評幾句紫荊棘鳥的阿列夫0問題（順便解之）

送交者: 定理 2010年09月07日20:38:16 於 [教育學術] 發送悄悄話

一、原來全伊今天‘勢’‘勢’了半天的‘勢’，指的是cardinality。是誰譯的這麼糟糕? 二、紫荊棘鳥提的問題 － －－－－－－－－ 整數集的勢記為 A0 (阿列夫0)。 大家知道，對無窮集合，A0 是最小的。 現在來個假設 (先請不要批評這個假設)，假設 A0 是某個集合 S 的冪集的勢，那麼 ||S|| < A0， 但是 S 顯然不是有限集合，所以 ||S|| >= A0。 這個顯然矛盾。 當然最簡單的解釋是，這個集合 S 不存在 ---- 如果這樣，這個問題就沒意義。所以，有什麼理由一定得假設 S 不存在嗎？ －－－－－－－－ 如果上面引用的頭一二段里句句都是真的，那麼結論不是紫荊棘鳥的末段里的‘這個問題沒意義’，而是她的假設‘A0 是某個集合 S 的冪集的勢’是不真的。 三、紫荊棘鳥不應該不懂我上面的第二點，所以她最後的問題，應該是裝傻下圈套。 四、上面引用的紫荊棘鳥的頭一二段當然是錯的。錯的地方是她所稱的 ‘假設 A0 是某個集合 S 的冪集的勢，那麼 ||S|| < A0’。 為甚麼錯？因為存在一個cardinality等於阿列夫0的集合、其冪集的cardinality也等於阿列夫0。要找這樣的集合不難，這就是一個：從2數起的質數所組成的集合，名之曰 Ｓ。 要證明Ｓ的cardinality＝阿列夫0，我們只需構造一個從Ｓ到整數的一一對應。如下就是一個如此的一一對應： 任取Ｓ里的一個元素，姑命之曰T，構造一個正整數如下： 2^(T, 2) * 3^(T, 3) * 5^(T, 5) * 7^(T, 7) * ... * p^(T, p) * ... 上面的 2, 3, 5, 7, ..., p, ... 是從2數起的全部質數；對任一質數p，若p包含於Ｔ，則(T, p)＝1，否則(T, p)＝0。 明顯地，不同的Ｔ，按以上方法構造出的正整數也就不同。所以是一一對應。 結論：紫荊棘鳥提的問題沒有意義，但原因並非她所猜的‘A0 是某個集合 S 的冪集的勢’的那個‘集合 S 不存在’，原因恰是那樣的集合Ｓ存在。

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