外爾的一生
在20世紀的數學家中，André Weil（1906-1998）以其淵博的學識、坎坷
的經歷和
超凡的人格魅力成為引人注目的一員。
他無疑是20世紀最偉大的數學家之一。國際數學家大會把數學劃分為19個大
的分支，
Weil至少對其中的8個分支有劃時代的貢獻。1974年的Fields獎得主Enrico
Bombieri
這樣評價他："I think of him as one of the few people who shaped the
mathematics of the 20th century, his ideas are still fundamental." 1980年，
美
國數學會把Steele獎的終身成就獎頒發給Weil，"for the total effect of his
work on
the general course of twentieth century mathematics, especially in the
many
areas in which he has made fundamental contributions."
André Weil是上個世紀數學發展的見證人。他在二十年代便嶄露頭角；三十
年代
參與創建Bourbaki學派，並在日後漫長的歲月中成為該學派的精神領袖；四
十年代，他
在人生上遭受一系列挫折，但同時在數學上為現代的抽象代數幾何奠定了基
礎；五十年
代他已經被許多人推崇為當代最偉大的數學家；六、七十年代，他居住在世
界數學的中
心，個人聲望也達到了頂峰；七十年代末和八十年代，他獲得了一系列早應
屬於他的榮
譽（1982年才當選為法蘭西科學院院士）；九十年代，他目睹了Fermat大定
理的證明，
而這一證明的完成與他本人密切相關。
他是法國數學的驕傲，曾兩次帶領法國數學走出世界大戰後的低谷。他也是
屬於世
界數學的，曾在四個大洲的大學裡擔任過教職。
他曾獲得如下表彰終身成就的獎項：
Wolf數學獎(1979)
Steele獎的終身成就獎(1980)
Barnard獎章(1980)
Kyoto獎(1994)
他是倫敦數學會榮譽會員、法蘭西科學院院士、英國皇家學會外籍會員、美
國國家
科學院外籍院士。
在他自己的簡歷上，只列出了這樣一個榮譽：波爾達維亞科學與文字學院院
士
（Member, Poldavian Academy of Science and Letters）。Poldavia是
Bourbaki杜撰的
一個地名，據說Nicolas Bourbaki先生的一位遠祖就是從那個國度來的。
André Weil於1906年5月6日出生在巴黎的一個猶太人家庭。他的父親
Bernard
Weil是一名醫生，母親的家族來自俄國。許多年以後，André Weil會回憶起
童年
時在林蔭道上與父親的一次談話：“他告訴我，我的首名André是從希臘語
的‘人’
這個詞演化來的，所以他給我起了這麼一個名字。他是不是還勉勵我應該無
愧
於這樣的名字？我記不清了；但他肯定是這個意思。”
1909年，這個家庭里又添了一個女孩：Simone. 這個美麗的女孩日後將成為
一名神秘主義者、宗教思想家和社會活動家，深刻地影響着戰後的歐洲思
潮。
（在"Encyclopaedia Britannica"上，對André和Simone都有條目介紹，但
Simone條
目下的正文是André的三倍，而且還多了一幅肖像。）
Simone性格十分活潑，總是唧唧喳喳個不停，三歲半時就有一位太太因為無
法忍受她而憤然走下電車：“他們竟然把孩子養成了鸚鵡！”相比之下，
André就
顯得要文靜得多。
兄妹倆小時候經常打架，互相揪頭髮。晚上他們會比賽背誦Racine的劇本，
誰要是不能立刻接上，就會挨對方一個耳光。
André總是自學，還教妹妹讀書。Simone六歲的時候，兄妹倆給父親送了一
份
特殊的生日禮物：那天晚飯後，André用平靜的聲音說：“Simone，給爸爸
念報紙。”
然後Simone便以稚嫩的嗓音讀起了報紙。他父親非常驚奇，卻不知道孩子們
為
了準備這份禮物花費了很多精力，他們經常躲在桌子下面進行練習，André
是教
練，他確保妹妹的每一個發音都準確無誤。
André很早便顯示出了在語言和數學方面驚人的天賦，Simone後來說他的童
年
和少年時代可以與Pascal的相媲美。
André八歲的時候，母親曾向他的老師表示擔心André會學不好算術，老師
回
答：“不管我教給他什麼，他都好象早已知道了似的！”
九歲的時候，André就開始在一份給中學生看的雜誌上發表自己對征解問題
的
的解答。那時Simone還經常讓哥哥背誦數學公式，以此來消磨時光。
他們父母的一位朋友曾讚嘆過這一對兄妹：“一個是天才，另一個是美
女！”
生活在“天才”的身邊，難免會有很大的壓力。多年以後，Simone會寫下這
樣一段文字：“14歲那年……我很認真地想到死，原因是我的天資平庸，而
我的
哥哥天資超人……使我產生了死的念頭。”
--
Weil進入了被認為是法國在科學方面最好的中學：Lycée Saint-Louis. 當然
這所學校並沒有忽視人文教育，André在這裡學習了希臘語、拉丁語、德
語、英語
和一些梵語。
14歲那年，他拜謁了55歲的Jacques Hadamard. Hadamard對Weil非常熱
情，
使Weil完全不感拘束:"He seemed to me like a peer, infinitely more
knowledgeable, but hardly any older."這一老一少很快結成了忘年之交。
Weil當時獲得了一項獎勵，使他可以選一些書作為獎品。在Hadamard的建議
下，他選擇了Jordan的《分析教程》（Cours d'Analyse）和Thompson與
Tait的
"Treatise of Natural Philosophy".
