在科學發展中新思想與新概念衝擊一個青年的心靈，且不可逆轉地鑄造了它的實際方式是不可預期的，。此後，當這一心靈成熟或老化時，即使已經變得不那麼敏感甚至遲鈍的時候，那不可預期之物引起了某種疑問，而這一疑問誘發了新的模擬類比。愛因斯坦說過，“我們能夠經驗的最美麗的東西就是神秘之物。它是所有真實藝術與科學的源泉。”

數學創立了新的思想客體——我們可以稱之為準現實——這些客體所據以產生的思想以一種獨立發展的方式開始了它們自己的生命。這些思想客體一旦誕生，就不再可能被個人給予任何控制，而僅被永遠不朽的所有數學家的頭腦所把握。

數學才能與天賦是難於定量的，我傾向於認為從平庸之才到像高斯、龐卡萊與希爾伯特這樣的高水平之間有一幾乎連續的過度。所依賴的不僅是大腦。這其中肯定有我希望用一個較好的，稱之為“荷爾蒙因子”的詞，或者用頑強、身體能力、工作願望來描述的，和一些人稱之為“熱情”的性格特點的作用。這些因素極大地依賴於習慣，習慣主要是在兒童或年輕時代，當偶然的早期印象起巨大作用時養成的。無疑，稱之為想象力或直觀的很多品質來自於腦的生理結構性質，而且部分地是可以通過訓練來發展的，這些訓練引導至一定的習慣性思維或系統思維的習慣方向。

對不同的人說來，投身於未知與不熟悉領域的意願是不同的。存在有類型明顯不同的數學家——他們中有些人偏愛鑽研現有問題或者構建某些已有的東西，而另外一些人則喜愛想象新的模式和新的可能性。前一種人或許是大多數，可能多於百分之八十。當一個年輕人試圖建立自己的聲譽時，他主要是對那些已被研究過但尚未解決的問題進行鑽研。如果他是幸運的且足夠強健，以這種方式，他可與比前人躍過了更高高度的打破記錄的運動員相比。雖然含有新思想的概念常常具有更大的價值，但年輕人往往不願嘗試這一點。因為對他而言，即使新思想是重要且美麗的，他也不知道是否能得到好評。

我個人屬於喜歡創立新思想，而不是致力於改進與精心構造體系的類型。能從越簡單越“初等”之處開始，我就越喜歡。我不記得曾使用一些複雜定理去證明更複雜的定理。（當然，這全是相對的，世上沒有什麼是新的——每一件事物都可以回溯到阿基米德，甚至更早。）

我還相信，人的一生中工作領域的改變能使人恢復活力。如果一個人在同樣的子領域或同樣狹窄的問題類型中停留過久，某種自我中毒會阻礙他獲得新的觀點，且可使人變得陳腐。不幸的是，在數學的創造性中，這一情況並非僅見。

數學除了其宏大的前景之外，在對美的鑑賞和對新實在的直觀上，還有一個不那麼明顯和健康的誘人性質。它或許類似於某些化學藥品的作用。一個初看起來，直觀感覺既平凡又常見的小小難題可以產生迷人的影響。我記得數學月刊上偶爾會發表由一個關心圓、直線和三角形在平面上的平凡排列的法國幾何學家投寄的一些問題。用德國人的話說：“這些問題是Belanglos（無足輕重的）”。但是，一旦你開始考慮它們該如何求解時，甚至當你認識到解題所花費的時間不可能導致更激動人心和更一般的課題時，這些圖形還是能吸引你。這一點與我對費馬（Fermat）定理之歷史所說的是極為不同的，費馬定理導致了大量新代數概念的創立。二者的差別或許在於，通過適當的努力，小的問題可以被解決，然而，費馬定理至今（指作者寫作時——譯者）仍未被證明，繼續是一種挑戰。然而，對於那些可能成為數學家的人說來，兩種類型的數學好奇心，都具有從最瑣碎平凡到最激動人心的一切方面的強烈迷人的品性。

過去，總有為數不多的數學家，像龐卡萊（Poincare）,希爾伯特（Hilbert）和魏爾（Weyl）, 他們或隱或顯地給出了一些具體思想或者可供其他人選擇的工作方向。現在，這一點如非不可能，也是變得更加困難了。或許在現有的數學家中，沒有一個人哪怕僅只是理解所有今天已被寫下的東西。

