把一條細長紙帶對摺，接着把對摺後的紙帶再對摺，又再對摺，重複這樣的對摺幾十次，然後鬆開紙帶，從紙帶側面看過去，我們得到是一條彎彎曲曲的折線。請別小看這個連小孩子都會做的遊戲。從它開始，我們可以探索一連串現代科技中耳熟能詳的名詞：分形、混沌、蝴蝶效應、生命產生、系統科學……

我們把‘紙帶對摺一次’的動作，對應於幾何圖形中的一次‘迭代’，如剛才所描述的循環往復的‘迭代’操作所得到的最終圖形叫做中國龍，或稱分形龍。下圖描述了分形龍曲線的生成過程：

圖一

仔細研究上圖中分形龍的產生過程，可觀察到如下三個有趣之處:

1.  簡單的迭代，進行多次之後，產生了越來越複雜的圖形；

2.  越來越複雜的圖形表現出一種‘自相似性’；

3.  迭代次數較少時，曲線看起來是一維折線，此曲線隨着迭代次數的增加而逐漸充滿部分平面。

第一條特點一目了然，無需多言。

第二條的‘自相似性’是什麼意思呢？那是說：一個圖形的自身可以看成是由許多與自己相似的，大小不一的部分組成的。最通俗的‘自相似’例子是中國人喜歡吃的花菜，花菜的每一部分，都可以看成是與整棵花菜結構相似的‘小花菜’。分形龍曲線也具有這種‘自相似性’，從下面的圖中可以看出：分形龍可以看成是由四個更小的但形狀完全一樣的‘小分形龍’組成的。

圖二

 上述的第三條特點是有關圖形維數的變化：一維的折線隨着迭代次數的增加，逐漸充滿部分平面，看起來變成了二維圖形。

 談到幾何圖形的‘維數’，我們不能只憑感覺了，需要更多的數學論證。

 分形龍是分形的一個特例，不同的迭代方法，可以形成各種各樣不同的分形，對分形的研究，形成一個新的幾何分支：分形幾何。

 其實，在‘分形’這個名字中，就已經包含了‘分數維數’的玄機。眾所周知，經典幾何學中，有1維的線、2維的面、3維的體。三維以內，有現實物理世界的物體對應，容易理解，維數大於三的時候，就需要應用一點想象力了，比如加上了時間的四維空間等。但是不管怎麼樣，經典幾何的‘維數’總是一個整數。而分形幾何中的‘維數’則包含了‘分數維’，這就是‘分形’名稱的來源。如何理解分數維？首先，我們從幾個例子來說明這個分數維的概念。

 在經典幾何中，用拓撲的方法來定義”維數” ，也就是說，空間的”維數”等於決定空間中任何一點位置所需要變量的數目：比如，所謂‘三維’，是因為我們需要三個數值來確定一個物體在空間的位置。對於一個二維空間，比如球面，則需要倆個數值來確定一個物體的位置。當汽車行駛在一條高速公路上，它的位置可以用一個數：出口的序號數，來表示。這是一維空間的例子。顯然，按照這種拓撲方法定義的”維數”，只能是整數。

 在分形幾何中，我們將拓撲方法定義的‘維數’，擴展成用與自相似性有關的度量方法定義的‘維數’。剛才我們已經介紹了花菜結構和分形龍的‘自相似性’，其實，經典整數維的幾何圖形，諸如一條線段、一個長方形、一個立方體，也具有這種‘自相似性’，比如說，如下圖所示：（a）一條線段是由兩個線段接成的；（b）一個長方形，可以被對稱地剪成四個小長方形，每一個都與原長方形相似；（c）一個立方體，可以被對稱地切成八個小立方體，每一個也與原立方體相似。只不過對經典幾何來說，‘自相似性’顯得太簡單平凡了，沒有什麼特別的新意，我們並不重視它。

 圖三

（未完待續）