就在他準備大學入學考試時，他遇見了另外一位將對他的人生道路起決定性
影響的長者：Sylvain Lévi，當時法國最著名的東方學家，精通梵語和吐火羅
語。
（怎麼感覺跟季羨林差不多？）從此，古老而神秘的印度文化將在Weil的精
神世
界打下深深的烙印。
--16歲的時候，Weil通過了高等師範學校（Ecole Normale Supérieure）著
名
的馬拉松式的入學考試，成為這所數學家搖籃的一員。他是穿着短褲來入學
的，
結果被校長Gustave Lanson訓斥了一頓。
他同班的同學有Jean Delsarte（Bourbaki創始成員之一）和Yves Rocard
（高等師範學校物理系的創建者）。入校後他就參加了Hadamard的討論班，
在這裡
可以接觸到數學各個領域的最新成果。此外，他還聽過Picard, Lebesgue等大
師
開設的課程。
第一年，他通過了大學期間所有的考試。
在閱讀古希臘詩歌時，Weil總結出這樣的經驗：要想掌握高深的知識，唯一
的途徑是閱讀大師本人的著作。所以他入學後便開始鑽研Riemann的論文，
有時
參考一下F. Klein關於Riemann工作的講義，——這些書籍都可以在學校的圖
書館
里找到。他對Riemann那篇關於Abel函數論的著名論文的評價是：“不太
難——每
個字都充滿意義。”
日後Weil在他的演講中會一再強調，年輕人做數學就要看Gauss, Riemann,
Abel, Poincaré等人的著作。這是他的切身體會。
高等師範學校的生活對於Weil來說是至關重要的，在這三年裡，他的數學觀
和人生觀都逐步走向成熟，印度文化對他的影響也開始凸現出來。他向Jules
Bloch學習梵語，聽過Meillet關於印歐語系的課程，還跟隨Sylvain Lévi學習
印
度史詩"Meghaduta".
Weil請Lévi為自己推薦一些梵語詩歌作為消遣讀物。Lévi給了他一份
"Bhagavad Gita"（意為"The Song of the Lord"），這是印度教經典《摩阿
婆羅
多》（Mahabharata）里的一首長篇頌歌。
Lévi說：“讀吧！如果不讀它，你就不會理解關於印度的任何事。”這時Lé
vi
的臉上閃動着聖潔的光輝：“更何況，它是那麼的美！”
Weil從頭到尾讀完了"Bhagavad Gita"，並被它的美所征服。用他自己的話
說，
"Gita"中蘊涵着的是唯一能夠打動他的宗教思想。
"Bhagavad Gita"並不是一個空洞的哲學體系，而是通過描述一個人在矛盾選
擇面前的行為來反映印度教的種種世界觀。在日後漫長的歲月中，Weil也將
面臨
種種矛盾，"Bhagavad Gita"的思想會影響着他的選擇，儘管這種選擇可能是
致命
的。
畢業後，按規定Weil本應服役一年，但因為他當時只有19歲，所以役期被推
遲。於是他到國外去遊歷：意大利、德國、瑞典、英國。
這次旅行使他進一步成熟，不光是因為拜訪了各地主要的數學家，而且還因
為他汲取了各國豐富的文化遺產。
他在意大利呆了半年，接觸到了意大利代數幾何學派，並為古典及現代的意
大利藝術和音樂所深深吸引。他拜訪了Vito Volterra，唯一一位在國際數學家
大
會上作過四次一小時報告的數學家，並同其子Edoardo結為至交。還聽了
Severi的
代數曲面課程。
在Volterra的幫助下，他獲得Rockefeller基金會的一筆經費，得以到德國訪
問。他選擇去哥廷根拜謁Courant，因為Courant是線性泛函分析的專家之
一。他
從巴黎出發，繞道比利時、荷蘭，於1926年11月冬季學期開始時趕到哥廷
根。他
從Courant及其弟子那裡學到的東西不多，斷斷續續地聽了Hilbert的討論班，
且
對當時剛剛興起的量子力學（哥廷根正是其發源地之一）無動於衷。哥廷根
之行
