不過現在，我們可以利用這種‘自相似性’，重新定義幾何圖形的‘維數’。

仍然利用上面的圖，用自相似性來定義的‘維數’可以如此簡單而直觀地理解：首先將圖形按照（N: 1）的比例縮小，然後，如果原來的圖形 可以由（M）個縮小之後的圖形拼成的話，這個圖形的‘維數’d，就等於 ln(M)/ln(N)。不難看出，將上述方法用來分析直線、平面、空間，分別得到d = 1、2、3（上圖中的a、b、c）。

上圖中的（d），是一種很簡單的分形，叫做科和曲線，也是一種自相似圖形，它的迭代生成過程如下圖所示。

 圖四

可以用同樣的方法分析如圖（d）及上圖所示的科和曲線：首先，將科和曲線的尺寸縮小至三分之一；然後，用四個這樣的‘小科和曲線’，便能構成與原來一模一樣的科和曲線。因此，我們得到科和曲線的維數d = ln(4)/ln(3) = 1.2618..。這就說明了，科和曲線的維數不是一個整數，而是一個小數，或分數。

 下面，我們再回頭研究分形龍的維數（圖二）。將圖中的分形龍曲線，尺寸縮小為原來的一半之後，得到右上圖的小分形龍曲線。然後，將四個小分形龍曲線，分別旋轉方向，成為如右下圖的位置。最後，再按照右下圖中箭頭所指的方向，移動四個小分形龍曲線，便拼成了左下圖的、與原來曲線一樣的分形龍曲線。因此，如此可以證明，分形龍曲線的維數為2，因為（d = ln(4)/ln(2) = 2）。

有趣的是，分形龍圖形的邊界也是一個可以用迭代法產生的分形：

 圖五

由圖六可知，整個分形龍曲線的邊界是由四段相似的圖形組成的。這種分形的維數估算方法比較複雜一些，它的“分形維數“(d)可以通過解如下方程求得:

 圖六

 通過分形龍，我們認識了分形，理解了分數維。分形幾何是理解混沌概念及非線性動力學的基礎，在現代科學技術中，有着廣泛的應用。

下面的連接可以讓你親身體會分形龍圖形的趣味和美妙：

 http://www.tianfangyetan.net/cd/java/fractals.html