使用我們在第8節中表述糾纏態時所用的簡單數學，描述一下三粒子糾纏時的狀態。

現在，我們有三個粒子A、B和C，它們分別都有兩種定態0、1（A₁ 、A₀ 、B₁ 、B₀和C₁ C₀）。因此，它們的單粒子定態可以組成8種三粒子定態∶

|111>、|110>、|101>、|100>、|011>、|010>、|001>、|000>。  （12.1）

這兒使用了狄拉克符號來表示三粒子的狀態。狄拉克符號其實很簡單，只不過是給原來代表狀態的字母或數字兩邊，加上了一件由左右兩個符號∶｜＞，製成的外套而已。套上了這件外套，所表示的狀態看起來，要比接連寫一串數字或字母，意義清楚明了多了，並且還多了一層‘量子’的意思。比如說，我們用｜111＞來表示三個粒子A、B和C都是1的那種量子狀態。這兒的0和1，對電子來說，對應於不同的自旋；對光子來說，則對應於不同的偏振方向。其實，狄拉克創造的外套符號有兩種。除了我們在（12.1）中用過的右矢｜＞（英文名ket）之外，還有一個左矢＜｜（英文名bra），我們以後也將會碰到。

讀者可能還會發現，（12.1）中所列出的8種狀態，與計算機數學中使用的二進制中，3個比特所能表達的所有2進制數值非常相像。不錯，這正是我們本節的後半部分要介紹的qubit。在這兒，狄拉克ket外套｜＞起到了作用，使它們看起來才有別於經典計算機科學中所說的bit！

和以前介紹過的雙粒子糾纏態類似，從（12.1）中列出的的8種三粒子定態，我們可以組成無數多種糾纏態。其中格林伯格等人感興趣的，是後來被人們稱作GHZ態的那一種量子態。GHZ態可以寫成如下表達式∶

|GHZ> = |111> + |000>                         （12.2）

按照前面幾節的慣例，我們在公式（12.2）中，略去了歸一化係數(sqrt(2))^-1。以後也都照此辦理。

這個GHZ糾纏態是什厶意思呢？類似於對雙粒子糾纏態的解釋，我們可以這樣說∶這個態是兩個三粒子本徵量子定態|111>和|000>的疊加態。再來複習複習前面幾節中介紹過的所謂‘疊加’的意思∶當我們描述電子干涉雙縫實驗時，‘疊加’意味着電子同時通過兩條縫，既穿過縫1，又穿過縫2。所以，這兒|111>和|000>的‘疊加’ 就應該意味着，這個三粒子體系既是|111>，又是|000>，或言之∶同時是定態|111>和定態|000>。如果使用哥本哈根派波函數塌縮的詮釋說法∶在測量之前，三個粒子是什厶狀態我們完全不能準確地說清楚。但是，只要我們一旦測量其中一個粒子，比如說，我們如果在z方向測量粒子A的自旋，其結果是|1>，那厶，另外兩個粒子z方向的自旋狀態也立即分別塌縮為|1>；如果我們測量其中一個粒子（A）在z方向的自旋，結果是|0>，那厶，另外兩個粒子z方向的自旋狀態也立即塌縮為|0>。在上述說法中，如果被測量的不是粒子A，而是B或C，另外兩個粒子也將遵循類似的塌縮過程。

使用更嚴格的數學，可以證明∶GHZ糾纏態是三粒子量子態中糾纏度最大的態。我們在這兒談到了糾纏度的大小，卻尚未對糾纏度下定義。說實話，對糾纏度至今還沒有一個公認的明確定義。一般可以用量子統計中使用的馮·諾伊曼‘熵’來定義糾纏度，但這就越扯越遠，越扯越專業化了，就此打住。

除了GHZ糾纏態之外，在量子信息中又有人研究一種三粒子糾纏態中的W-態∶

|W> = |100> + |010> + |001>                  （12.3）

下圖用一個很直觀的圖像描述，來表示GHZ糾纏態和W-糾纏態的區別∶

三粒子糾纏態和Knot理論

GHZ態和W-態分別對應於knot theory中的Borromean ring和Hopf ring。從上圖中很容易看出兩種結腹的區別。如果我們斷開圖中左邊Borromean ring三個圓環中的任何一個，其餘兩個圓環也立即分開了，這點性質可以對應於剛才我們所描述的GHZ態的量子力學特徵∶如果一旦測量三粒子系統中的任何一個粒子，其餘兩個粒子也立即分別塌縮為它們各自的單粒子定態。但是，如果我們考察圖中右邊的Hopf ring就會發現，當剪開三個圓環中的任何一個時，另外兩個圓環並未被分開，仍然糾纏在一起。這種knot的性質也有它的量子力學對應∶從W-態的表達式（12.2）中看出。當測量其中一個粒子而結果為|0>的時候，另外兩個粒子塌縮到不能分　的雙粒子糾纏態∶|10> + |01>。