三十多年前，Eric Temple Bell 寫了一本名為“數學發展（The Development of Mathematics）”的書，其中包括了一個非常好的簡要描述的數學史。（或許，按G-C Rota 的說法，我喜歡它，是因為這本書提到了我的工作，儘管成書時我只有二十八歲，而且這只是一本小書。然而，在一本簡史中被提及，比起在一本巨著中被講到，使人有更大的成就感。）但是當一個出版商詢問魏爾可否寫一本二十世紀數學史時，他拒絕了，因為他感覺沒有人可能做這件事。

馮諾依曼（Von Neumann）可能曾經渴望作這樣的事。三十五年前他曾對我承認，他所知道的數學少於全部數學的三分之一。應他的提議，我策劃了一次對他的涉及不同領域的博士式的考試，試圖找出一些他不能回答的問題。我確實找到了這樣的問題，在微分幾何、數論和代數中，每個領域有一個他不能給出滿意答案。（這一點似乎傾向於說明博士考試並無持久意義。）

至於我自己，我不能說知道大部分的數學技術性材料。我有的可能只是對眾多數學領域中的要點的一些感覺，或許還可說僅僅是對要點中的要點的感覺。很可能，以這樣的水平，在一些他不知其細節的數學分支中，人們可以猜測或感覺什麼可能是新的，或者什麼是已知的，什麼是未知的。我想在一定程度上，我有這種能力， 且常常可以分辨一個定理是否是已知的，即已經證明的，或者它只是一個新猜測。這是一種感覺，它來自於量詞排列的方式，來自於表述的音調或樂曲，如是而已。

可與上述類比的是：我能記得曲調，也能相當正確地用口哨吹奏各種悅耳的歌曲。但是當我試圖作曲或發明一些吸引人的新曲調時，我只能沮喪地發現，我所作的，只不過是我聽到過的平凡組合。這與數學完全不同，在數學中我相信，只要更多地接觸，我就總可以提出一些新東西。

在數學中，合作是很有意思的，而且這是過去幾十年間發展起來的新現象。

在實驗物理學中，使用不同類型儀器設備的研究者在一起工作是很自然的。現在的每一項實驗實際都是一類技術項目，特別是需要大型機器，這些機器的建造與運行需要幾百名工程師與專家。 在理論物理學中這或許還不明顯，但它是存在的，而數學對此則是陌生的。我們已經看到，數學中的創造性努力要求高度集中精力和連續若干小時的持續思考，而這往往是被兩個人共同分享的。他們僅僅是相視而坐，需要交流時偶爾談上幾句。現在肯定的是，甚至在最抽象的數學問題中，兩個或更多的人也會在一起工作，試圖找到一個證明。許多文章有兩個，有時三個或更多的作者，彼此交換猜想及可能的試驗途徑，這種方式有助於得到部分結果。交談比起寫下每一個思想更容易，這可與分析一盤相棋局類比。

很可能，未來一大群在一起工作的數學家將會給出重要、美麗和簡單的結果。最近幾年，已經有些結果由這種方式產生。例如希爾伯特問題之一的求解丟番圖方程的算法存在性問題實際已經由生活在這個國家的幾個科學家得到了解答。（肯定不是彼此平行的，而是有順序的。）最終結果屬於年輕的俄國數學家尤里馬季亞謝維奇（Yuri Matiasevic），他完成了最後一步。在美國和波蘭獨立工作但彼此了解成果的幾個數學家解決了一個古老的巴拿赫（Banach） 關於巴拿赫空間的同胚問題。可以說，他們在彼此的肩膀上攀登。

正是在Los Alamos 製造原子彈的有關材料被公開以後，“臨界當量”這個詞變成了流行的比喻說法，用以描述為了得到成功結果而在一起工作的一組科學家的最小數量。如果人數足夠多，這組科學家的成果爆炸性地產生出來。當臨界當量達到時，像中子反應一樣，由於相互激發，結果以指數增長的方式變得更大更快。在這樣的一個臨界當量被達到之前，進步是逐步的，緩慢和線性的。

