的。由此，上述發現對數學哲學基礎的改變也作出了間接貢獻。上述觀點至今還未被自覺接受，但是它指出了通向不同前景的道路。數學實際將因無限概念而繁榮，誰能說出在今後五十年間我們對這一概念的態度將會發生什麼變化？肯定地說，將會出現某些東西——如果不是在現今詞彙意義上的公理，至少是一些新規則或者是數學家間關於新公設假定的一些協議，或者讓我們乾脆稱之為形式化所必須的東西，它是在給定了一個不可判定命題時，依據喜好其為真或偽而做的假設，表達了一種絕對的思想自由和構造自由。實際上有些命題是否不可判定也可能是不可判定的。哲學上這將是極為有趣的。

對數學基礎的興趣在一定程度上也是一種哲學興趣，雖然最終它象集合論一樣，滲透到了一切之中。然而“基礎”一詞是誤用；就現時而言，它僅只是一個更數學化的， 誠然， 是基礎性的專業。

對數學思想的起源與靈感之由來存在有兩種分歧極大的意見，有一方面認為，它們是被外部現實，即物理世界的影響所激發；另一方面認為是被生理學的發展進程，或許幾乎完全是人腦的發展進程所激發。在當前及不遠將來的電子計算機的使用中，上述兩方面以某種小的和特定的方式具有一相似的圖象。

即使把數學視作純粹是人類心智創造物的最為理想化的觀點也必須承認下述事實：幾何定義與公理的選擇，事實上多數數學概念的選擇，是通過我們的感官從外部刺激以及天然地從對“外部世界”的觀察與經驗中所得到的印象之結果。例如，概率論是從與賭博的偶然性有關的少數幾個問題發展而來的。現在，為解決特定數學問題所建造的計算機使得我們能夠在大得多的尺度上進行思維實驗，即理想化的實驗以及展示我們更為抽象的思想模式。

有一些遊戲模型，它們模擬了在活的有機體中通過化學反應產生的有生命物質的自組織行為。似乎這些模型的實驗將導致一些新的抽象的數學系統。（schemata）。新的，生長模式數學的研究，以及利用計算機實驗研究模擬了生存競爭的不同幾何位形間的各種角逐方式進程的可能性，將可能引發新的數學結構。我們可能再次將類似”payzonomy”的名字賦予彼此競爭着的不同作用方式的組合學，將”auxology” 這樣的名字賦予一個仍然有待發展的生長和組織的理論。後者最終將包括數學自身的生長樹。

迄今為止，對模擬幾何生長的數學性質，僅只是提出了最簡單和粗略的數學模式。（我自己的一些簡單模型的目錄可在Arthur Burke最近編輯的書：元胞自動機理論（A Theory of Cellular Automata）, 伊伊麗諾依（Illinois） 大學出版社出版中找到）

一個數論專家，英國數學家康維（John Conway）設計了一組特別精巧的規則. Conway的生命遊戲是遊戲與消遣的一個例子，非常類似於最終導致了概率理論創立的過去的與骰子和紙牌有關的問題， 而Conway的遊戲可能導致一種宏大的新理論，這一理論描述懷特海在他的哲學中所研究的“過程”。

由此計算機的使用似乎不僅僅是方便，對於那樣一些需要追蹤極大的移動步數或階段數極多的遊戲或競爭的實驗，計算機絕對是本質的。我相信作為追蹤這些過程行為的結果所獲得的經驗，對於最終可能歸納出的無論何物都有基礎性的影響，或許甚至可能替代數學中我們現存的，對形式化公理方法罕有的沉溺。

上面已經提到了科亨和其他一些人最近的結果，這些結果論述了某些最基本的數學論斷獨立於傳統的公理體系，表明了實用方法的新作用。利用原胞自動機工作將有助於表明一個問題是否可被現存的工具解決。

為了解釋我們心中到底想的是什麼，作為例子讓我們考慮三維空間中一個“小小”的特殊問題：在空間中給定了一條封閉曲線和一個給定形狀的固體，問題是如何移動這物體使之穿過這曲線。沒有明確的數學原則來判斷是否這件事能或不能完成。我們必須旋轉、扭動、推擠，嘗試着看看這件事能否作到。在高維空間，例如五維空間中，我們可以提出類似問題。想法是把問題提在計算機上，實驗各種可能的運動。或許在經過多次嘗試之後，我們能夠獲得在此高維空間中對此運動之自由的一些感性了解，以及一種幾乎可觸及的新類型的直觀。當然，這是一個小的不重要的例子，但是，我感到利用這些新工具，特別是電子計算機進行適當的實驗，建立和觀察各種生長過程和進化發展，人們可能發展新的想象力。

