在解釋貝爾測量(Bell measurement)之前，首先複習一下介紹qubit時使用過的狄拉克符號，並且重溫我們在第八節中提到過的貝爾態的定義。

對一個單光子的系統，考慮它所有的偏振態，可以表示為兩個基態丨1＞和丨0＞的線性組合∶丨A＞ = a丨1＞+b丨0＞。如果是兩個光子的系統，就有4個基態∶

丨11＞、丨10＞、丨01＞、丨00＞。             （19.1）

這個兩光子系統的所有量子態都可以用這4個基底的線性組合來表示。此外，我們也可以採取另外一種基底，叫做貝爾態基底。這就如同在我們的3維空間中，我們可以將xyz坐標軸旋轉成另外一套x^’y^’z^’坐標軸一樣。這樣做的目的是將原來那套不糾纏的基底（19.1）換成4個糾纏態（貝爾態）作為基底。4個貝爾態在原來的（19.1）基底下，可以表示如下面的形式∶

丨f⁺＞ =丨11＞+丨00＞                       （19.2）

丨f^-＞ =丨11＞-丨00＞                       （19.3）

丨y⁺＞ =丨10＞+丨01＞                       （19.4）

丨y^-＞ =丨10＞-丨01＞                        （19.5）

既然（19.2-19.5）是2粒子量子態態空間的基底，那厶，所有2粒子的量子態就都可以表示成這4個貝爾態的線性組合，也就是這4個貝爾態的疊加態∶

丨2粒子量子態＞ = B₁丨f⁺＞ + B₂丨f^-＞ + B₃丨y⁺＞ + B₄丨y^-＞   （19.6）

（19.6）中的B₁、 B₂、 B₃、 B₄為複數，它們絕對值的平方∶|B_n|²，分別表示測量時，這個2粒子量子態塌縮到相應的貝爾態的幾率。因此，所謂的Alice對兩個光子作“貝爾測量”的意思，就是探測這個兩粒子系統到底塌縮到哪一個貝爾態。

在實驗室里，用作兩光子貝爾態測量的主要設備是50:50分光器(beam splitter)。當一個光子經過分光器後，可能繼續前進（透射），也可能被反射。光子走任何一條道路的幾率是50%。這種分光器輸出的各種情形如下圖所示。

上圖中的圖a表示∶一個光子A入射到分光器，或者反射，或者透射，概率各半。

現在考慮兩個光子A和B，分別從左右兩邊入射到分光器。當兩光子同時抵達分光器時，兩光子之波包相互重疊，因而產生干涉效應。它們經過分光器後有四種情形∶1，A反射、B透射；2，A透射、B反射；3，A反射、B反射；4，A透射、B透射。第一種情形，兩個輸出光子同時射向左邊，如圖b所示。情形2時，兩個光子同時射向右邊，如圖c所示。但是，我們無法區別第三和第四這兩種情形，因為光子是不可區分的。我們不知道，從分光器射出的光子，哪個來自A？哪個來自B？所以，在3和4這兩種情形下，都是一個光子向左，一個光子向右，如圖d所示。

在此還必須說明一點∶僅僅利用線性光學器件，不可能在實驗中區分4個貝爾態。理論上已經證明，最多只可能區別4個貝爾態中的3個。所以，也就是說，如果只用線性元件，我們就只能作“不完全的貝爾測量”。在上面的公式（19.2-19.5）所表示的4個貝爾態中，丨y^-＞ =丨10＞-丨01＞是一個反對稱的單態，另外的丨f⁺＞、丨f^-＞和丨y⁺＞則腹成對稱的三態。利用剛才所介紹的半透半反分光器，可以將貝爾單態丨y^-＞，與其它貝爾態分開來。

如上圖所示，在光子　開分光器(BS)出來的兩個途徑上各置一個偏振分光器（PBS）。光子經過PBS後，按概率分成垂直偏振和水平偏振兩條路。左右兩邊的光子的兩種可能性分別由偵測器D1、D3和D2、D4探測。我們僅僅當左右方兩個檢測器同時偵測到光子時，才作記錄，這就是所謂的同時符合測量(coincidence measurement)。這樣的設置意謂每一出來的途徑必須有一個光子，所以只有兩個可能∶兩個光子經過分光器時都繼續前進或同時被反射，因為這兩種情形是無法區分的，所以出來後之兩光子態是這兩種情形之狀態之線性疊加，其振幅大小相同而符號相反。因此，在符合測量設置下，只有貝爾單態丨y^-＞是容許的。這時，我們測量到了貝爾單態，而原來兩光子之狀態也崩潰成貝爾單態。  

1997年，塞林格所領導的奧地利國際研究小組第一次在實驗上實現了量子隱形傳輸。2004年，這個小組又利用多瑙河底的光纖信道，成功地將量子態隱形傳輸距　提高到600米。之後，中國科大——清華聯合小組在北京八達嶺與河北懷來之間，架設長達16公里的自由空間量子信道，並取得了一系列關鍵技術突破，最終在2009年成功實現了世界上迄今為止最遠距　的量子態隱形傳輸。