科學家在其他方面工作習慣的變化至今是緩慢的。現在，在科學世界象牙塔的生活模式中有了更多的學術會議， 更多的為政府的工作。有些簡單但是重要的事情，例如寫信也發生了值得注意的變化。不僅對於文學界，寫信一向是一種藝術。數學家們曾是長信的書寫者。他們寫親筆信且在通信中與數學思想一起寫下了長長的內心的和個人的細緻感受。今天，讓秘書幫忙的可能性使得這樣的私人交流更為難以進行。一般說來，科學家難以口授技術材料，特別是數學家間信件交流很少。在我所收到的我所認識的所有科學家超過四十年的全部來信中，我們可以看到一種在戰後加速了的逐漸變化，即從長的、私人的手寫信件變為更像官樣文章的、乾巴巴的打字短箋。近年來與我的通信中，只有兩個人繼續保持手寫，他們是喬治蓋莫夫（George Gamow ）和 Paul Erdos。

一位獲得過諾貝爾獎的物理學家Chen Ning Yang講過一個故事，這一故事表現了現代物理學家和數學家間智力關係的一個方面。

一天晚上，一群人來到一座城鎮，他們需要洗衣服。為此他們沿街步行，試圖找到一家洗衣店。他們發現了一處地方，櫥窗中有一幅標牌(sign)，“請在此洗衣”。這群人中的一個問道：“我們可以把衣服交給你嗎？”店主回答：“不，此處不洗衣服。”來訪者又說：“這怎麼可能呢？你們的櫥窗里有洗衣的標牌。”回答是：“我們這裡是製造標牌的地方。”這多少與數學家所處的情況相似。數學家是標牌（Signs, 標記、符號——譯者注）製造者，他們希望這些標記可適用於一切偶發情況。物理學家同樣也創造了大量的數學。

在某些更為具體的數學領域，例如概率論中，像愛因斯坦（Einstein） 和斯莫路科夫斯基（Smoluchowski） 這樣的物理學家，甚至在數學家之前便開創了確定的新領域。信息論和信息熵的思想以及它們在一般連續介質中的作用源自於像斯基拉德（Leo Szilard） 這樣的物理學家和工程師仙農（Claude Shannon） , 而不是來自“純粹”數學家。然而數學家能夠而且應當在此之前早就完成了這些事情。熵是分布的一個性質，是起源於熱力學的一個概念，此前被用於物理對象。但是斯基拉德（以很一般的術語）和仙農對一般數學系統定義了這一概念。誠然，維納（Norbert Wiener）在此概念的發生上起了某些作用，而像柯爾莫哥洛夫（Andrei Kolmogoroff）那樣的一些卓越的數學家此後發展並推廣了這一概念，並將其應用於純粹數學問題。

在過去的時代，像龐卡萊這樣的數學家懂得很多物理。希爾伯特不象知道很多真正的物理實質，但是他寫了關於物理技術和邏輯的很重要的文章。馮諾依曼也很懂得物理學。但是我應當說，他不具備物理學家對實驗和從實驗追索的自然感覺。當量子力學可能被數學化時，他對量子力學基礎是感興趣的。對物理學而言，物理理論的公理化途徑正如語法之於文學。對物理學而言，如此的數學清晰性，在概念上並不必然是重要的。

另一方面，理論物理中的多數工具以及某些個別思想的先導來自於純數學。被黎曼預言性設想過的，對後來的物理學極為重要的一般非歐幾何產生於相對論之前。而希爾伯特空間算子的定義和研究產生於量子力學之前。在任何人夢想使用希爾伯特空間算子的譜表示去解釋實際的原子發射光譜之前很久，譜這個詞便已被數學家所使用。

我經常感到奇怪，為什麼數學家至今未把狹義相對論推廣為不同類型的“特殊相對論”。（這一說法所指的不是現在已知的廣義相對論。）我肯定在一般空間中，存在有其他可能的相對性，它們是數學家至今尚未嘗試過的某種東西。已有無數文章討論了不具有時間維度，推廣了一般幾何的測度空間。讓我們把時間放進去，和空間放在一起，而數學家保持在外面。拓撲學家停留在空間裡，他們尚未考慮把四維時空一般化的思想。對我來說，無論在認識論還是在心理學上，這都是很難理解的。（我能夠想到范丹契克（van Danzig）的一篇文章，他從哲學上考慮了有關時間的拓撲概念。他說，它可能是一個螺線管型 (solenoidal) 變量。我喜歡這一點。但是顯然，對於類時空間我們應當做更多更具想象力的工作。）