給他的最大收穫是E. Noether的抽象代數課程，特別是多項式理想理論，這
對他
以後奠定代數幾何的基礎至關重要。
聖誕節時，Weil到法蘭克福的姨媽家過節，順便拜訪了法蘭克福大學的數學
家：
Dehn, Hellinger, Epstein, Szász, Siegel. 他們淵博的學識，他們對待數學哲
學的態度，以及他們堅持把數學視為一個整體而不是分裂的各個部分的看
法，都給
Weil留下了深刻的印象。
Dehn和Siegel對數學史都有着廣泛而深入的知識，Weil說：“Dehn，作為一
位人本主義數學家，把數學看成人類精神史的一章，孜孜不倦地研究數學
史。”
這句話同樣是Weil本人的寫照。日後將要獲得首屆Wolf數學獎的Siegel也是數
學
史專家，他曾經從Riemann的手稿里發現了兩個關於ζ函數的公式，並重新
給出了
證明。這兩個埋沒了半個多世紀的公式現在被稱為Riemann-Siegel公式。
1927年，Weil到柏林大學結識了H. Hopf，並學習拓撲學。同時，他熱切地聽
了Wilamowitz-moellendorff的演講，後者是一位著名的古典學家，對古文字
學特
別是紙草書有深入研究。
1927年春，Weil在斯德哥爾摩Mittag-Leffler的別墅里呆了一個月，以完成一
篇關
於多項式展開的論文。Mittag-Leffler是瑞典歷史上最傑出的數學家，一個流
傳很廣的
故事稱他曾經把Nobel的女友搶走，所以Nobel在他的遺囑中沒有設立數學
獎。
那時Mittag-Leffler已經81歲，身體依然健康，聲如洪鐘，整個房子裡都經常
能聽
到他召喚秘書的喊聲"Froken dar!"（這句話直譯為"Young lady there!"，意譯
為"Hey,
you!"）。Mittag-Leffler的秘書都是些漂亮的未婚女士，她們中不少人很快嫁
給了
那裡的數學家，所以Mittag-Leffler不得不經常更換秘書，這也導致了他總是
記不住秘
書的名字。
Weil到那兒的第二天就被Mittag-Leffler叫去談關於論文的事，以後又有過很多
次。
所有這些談話都是一個模式：起初Mittag-Leffler用非常流利的法語談起他自
己早年
在多項式展開方面的工作，很快便跑了題，回憶自己多年前與那些偉大數學
家們的交往。
這時他就會用德語，先是Weierstrass，然後肯定換成Sofia Kovalevskaya. 慢
慢地，
他就說累了，開始用瑞典語講話。講了半天，他會突然停下，說：“哦，我
忘記你聽
不懂瑞典語了。下次咱們再接着說吧。”一兩個星期後Weil掌握了一些瑞典
語，總算能
夠聽懂後面這一部分了。 每天晚上，Weil都會呆在Mittag-Leffler那無與倫比
的圖書館裡。對於Weil
來說，最吸引他的是一間存放主人信件的小屋。那些信件都整齊地擺放在一
個個
盒子裡，盒子外面寫着過去半個世紀中最偉大的那些數學家們的名字。當所
有人
都睡熟的時候，Weil會獨自坐在這裡，呼吸那些偉人們的思想。
他看到了Hermite在1881和1882年寫的信，是關於三位年輕的法國數學家
的：
Appell, Picard, Poincaré. Picard是Hermite的女婿，那時他已經因他關於整
函
數的定理而聞名；Appell與Hermite的家庭也有姻親關係；Poincaré那時才剛
剛開
始研究自守函數。“我們這裡有三顆新星。”Hermite自豪地寫道，“我只敢
小聲
地跟你說，因為怕我夫人會聽見：我覺得他們三個中，Poincaré是最出色
的。”
這裡還有Painlevé的信。他曾經非常高興地寫信告訴Mittag-Leffler自己已
經結婚。但不到一年他的夫人就去世了，那是1902年的春天，他以無比淒涼
的筆
觸，描述自己悲痛欲絕的心情。他說他再也無法繼續數學研究了。事實上，
翻看