量子隱形傳態實驗過程的簡化原理圖如下所示∶

圖中心糾纏光源發出的孿生光子A和B分別傳送給Alice和Bob。 Alice 處有半透半反分光器BS等，對A以及準備隱形傳態的光子X，作剛才我們所描述的“同時符合”貝爾測量，將測量的結果∶“符合”或“不符合”，通過經典通道，比如微波天線，發射給遠在另一端（多瑙河對岸）的Bob。然後，Bob便需要對他所擁有的B，或者說是，從多瑙河底的光纖信道（量子通道）傳過來的光子，作一些我們上一節中提到過的“變換處理”。

比較起Alice的“貝爾測量”來說，Bob的“變換處理”操作要簡單多了，因為實際上，在Alice用X和A完成貝爾測量的那一霎那，X、A、B三粒子之間，已經完成了“糾纏轉移”∶原來不糾纏的X和A糾纏起來，光子X原來量子態的大部分信息，已經轉移到B。比如在Alice作的“同時符合”貝爾測量情況下，Bob只需要根�茝奈⒉ㄌ炀�接受到的信息，對光纖信道傳來的光子，作點小變換∶如果微波信息是“符合”，什厶也不作；如果微波信息是不“符合”，則將傳來的光子的偏振方向變成與原方向垂直。上面所說的目的，用得到的微波信息，連到一個電光轉換開關，再控制偏振器，即可達到。像在上圖中，Bob的圓圈中所顯示的那樣。

到此為止，原來的光子X的所有信息都轉移到了Bob所擁有的光子B上。而實際上，Alice和Bob從始至終都對X上的這些信息一無所知，他們唯一所知道的只是∶ 最後，X和A成為糾纏單態，Bob的粒子有了原來X的所有性質，隱形傳態完成了。

在量子隱形傳態的實驗中，調節每個光子之間的時間差，做到兩個光子必須“同時”到達測量儀器，對隱形傳態的成功與否至關重要。

“貝爾測量”也是影響傳態保真度的重要因素。因為利用線性光學元件，不能完全區分四個貝爾態。因此，要實現完全的貝爾測量，就需要採取另外一些辦法。一個方法是使用非線性的光學器件（見參考資料）。

另外一條路就是採取“連續變量”糾纏源來實現量子隱形傳態。

我們在此文中所敘述的量子糾纏及其在量子信息中的應用，基本是基於以單光子偏振態為代表的 “分　變量”方法。實際上，也有不少實驗室研究所謂“連續變量”的量子信息技術。連續變量量子信息，是以光場正交振幅和正交位相分量為代表。“分　變量”對應於有限維的狀態空間，可以用簡單的量子力學算符和方程準確描述，而“連續變量”對應於無限維的狀態空間，解釋起來不容易。兩種方式各有優點與不足，比如對量子隱形傳態來說，用連續變量方法，可以做到完全的貝爾測量，理想情況下的保真度可達100%。在此我們不多談兩種方式的優缺點，目前也有人提出hybrid 的方案，即是將分　變量和連續變量量子資源結合起來，發展混合型的量子信息技術。

可喜的是，對量子信息的研究和實驗方面，中國的學者們，走在了國際科研的前沿。除了使用分　變量方法的中科大-清華團隊之外，山西大學光電研究所在連續變量量子信息方面做了很多突出的工作，他們的實驗室，不僅在國內連續變量領域是獨此一家，在世界上也可算是這方面幾個有代表性的實驗室之一。2006年，他們的研究團隊利用連續變量量子糾纏，設計和實現了量子保密通信，並證明了它在長距　傳輸中的安全性（見參考資料）。

參考資料∶

第一次量子隱形傳態∶D. Bouwmeester, J. W. Pan, K. Mattle, M. Eibl, H. Weinfurter, and A.Zeilinger, "Experimental quantum teleportation," Nature 390 (6660),575-579 (1997).

中科大和清華團隊文章∶Xian-Min Jin, Ji-Gang Ren, Bin Yang, Zhen-Huan Yi, Fei Zhou, Xiao-Fan Xu, Shao-Kai Wang, Dong Yang, Yuan-Feng Hu, Shuo Jiang, Tao Yang, Hao Yin, Kai Chen, Cheng-Zhi Peng and Jian-Wei Pan. Experimental Free-Space Quantum Teleportation，Nature Photonics, 4, 376-381 (2010).

連續變量∶“Experimental procedures for entanglement verification”, on Phys. Rev. A 75 , 052318 (2007)；

混合型量子信息∶“Optical hybrid approaches to quantum information” on Laser & Photonics Reviews , February 25 , 2010。

連續變量量子保密通信∶Europhys. Lett. 87, 20005 (2009); Phys. Rev. A 74, 062305 (2006)。

完全貝爾測量∶http://www.physics.ohio-state.edu/~wilkins/writing/Assign/topics/Q-trans-prl.pdf

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