眾所周知，特殊相對論假設且完全構建於如下的事實之上，即不論源或觀察者如何運動，光永遠有同一的速度。所有的一切都是從這唯一的假設導出的，包括著名的公式E=mc 。從數學上說，光錐的不變性導致了洛倫茲（Lorentz）變換群。現在僅僅是為了數學上有趣，一個數學家可以假設例如頻率保持不變，或者某些其他類的簡單物理關係不變。利用邏輯推演，人們可能看到在這樣一個非“現實”的宇宙圖象下，將會有什麼樣的後果。

數學現在與它在十九世紀的面貌完全不同了，甚至百分之九十九的數學家對物理沒有感覺。物理學中有如此之多的思想引發了數學靈感——新的數學公式、新的數學思想。我並不是指數學在物理學中的應用，而是指相反的另外的方式，物理學成為新數學概念的激發者。

與數學相反，原則上，在物理學中我們可以保持正在研究的不同問題更為同步地前進。每一個物理學家都可以知道大部分物理學的要點。現代物理學中只有極少數的，諸如基本粒子性質或物理時空性質這樣的基礎問題。

在今日的理論物理研究中，儘管很多年輕人非常聰明、勤奮，且在技術上超群，但他們的思想卻趨向於傳統。就總體而言，僅僅是對於已經得到的東西做了一些小的改變和細節加工，再就是延續過去已經開始了的途徑。或許情況一向如此，新思想實際僅是例外。

有時，為了刺激那些花費了他們全部時間，用以檢驗不多幾個十分奇特粒子的當代物理學家的年輕朋友們，一半也是為了開玩笑，我告訴他們，為得到關於物理學基礎以及事物時空模式的新靈感，他們的作法並不必然是最好的方式。

當然，就此而論，這並不是一個明白無誤的問題或者是一個被認可了的問題。在我的心目中，占第一位的物理問題是：是否存在無窮多的結構，它們的尺度越來越小。如果確實如此，對數學家而言，即使是在他們的拓撲學中，在越來越小的區域內，仔細考察空間和時間是否會改變則是值得的。在物理學中，我們有一個原子論的或者說場結構(field-structure) 的基礎。如果實在最終由一個場組成，那麼它的點是真正的數學點，且是不可區分的。那麼存在一種可能性，在實在中我們有一個奇異的無窮多階段的結構，每一階段性質是不同的。這是一個十分誘人的圖象。它變得更富有物理意義而不僅僅是一個哲學難題。近來的實驗肯定地顯示了不斷增加的結構複雜性。在一單個核子中我們可以有Feynman所稱的許多部分子(parton)，這些部分子可以是假設的夸克(quarks)或其他結構。最近理論上嘗試不再用簡單夸克解釋理論模型，而是需要涉及不同類型的有色夸克。或許我們已經達到了這樣一個時刻，考慮最終趨向無窮的一個相繼的結構序列可能是更可取的。

理論物理所以可能，是因為一些客體或情形存在有相同或近似相同的摹本。如果我們按定義把宇宙視為唯一的（雖然星系彼此確實是相似的），把世界看作一個整體，那麼對於把宇宙作為一個整體所要問的問題就有了不同的特性。添加少量更多的元素到一個已經數量很大的系統之中的穩定性不再有保證了。我們沒有辦法對多個宇宙進行觀察或實驗。因而宇宙論和宇宙起源學說的問題比起那些甚至是最基本的物理問題都有不同的特點。

在這單一的宇宙中，如果沒有極大數量相似或相同的點，或點的子集，或群，科學將是不可能的，物理學也將是不可信的。所有的單個質子似乎是彼此類似的，所有的電子彼此似乎是類似的，宇宙間任何兩個物體間的引力似乎是相似的，這一引力僅僅取決於距離和質量。由此看來，物理學的作用特別在於將存在着的多種群體劃分為不同的實體，每個實體具有非常多的彼此同構或幾乎同構的例子。物理學的希望在於如下的事實，即人們幾乎可以重複某些情況，或者當不能精確重複時，產生一個或幾個小的變化相對而言不會使情況有什麼不同。不管是有二十個還是二十二個物體都不能使它們的行為有根本不同。這是對某種基本穩定性的信念。無論如何，所希望的是：依據一些較簡單的實體以及構成要素的同一性，利用某種聯合或計數來描述物理。例如，至少直到最近，物理學家相信如果有很多質點時，其集體行為可被任何二質點之間的相互作用來解釋——這意味着將任何兩個物體間的位相加。反之，如果每次添加的很少物體都使整個系統的行為改變，那麼將沒有物理科學。物理學教科書並未充分說出這一點。