一下他的著作目錄就會發現，從那時起他就離開了數學。（按：後來Painlev
é開
始從政，1906年當選為下院議員。他曾擔任過教育部長和國防部長，並在一
戰和
1925年的經濟危機中兩度出任法國總理。即使擔任總理期間，他依然到學校
授課。
1920年應邀訪華，並獲得北京大學首次授予的名譽學位。回國後便在議會發
表演
講，稱20世紀將是中國的世紀。）
Hermite比Mittag-Leffler大二十多歲，是一個虔誠的天主教徒；Painlevé則
比他的通信者小將近二十歲，是一個自由的思想家。有時Weil會想，在
Mittag-Leffler
的身上，一定有着某種獨特的魅力，使得這許多年齡、性格迥然相異的偉人
都將他
視為密友，向他傾訴自己最隱秘的心聲。
--
Mordell在1922年證明了：橢圓曲線上的有理點構成一個有限生成的群。他還
作出了這樣的猜想：虧格大於1的代數曲線上只有有限多個有理點。Weil在羅
馬訪
問的時候聽說了Mordell的工作，於是Mordell猜想成為他第一個深入思考的問
題。
Mordell猜想在代數曲線的算術理論里占有非常重要的地位，Weil曾說這是一
個數論學者不得不提出的問題。如果Mordell猜想成立，那麼許多數論問題都
會取
得重大突破。例如，Mordell猜想表明：n≥4時，方程x^n + y^n = 1隻有有限
多
組有理解，這意味着方程x^n + y^n = z^n 只有有限多組本原整數解。
在哥廷根期間，Weil突然想到，他關於Diophantine幾何的一些想法可以把
Mordell的定理作大幅度的推廣。他花了一年的時間把這個靈感變成嚴格的證
明。
回到巴黎以後，他寫出了這篇論文，把Mordell定理中的橢圓曲線推廣為虧格
≥1
的代數曲線，並把有理數域推廣為代數數域。（橢圓曲線是虧格等於1的曲
線。）
他向Hadamard徵求關於這篇論文的意見。Weil說他覺得他也能夠進一步證明
Mordell猜想，於是Hadamard建議他等到解決了Mordell猜想再發表論文：
“Weil，
我們幾個人對你的評價都很高。你應該珍惜自己。如果你現在就發表這篇論
文，
那就是半途而廢，——從你說的話來看，你的工作還不是很成熟。”
這次Weil沒有聽老人的意見，他決定就這樣發表論文。這個決定是明智的，
因為數學還需要經過五十多年的等待才能證明Mordell猜想。（1983年，聯邦
德
國Wuppertal大學29歲的講師Faltings證明了Mordell猜想，並因此榮獲1986年
的
Fields獎。）
但要想讓Weil的論文通過審查卻十分困難，因為當時法國並沒有一個人可以
稱得
上是數論專家，——除了Weil本人。在德國時，Weil曾經同Siegel討論過自己
的結果，
贏得了對方的高度讚許，所以Weil並不擔心自己的論文會有什麼錯誤。他只
需找幾個人
來組成一個審查委員會就可以了。費了好大的工夫，他總算找來了Picard,
Lebesgue和
Garnier，這三個人審查通過了Weil的論文。
Mittag-Leffler創辦了世界上最好的數學雜誌"Acta Mathematica". 在Weil尚未
開始寫論文的時候，他就許諾說Weil的論文將會在"Acta Mathematica"上發
表。但就
在Weil拜訪他的那年夏天，這位老人與世長辭。當然Mittag-Leffler的繼任者們
還是
兌現了他的諾言。
22歲的Weil憑藉這篇論文獲得了他的博士學位和數學界的廣泛認同。現在這
篇論
文已經成為算術代數幾何的經典之作，其中的結果被稱為Mordell-Weil定理。
論文通過後，Weil到預備役部隊服役一年，然後他去申請Strasbourg大學的教
職。
那時要想在法國的大學裡謀一個差事是很困難的。當然，以Weil的資歷，應
該不存在什
麼難事。可惜這次他碰上了一位強有力的競爭對手：Henri Paul Cartan.
