第十九章﹕從有序到混沌

讓我們仔細考察上一章中的圖（18.2），複習一下羅伯特·梅的結論。從圖中我們看到：可以將系統的長期行為大概歸類於幾種情況。或者說，可將圖中的曲線分成特徵不同的幾個部分:

1. 當k小於1的時候，x_n的最後極限是0，表明出生率太低，出生的數目補償不了死亡數, 種族最終走向滅絕。例如，k=0.8，因為x₀=0.1，不難算出x₁=0.072，x₂=0.051，……，對應的群體數分別是1000、720、510……，絕對群體數將逐年減少，最後趨於0。這種情況，連種族都滅亡了，顯然也不存在什麼混沌魔鬼。

2. 我們更感興趣k大於1的情形，這時，方程中的第一項使得群體數逐年增長，而第二項使得群體數不能增長到無限大。我們將k值從1到3的那段綠線稱為‘平衡’期，因為在這種情形下，生死速率旗鼓相當,最後的群體數將平衡於一個固定值。比如，k=1.2，這時的線性增長率為120%。那麼，許多年之後，這種生物會有多少呢？從x₀開始，可以算出：x₁=0.108，x₂=0.1157，……。因而，相應的絕對群體數是1000，1080，1157，……。可以證明，若干年之後，這種生物的群體數將趨向於一個固定值：1666。所以，k值從1到3的情況下，種族數收斂到固定值，完全是經典情況，沒有看見混沌魔鬼。

3. 當k=3.8，從迭代可以得到相應的絕對群體數是1000，3420，……，6547，9120，3100，8120，……。這時的最後結果很奇怪，不會收斂到任何穩定狀態，而是在無窮多個不同的數值中無規則地跳來跳去。也就是說：魔鬼跳出來了，系統走向混沌。

上面的第一、二種情況，屬於經典有序，第三種，則為混沌。因而，我們最感興趣的是中間從k=3到k=3.8的一段，我們再將這段放大來研究，即可得到圖（19.1）中上圖所示的曲線。

圖（19.1）：倍周期分岔現象，2.9 < k < 3.9

點擊圖像可到JAVA演示程序

邏輯斯蒂系統是如何從有序過渡到混沌的呢？從圖（19.1）的上圖中可看到，即使我們讓k的數值平滑地增長，系統的長期行為卻不‘平滑’。當k的數值在3附近的時候，系統來了個‘突變’：原來的一條曲線分成了兩支，形成一個三岔路口！ 然後，k的數值繼續平滑增長，到3.45附近時，又走到了三岔路口，兩條曲線分成了四支，再後來，分成了八支，十六支……分支越來越多，相鄰三岔路口間的距離卻越來越短，最後，以至於我們的眼睛無法清楚地分辨那些三岔路口及分支為止。

現在，可能很多讀者已經有了直覺：混沌魔鬼是由這些越來越多的分岔現象產生出來的！完全沒錯，這也是當時羅伯特·梅的結論。人們將這種分岔現象叫做‘倍周期分岔’現象（Bifurcation）。‘周期’這個詞是哪兒冒出來的呢？想想我們所研究的邏輯斯蒂方程（18.3），這是個一代一代（或者說一年一年）的迭代方程，那麼，一年就是一個周期。我們觀察k=3到k=3.4之間的曲線，也就是在圖（19.1）中標示為‘雙態平衡’的那一段），所謂‘雙態平衡’ 意味着，迭代到最後，每年的群體數將在兩個數值之間循環。也可以說, 系統回到原來狀態的周期從一年變成了兩年，周期加倍了！後來，從k=3.4到k=3.57，狀態數越來越多，最終的群體數將在更多的數值之間循環, 因此，系統回到某一平衡狀態的周期因加倍又加倍而變得越來越長，這是圖中標示為‘多態平衡’的一段。

當k增加到3.57之後, 由於分支之間的交互纏繞,已無法區分單獨的分支, 倍周期分岔現象呈崩潰之勢, 平衡點已無法區分，連接成一片連續區域。這意味着最終的群體數失去了周期性, 進入圖中標示為‘混沌’的範圍。點擊圖（19.1），可鏈接到JAVA演示程序，用鼠標右鍵畫個小矩形，便可將k=3.75附近區域放大，得到圖（19.1）中下面的圖形。

上面所描述的系統狀態隨着參數的變化從平衡走向混沌的過程, 不僅僅出現在生態學中，而是一個普遍現象。倍周期分岔現象是系統出現混沌的先兆，最終會導致有序到無序, 穩態向混沌的轉變。我們在前面章節中介紹洛倫茨吸引子時，洛倫茨方程中也有一個參數，那是叫做瑞利數的R。瑞利數表徵了大氣流的粘滯性等物理特徵。當時，洛倫茨在他的系統中所用的瑞利數R=28，得到了混沌現象。對某些其它的R值，有混沌解，也有非混沌解。因此，當R平滑變化時，在洛倫茨系統中，也能觀察到倍周期分岔現象，從而觀察到系統從有序過渡到混沌的過程。

科學家們更為深入地研究倍周期分岔圖, 總結出倍周期分岔現象具有自相似性及普適性等等重要而有趣的特徵。

自相似性是顯而易見的。如果將圖（19.1）中的倍周期分岔曲線在不同的標度下進行放大, 仔細觀察, 就會發現它實際上是一種分形, 一種具有無窮嵌套的自相似結構, 或所謂標度不變性: 即用放大鏡將細節部分放大若干倍後，它仍與整體具有相似的結構。這個與內在隨機性密切相關的幾何性質揭示了倍周期分岔現象與分形、混沌、奇異吸引子等之間的內在聯繫。

我們將在下一章繼續討論倍周期分岔現象的其他有趣特性。