就我而言，看來電子計算機所造成的衝擊和它的作用將極大地影響純粹數學，正如它已經對數學科學，以及主要地，對物理學、天文學和化學所做的那樣。

這些對未來數學面貌猜測性的展望已使我們遠離馮諾依曼（von Neumann）和他的同代人，以及它們在前四分之一個世紀中對科學發展的作用。人腦中器官活性的增長速率無疑由計算機的發明所加速，而且其增長似乎以某種方式預報了我們思想和生活方式中質的變化。正如波爾（Niels Bohr） 在他一次有趣的談話中所說的：“預報，特別是預報未來是很難的。”但是我認為數學的面貌將會有極大的改變。某些極為不同的東西可能會發展起來，對公理化方法自身會有完全不同的觀點。代替對現今數目已達數百萬之多的特殊定理的細緻工作，，代替依據那些一經給定便永遠給定了的符號的運算規則進行思考，今後數學將可能由越來越多的問題，或者迫切需要之物，或者適用於一般性質工作的程序所組成。將不再有大量的額外的特殊空間、特別定義的流形、或者這樣那樣的特殊映射，雖然它們中的少數會保留下來：”apparent rari mantes in gurgite vasto,”不再有新的大量個別定理的匯編，替代物是一些大定理，大課題的概要或輪廓，定理證明之外的實際工作將留給學生甚至是機器。未來與現在數學的不同或許將變得可與印象派繪畫與早期畫出細節的繪畫間的差異相比。它可能會更生動具有更多的變化場景，這不僅僅表現在定義的選擇上，同時也發生在遊戲規則本身上。從古代至今，這一偉大遊戲的規則還從未改變過。

雖然規則從未變化，在我們一生之中數學的內容卻已發生了極大的變化。在十九世紀，數學的應用完全包含在物理學、天文學、化學、力學、工程和所有其他的技術領域。就近代而言，數學已用於表述其他科學的基礎，所謂的數學物理實際是整個物理的理論，已深入到像量子理論、奇異的四維時空連續體這樣最抽象的部分。這些明確地是屬於二十世紀的。 在短短的六十到一百年間，數學思想的應用令人難以置信地改變了它的擴展方式。可以說，這一擴展伴隨着或大或小的新數學課題爆炸性地創立，以及可以“導致死亡”的幾乎像“猶太法典”一樣的對增生的細枝末節的研究與吹毛求疵的研究趨勢。

不久前我在普林思頓馮諾依曼計算機建造二十五周年慶祝會上講話時，突然開始在心中默默估計每年要有多少定理在數學雜誌上發表。（一個定理被定義為它是合理地以“定理”標識的且發表於公認的數學雜誌上。）我迅速地進行心算，令我感到有意思的是我能在談着一些完全不相幹的事情下做這件事，而且得到了大約每年十萬個定理這樣的數字。我很快改變了話題，講述了這一點，聽眾被吸引住了。讀者可能感興趣的是，第二天聽眾中的兩個青年數學家來告訴我，被前一天我所給出的巨大數字所震動，他們在學院圖書館中進行了一次更為系統與細緻的研究。將雜誌數乘以每年出版的期數，再乘以每期的文章數，最後乘以每篇文章的平均定理數，他們估計每年的定理數差不多有二十萬。如此大的數量肯定是一件應當考慮的事。如果我們相信數學更像遊戲和字謎，那麼有些事情是值得憂慮的。顯然危險在於數學本身將遭到被分裂為割裂的幾門不同科學，分裂為一些獨立的聯繫薄弱的科目之命運。我個人希望這種情況不要發生。因為如果定理的數量大到超過一個人可能考察的，誰能可靠地判斷什麼是“重要”的？問題變成了保存記錄，以及已有結果的存儲和重現。這已經變成了最重要的問題；如果沒有了相互交流，我們不可能最適當地生存下去。

甚至是最為卓越和激動人心的一些成果實際上也不可能保持齊頭並進。我們如何把這一點與數學將作為一門單一科學生存下來的觀點相調和呢？正如我們不可能知道所有美麗的女性和所有美麗的藝術品，但我們最終只和一位美麗的人結婚一樣，我們可以說：在數學中，人們與其各自的小領域婚配。因此在數學研究中的價值判斷正在變得越來越困難，我們中的多數正在變成主要是技術人員。年輕科學家們所研究課題的多樣性呈指數增長。或許我們不應將其稱之為思想污染，可能這只是產生了百萬不同昆蟲物種的大自然之慷慨的一種表現。不論我們的感覺如何，上述變化是與人類的科學理念不相吻合的，人類科學理念的目的在於理解、簡化、概括，特別是發展一種適用於思維與自然現象的符號系統。