Henri Cartan是Elie Cartan的兒子。他比Weil大將近兩歲，但晚一年進入高等
師
范學校。1928年，在Paul Montel的指導下，他完成了自己的博士論文，證明
並推廣了
函數論里的Bloch猜想。
那時法國數學界是函數論的一統天下，Strasbourg大學的數學教授Georges
Valiron
當然對函數論而不是Weil的那些工作更感興趣，Weil的落選便成為順理成章的
事了。
（Cartan只在Strasbourg呆了幾個星期，便跑到Lille去了，1931年才又回
來。）
對此，Weil並不介意。他非常高興地接受了印度Aligarh穆斯林大學數學教授
的任
命，開始了他夢寐以求的印度之行。在那裡，他將不得不教授最低層次的數
學。正如他
在給Henri Cartan的信中所說，這是一個艱苦的工作。
當Weil發現自己無法得到Strasbourg教席的時候，他就萌發了去印度的念頭。
他把這個想法告訴了Sylvain Lévi，希望能獲得幫助。一天，Lévi給他打電
話，
問他是否願意去印度教法國文化，Weil回答說他願意為去印度做任何事，於
是
Lévi就要他馬上打的過來。在Lévi家中，他碰上了Aligarh穆斯林大學的副校
長
Syed Ross Masood. Masood覺得在印度的大學裡不光要教授英國文化，還
應該教
授法國文化，所以就跑到法國來找老師。Weil同他攀談了一陣，彼此都給對
方留
下了深刻的印象。若干天后，Weil收到從印度發來的電報：“無法設立法國
文化
教席，但數學教授空缺。電復。”正合他意。
他於1930年初抵達印度，並很快融入到印度的生活中，"went everywhere,
met everyone who was anyone." 他廣泛地接觸印度文化，從這個古老的文
明中
汲取了大量的東西來充實他自己的思想和精神。
在印度期間，他研究了遍歷論、微分方程和多複變函數，並把Cauchy積分公
式推廣到多復變的情形。
--
學校的條件非常差。數學教員本來就不多，還充斥着一些完全不知道數學為
何物的人。Weil的一個主要任務是評估數學教員們的水平，這一評估將直接
影響
校方對教員們的任免。可以設想一下這個二十三歲的年輕人的處境：他剛剛
來到
一個只是從書本上知道的國度，面對着一個有着幾千年歷史的文化，卻被賦
予了
足以影響周圍人命運的權力。他沒能處理好各種紛紜複雜的人事關係，得罪
了不
少人。
當時有一位叫Vijayaraghavan的年輕人，是Hardy的學生，很有才幹，但沒有
學位。Weil不顧校方的反對，聘用了他，並同他結為好友。一次Weil出去度
假，
回來的時候就發現Vijayaraghavan被解僱了。至於Weil本人，後來因為經常私
自
外出旅遊，也被解僱了。
Weil在印度期間適逢印度歷史上的一件大事：Mahatma Gandhi所領導的非暴
力不合作運動。當時英國殖民者頒布法律，禁止印度人從海水中提取食鹽。
於是
Gandhi宣布他將從自己的住處步行數百公里到達海邊，在那裡製造食鹽。這
就是
著名的"Salt March".
Weil全身心地投入到了這場運動中，他拜謁了Gandhi本人，並為Gandhi的非
暴力思想所深深折服。事實上，Gandhi同Weil一樣，也深受"Bhagavad Gita"
的影
響。Weil會見了這場運動幾乎所有的領導人，並同他們中很多人結下了深厚
的友
誼，這裡面包括當時Aligarh穆斯林大學的副校長Zakir Husain，後者日後將以
穆
斯林的身份出任印度總統。
Weil在印度呆了兩年多。回到巴黎後，他先是在Marseilles大學當講師，很快
又去
了Strasbourg，在那裡又碰上了他的老朋友Henri Cartan. 他們將要開始他們
人生中一
番宏偉的事業：創建Bourbaki學派。
講到這裡，我們有必要介紹一下當時法國數學的狀況。在第一次世界大戰
中，德國
人讓他們的科學家照樣搞研究，並以其研究成果為戰爭服務，法國人卻把他
們的科學家
和未來的科學家驅趕上戰場充當炮灰。這種盲目的愛國主義的後果是使法國
損失了整整
一代的科學家。僅以高等師範學校為例，戰時的學生名冊上有三分之二的名
字打上了黑
框！（看看一個世紀前的法國人是怎麼做的吧：當反法同盟的軍隊逼近巴黎
時，綜合工
科學校的學生們要求參戰，拿破崙回答道：“我不願意殺死我的會下金蛋的
老母雞。”）
