德國數學家大衛·希爾伯特（1862～1943）是20世紀最偉大的數學家之一．他
對數學的貢獻是巨大的和多方面的，研究領域涉及代數不變式，代數數域，幾何基
礎，變分法，積分方程，無窮維空間，物理學和數學基礎等．他在1899年出版的《幾
何基礎》成為近代公理化方法的代表作，且由此推動形成了“數學公理化學派”，可
以說希爾伯特是近代形式公理學派的創始人．1900年希爾伯特38歲時在巴黎舉行的
第二屆國際數學家大會上作了題為《數學問題》的著名講演．在講演中，他根據19世
紀數學研究的成果與發展趨勢，以卓越的遠見和非凡的洞察力，提出了新世紀所面臨
的23個問題．這23個問題涉及現代數學的大部分重要領域（著名的哥德巴赫猜想就是
第8個問題中的一部分），對這些問題的研究有力地推動了20世紀各個數學分支的發
展．

本文介紹關於希爾伯特青年時代的兩個小故事．

一、老師在課堂上現想現推

1880年秋天，18歲的希爾伯特進人家鄉的哥尼斯堡大學，他不顧當法官的父親
希望他學習法律的願望，毫不猶豫地進了哲學系學習數學（當時的大學，數學還設在
哲學系內）．希爾伯特發現當時的大學生活要多自由有多自由．意想不到的自由，使
許多年輕人把大學第一年的寶貴時光都花費在學生互助會的傳統活動飲酒和鬥劍上，
然而對希爾伯特來說，大學生活的更加迷人之處卻在於他終於能自由地把全部精力給
予數學了． 大學的第一學期，希爾伯特選學了積分學，矩陣論和曲面的曲率論三門
課．根據規定。第二學期可以轉到另一所大學聽課，希爾伯特選擇了海德爾堡大學，
這是當時德國所有大學中最討人喜歡和最富浪漫色彩的學校．希爾伯特在海德爾堡大
學選聽拉撒路·富克斯的課．富克斯是微分方程方面的名家，他的名字和線性微分方
程幾乎成了同義語．他講課確實與眾不同，給人的印象很深．課前他不大做準備，對
要講的內容，在課堂上現想現推．於是常常發生這樣的情形，某個問題在黑板上推不
下去了，這時他就再想另外一種方法，有時一連要換好幾種方法，但他最後總能推導
出結果來．他就是這樣，習慣於在課堂上把自己置於危險的境地．這樣的課學生們如
何看呢？他的一位學生後來回憶時寫道：這樣的課，使學生們“得到一個機會，瞧一
瞧最高超的數學思維的實際過程．”我們可以想象，善於思考和學習的希爾伯特肯定
會從中領悟到一個數學家是如何思考問題的，這種包括幾經碰壁終於找到解法的探索
過程在教科書上無論如何是看不到的．把思考問題的實際過程展現給學生看，這樣做
實際上是非常富於啟發性的．我國著名的數學方法論專家徐利治教授認為這一點對希
爾伯特的成長肯定起過很好的作用．我想這一點對我們今天也很有啟發．學習數學不
僅要學會這道題的解法，而且更要學會這個解法是如何找到的．即學會思考．

二、蘋果樹下的例行出步

希爾伯特在海德爾堡上了一學期以後，接下來的一個學期，本來可以允許他再
轉到柏林去聽課，但他深深地依戀自己的家鄉，於是他又回到了哥尼斯堡大學．再下
一個學期——1882年春天，希爾伯特仍決定留在哥尼斯堡．

這時赫爾曼·閱可夫斯基從柏林學習了三個學期後也回到了哥尼斯堡大學．閩
可夫斯基從小就數學才能出眾，據說有一次上數學課，老師因把問題理解錯了而“掛
了黑板”，同學們異口同聲叫道：“閉可夫斯基去幫幫忙！”在柏林上學時，他因為
出色的數學工作曾得到過一筆獎金．這時，年僅17歲的閱可夫斯基正沉浸在一項很深
奧的研究之中——解巴黎科學院出榜征解的一個問題：把一個數表成五個平方數的
和．一年後，1883年春天，18歲的閱可夫斯基和英國著名的數學家史密斯共享巴黎
科學院的這項大獎．這件事轟動了整個哥尼斯堡．希爾伯特的父親因此曾告

誡自己的兒子不要冒冒失失地去和“這樣知名的人”交朋友．但由於對數學的
熱愛和共同的信念，希爾伯特和比他小兩歲的閩可夫斯基很快成了好朋友．

1884年春天，年輕的數學家阿道夫·赫維茨從哥廷根來到哥尼斯堡擔任副教
授，年齡還不到25歲，在函數論方面已有出色的研究成果．希爾伯特和閩可夫斯基很
快就和他們的新老師建立了密切的關係．他們這三個年輕人每天下午准5點必定相會
去蘋果樹下散步．希爾伯特後來回憶道：“日復一日的散步中，我們全都埋頭討論當
前數學的實際問題；相互交換我們對問題新近獲得的理解，交流彼此的想法和研究計
劃．”在他們三人中，赫維茨有着廣泛“堅實的基礎知識，又經過很好的整理，”所
以他是理所當然的帶頭人，並使其他兩位心悅誠服．當時希爾伯特發現，這種學習方
法比鑽在昏暗的教室或圖書館裡啃書本不知要好多少倍，這種例行的散步一直持續了
整整八年半之久．以這種最悠然而有趣的學習方式，他們探索了數學的“每一個角
落”，考察着數學世界的每一個王國，希爾伯特後來回憶道：“那時從沒有想到我們
竟會把自己帶到那麼遠！”三個人就這樣“結成了終身的友誼．”

正如徐利治教授所指出的，良師益友間的互相切磋討論對希爾伯特的成長發展
也起了十分重要的作用，可以想見那段時間是希爾伯特才、學、識獲得迅速成長的重
要階段，假如沒有這段經歷，那麼希爾伯特在1900年竟能在許多重要領域中一次提出
那麼多著名難題，倒是不易想象的了．

有關希爾伯特散步的這個小故事告訴我們，師生除了在課堂上的活動以外，師
生在課外的交流以及同學間的課外交流，也是一種重要的學習方式，對數學學習非常
有益。而且，在散步中交流因為沒有書本，也不用紙和筆，因此沒有繁瑣的推導和計
算，只能交談那些能用話“說出來”的東西，即對問題的理解，分析總是中的思想和
方法，挖掘統帥形式推導的靈魂，......而這些對學好數學非常重要。同學們不妨經常
邀幾位要好的同學一起散步交談，肯定會其樂無究的。