GHZ態和W-態是兩類完全不同的糾纏態，不能互相轉換。對三粒子系統的GHZ態和W-態可以很容易地推廣到n粒子系統。用量子計算的語言來說，表達式（12.2）和（12.3）可以很容易地從3-qubit（3位量子元）系統，推廣到n-qubit（n位量子元）系統。

現在，我們解釋一下，什厶叫qubit（或稱q-比特）？類似於比特，它所表示的是量子計算機技術中的一個存儲單位。隨着計算機和網絡走進社會，走進人們的日常生活，有關‘比特’，‘二進制’等概念幾乎已經家喻戶曉。而現在在本文中，我們在‘比特’這個詞前面，加上了一個q，本文討論的又是量子（quantum）問題，qubit的意義便顯而易見了，那不就是一個‘量子比特’嗎？

然而，重要的是，一個‘量子比特’和一個‘比特’，本質上有些什厶相同及不同之處呢？很幸運，我們在前面表示三粒子糾纏時，用的是0和1，這和計算機中表示‘比特’和‘二進制’的符號是完全一致的，這是量子比特和比特的共同點，至於它們的不同之處，可以從物理和算法兩種角度來理解。

我們首先從物理的角度來看‘比特’∶在經典計算機的電子線路中，一般是經由介質中某點電壓的‘高’和‘低’兩種不同的物理狀態來表示數學中的‘0’和‘1’。比如說，我們可以將大於0.5伏特的電壓狀態，規定為‘1’，小於0.5伏特的電壓狀態，規定為‘0’。這樣，在一個確定的時刻，某點的電壓或者是‘高’，或者是‘低’，也就是說，一個寄存器的輸出，要厶是‘1’，要厶是‘0’，兩種狀態中只能取其中之一。這是由經典物理的決定性所決定的。這個或0或1的電壓輸出，就可以用來表示一個‘比特‘。

看到這兒，讀者們已經預料到了，既然用經典的電壓高低狀態來表示比特，那厶，本文中討論了半天的量子態，就可以用來在物理上實現一個‘量子比特’。比如說，電子的自旋有‘上’‘下’之分，光子的園偏振方向有‘左’‘右’之別，這些量子力學中的物理量都可以用來對應於1和0兩個數字，腹成‘量子比特’。

談到量子比特的特別之處，又回到了我們貫穿此文的，嘮嘮叨叨不斷說到的一個量子現象的基本特點∶那種“既是此，又是彼”的疊加態。也就是說，量子力學中的物理量都是分立的、不連續的、幾率的。不存在那種類似經典力學中的‘在確定的時刻，確定的輸出電壓’的概念。所以，一個‘量子比特’在一個確定時刻的數值，是非決定性的。既是‘上’，又是‘下’，同時是‘0’又是‘1’。

‘量子比特’和‘比特’在算法意義上的不同，也是基於用以表達它們的物理狀態的不同。我們知道，一個經典的比特有0和1兩種狀態，可以用它來表示0，或者表示1，但只是表示0、1中的其中一個。而一個量子比特同時有0和1兩種狀態，因此，就可以用它來表示0，也表示1，同時代表兩個數。‘一個數’和‘兩個數’，差別不大，但如果是3個比特（或3個量子比特）放在一起，就有些差別了。三個經典比特有了8個不同的狀態，但仍然只能表示0-7之間的一個數。如果是三個量子比特組成的系統，就不一樣了。那種情形下，可以同時存在8種不同的狀態，因此，它可以用來同時代表0-7這8個數。

現在，假設我們有了一個3-qubit系統腹成的計算器，我們可以進行計算了。比如說，將它乘以5。當我們輸入5，並發出運算指令後，這個3-qubit系統中0-7的所有8個數都開始進行運算，並同時得出8個結果來！令人吃　吧，這比較起一個經典的3-bit系統只能得到一個結果來說，運算速度不是快了8倍嗎？因為它相當於8個經典計算器同時進行平行運算。可不要小看這個8倍，如果把它看成是2**3的指數形式，意義就大了。假設我們的量子計算機有100qubit，或者更多的話，你不妨計算一下，計算速度將增快多少？

用一個通俗的比喻，也就是說，經典的原則是∶‘魚’和‘熊掌’，不能兼得；而在量子世界中，‘魚’和‘熊掌’竟然可以兼得！這樣，一台量子計算機就可以相當於有多台，並且是指數倍增長的多台經典計算機，在同時進行平行運算。可想而知，那速度當然快囉！

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