如果把兩個代數結構間的距離以及為了證明一個表述或定理所必要的全部勞動定義為能量，則我們可以把熵的概念與複雜性概念聯繫起來。有結果表明，在給定的系統中為了證明這個或那個公式，我們需要相當多的步驟，最小的充分步數可以被定義為功或熵的類似物。這是值得想一想的。為了給出它的一個實用的理論，需要學識、想象力和常識。即使對於現在已經建立了的物理學主體而言，也不存在公理系統。

正如在純數學中一樣，在理論物理中，我們也看到了由偉大的、未曾預料的新思想以及已有理論的偉大綜合所組成的二分現象。這樣的綜合在某種意義上與新概念的產生互補或相反。他們把過去的理論以一個並不顯然的方式加以概括。讓我來解釋這一差別：特殊相對論是一個推理的，很奇特且神秘的概念。它涉及一個幾乎無理的洞察和一個難於置信和用於推理的，依據下述實驗事實的公理。這一實驗表明，對於一個相對於固定光源運動的觀察者而言，光速似乎是不變的。當光源離開或朝向觀察者移動時，相對於觀察者的光速是相同的，而不管觀察者和光源間的相對速度如何。僅從這一點出發，一個偉大的理論大廈就被建立起來。這是一個關於時間和空間的物理理論，正如我們現在所知，它具有如此之多技術上噴涌而出的令人驚異的推論。

類似地，量子力學以某種方式涉及一個推理的、非直觀，或者說未曾期望的概念集合。

麥克斯韋電磁學說是偉大的理論合成的一個例子。它產生於大量實驗事實被確立之後。這些實驗事實對其最初的發現者而言或許並不如此奇怪。以一組數學方程解釋了這些觀測事實的理論，構成了令人印象最為深刻的人類思維成就之一。

似乎對我說來，就認識論而言，這一理論與相對論和量子理論比較具有不同的性質。可以說，相對論與量子理論是更出乎預料的。

在天文學中，近來的觀測發現表明：在星的類型、星的聚集、星團、星系以及奇異新客體的多樣性方面，宇宙顯示了連續的不可思議性。這包括中子星、黑洞和其他很特殊，直到現在仍然未知的物質集合的若乾性質，以及巨大的分子云和星際空間中它們的某些“先期結構”(pre-organic)。這再次表明了相對於我們的概念而言的宇宙的不可思議性。概念是由以往的所有觀察，在過去學習的知識和原則下獲得的。

在物理學中我們會感到驚奇，現在這種情況也常常發生在某些物理發現的更為技術性或更為實際的結果之中。例如各種綜合衍射圖概念與有關發展的應用，這些應用最初是令人十分困惑的。類似地，一般而言，激光技術也給人以深刻印象。

生物學中近來的發現是革命性的，而且預示了這些發現僅僅是地球上未來生命模式難以置信變化的新前景的序曲。在認識論上，這一點具有完全不同的性質。我被生命基礎安排的合理性所震驚。生命物質的複製方式發現了，所有的一切遵循Crick 和Watson的模式。生命編碼的性質，或者，按法國人所說“tout ce quisy rattache”，相反表明了一種很可理解的，幾乎是十九世紀的力學安排。為理解它們如何運作不需要基礎物理。為解釋基本的分子反應現象量子理論是重要的。生命安排的基礎，而不是生命安排自身，在涉及生命自身結構的方式上，似乎是准力學的，或者幾乎是准工程的。

