數學家因其品稟各異，大致可分為下列三種：

(一)創造理論的數學家。這些數學家工作的模式，又可粗分為七類。

●從芸芸現象中窺見共性。從而提煉出一套理論，能系統地解釋很多類似的問題。一個明

顯的例子便是上世紀末Lie在觀察到數學和物理中出現大量的對稱後，便創造出有關微分

方程的連續變換群論。李群已成為現代數學的基本概念。

●把現存理論推廣或移植到其它結構上。例如將微積分由有限維空間推廣到無限維空間，

將微積分用到曲面而得到連絡理論等便是。當Ricci,Christofel等幾何學家在曲面上研究

與座標的選取無關的連絡理論時，他們很難想像到它在數十年後的Yang-Mills場論中的重

要性。

●用比較方法尋求不同學科的共同處而發展新的成果。例如：Weil比較整數方程和代數幾

何而發展算數幾何：三十年前Langlands結合群表示論和自守形式而提出“Langlands綱領

”，將可以交換的領域理論推廣到不可交換的領域去。

●為解釋新的數學現象而發展理論。例如：Gauss發現了曲面的曲率是內蘊（即僅與其第

一基本形式有關）之後，Riemann便由此創造了以他為名的幾何學，成就了近百年來的幾

何的發展；H.Whitney發現了在纖維叢上示性類的不變性後，Pontryagin和陳省身便將之

推廣到更一般的情況，陳示性類在今日已成為拓撲和代數幾何中最基本的不變量。

●為解決重要問題而發展理論。例如J.Nash為解決一般黎曼流形等距嵌入歐氏空間而發展

的隱函數定理，日後自成學科，在微分方程中用處很大。而S.Smale用h-協邊理論解決了

五維或以上的Poincare猜想後，此理論成為微分拓撲的最重要工具。

●新的定理證明後，需要建立更深入的理論。如Atiyah-Singer指標定理，Donaldson理論

等提出後，都有許多不同的證明。這些證明又引起重要的工作。

●在研究對象上賦予新的結構。Kahler在研究複流形時引入了後來以他為名的尺度；近年

Thurston在研究三維流形時，也引進了“幾何化”的概念。一般而言，引進新的結構使廣

泛的概念得到有意義的研究方向。有時結構之上還要再加限制，如Kahler流形上我們要集

中精神考慮Kahler-Einstein尺度，這樣研究才富有成果。

（二）從現象中找尋規律的數學家。這些數學家或從事數據實驗，或在自然和社會現象中

發掘值得研究的問題，憑着經驗把其中精要抽出來，作有意義的猜測。如Gauss檢視過大

量質數後，提出了質數在整數中分布的定律；Pascal和Fermat關於賭博中賠率的書信，為

現代概率論奠下基石。五十年代期貨市場剛剛興起，Black和Scholes便提出了期權定價的

方程，隨即廣泛地應用於交易上。Scholes亦因此而於去年獲得諾貝爾的經濟學獎。這類

的例子還有很多，不勝枚舉。

話說回來，要作有意義的猜測並非易事，必須對面對的現象有充分的了解。以紅樓夢

為例，只要看了前面六七十回，就可以憑想像猜測後面大致如何。但如果我們對其中的詩

詞不大了解，則不能明白它的真義。也無從得到有意義的猜測。

（三）解決難題的數學家。所有數學理論必須能導致某些重要問題的解決，否則這理論便

是空虛無價值的。理論的重要性必與其能解決問題的重要性成正比。一個數學難題的重要

性在於由它引出的理論是否豐富。單是一個漂亮的證明並不是數學的真諦，比如四色問題

是著名的難題，但它被解決後我們得益不多，反觀一些難題則如中流砥柱，你必須將它擊

破，然後才能登堂入室。比如一日不能解決Poincare猜測，一日就不能說我們了解三維空

間！我當年解決Calabi猜測，所遇到的情況也類似。