人們可能會問，為什麼會是如此？為什麼我們對物理世界的理解、生命物質的世界， 或者我們自身、我們思維的模式，並不象是連續地進行或自然增長的。代替平穩增長的邏輯發展，我們觀察離散的量子階段。是否就其不可言狀的結構而言，世界實際是簡單的，然而使之產生意識，或者使其具有可交流的理解的神經系統之機構，不可避免必須是複雜的。我們的腦連同它的所有神經元及其連接的結構公認是一十分複雜的安排。是否腦的這一結構並非最適宜於直接描繪宇宙，或者反過來，實在是構建在某些很複雜的客觀尺度上，對此我們甚至還未想到。我們以自己簡單的頭腦試圖探索它，且以笛卡兒在其“Discours de la Methode”一書中提出的，以簡單步驟連續逼近的方法去描繪它。

（對於在生物學研究中，數學未來作用的可能性的一個更為細緻的考慮請讀者參看我的文章“生物學的一些思想和前景”。這一題目的技術方面多少超過了此處一般說明的範圍。有興趣的讀者可能願意看一看此文。）

在社會科學中，一個像我這樣的門外漢感覺現今並不存在什麼理論或較深刻的知識。或許這是由於我的無知。但我常常感覺，只需觀察一下局勢，讀一讀報紙，例如紐約時報，你就可以像大專家一樣，具有很多預測或經濟學知識。除了人所盡知的平凡知識外，關於是什麼引發了主要的經濟或社會政治現象，我不認為這些大專家有什麼哪怕是最細微的思想。

有一件事，我甚至不能估計它的影響，我認為，它將可能比任何已有的宗教造成迄今為止的更大衝擊， 這將是宇宙間其他智能生物的存在與發現。這些生物或許在離太陽係數千光年的距離之外，但完全可能已經存在有傳送了很長時間的波，我們可能突然將其破譯。這將是一個無需雙向通訊的（外星文明）存在性的徵兆或證明。這對人類將會產生壓倒一切的影響。這可能會很快發生。它可能帶來某種恐慌，或者相反，產生一種新型的宗教。

我們全都讀過關於飛碟和其他不不明飛行物的材料，Edward U. Condon對此進行了十分徹底的研究。多數情況易於證明是光學或其他方面的幻覺，或者是大氣自然現象。但仍然有極少數情況被識別為不明飛行物，它們是最令人困惑的。以Mount Wilson的天文學家小組為例，他們在散步時發現了奇怪的轉瞬即逝的物體，而當他們回到天文台時看到了高放射性的儀表顯示。還有幾次，飛行物是同時被飛機和雷達在視覺上被追蹤的，到目前為止也未得到解釋。

費米習慣於問：“每一個人都在何處？哪裡是其他生命的標記？”

就我看來，只有生物學而不是任何其他科學，在今後十到十五年間將會改變我們這個世界的生活方式。最初看來似乎是頗為尋常的一些發現對世界的組成已經發生了甚至比大戰更多的影響。新的藥物，一方面如盤尼西林，另一方面像避孕藥物，已經改變了人口的平衡。

作為生物學發現快速步伐的說明，我最近在一周內聽到了兩個癌症研究的重要進展。其中之一是密執根的科學家已經在人類乳房癌細胞中發現了一種病毒。另一個是在具有非常好的電子顯微鏡設備的

Boulder 進行了一項實驗，產生了一種令人吃驚的新技術。Keith Porter和他的助手們能夠得到去除了核的細胞。那些未被損壞的細胞核可以被轉移到其他的無核細胞中去。從效果上說來，這相當在細胞間交換了核。例如，一個癌細胞可以把它的核取出，然後再放入一健康細胞之中。然而此後新細胞可能變為是正常的。這是最值得注意之處，它說明：某些指令可能不像過去一直相信的那樣來自於細胞核，而是來自於細胞質。

在未來，食物生產之新的或替代的方式，比起任何現有詞彙意義上的政治—社會—經濟發展對地球上人類生活的形態與模式都將有大得多的影響。所有這些都可以是顯然的，但是常常顯然的東西在它們實現之前需要反覆地被重複。世界將會變得如此不同。我想起了一本書，名為“下一百萬年”（The Next Millon Years）,此書出版並不久，但它是多麼缺乏想象力啊！

在所有人中間，蓋莫夫的趣味、馮諾依曼的預見、巴拿赫與費米的工作，全都對擴大今天的科學領域和極大地擴展物理學與數學的前景作出了貢獻。如此之多的新景象和成果來自於所有科學門類偶然而幸運的匯合，這是令人驚奇的。