假如在你面前放着一堆桔子，怎麼擺放才能最節約空間？

別以為這只是困擾水果店老闆的日常煩惱之一。雖然任何人都可以憑着經
驗或直覺斷定，把上一層桔子交錯着放到下一層桔子彼此相鄰的凹處，顯
然要比直接一個疊一個的擺放更合理，也更節約空間。但是，誰能從數學
上證明，的確不存在比這更合理的方法呢？

事實上，在400多年的時間裡，由羅利爵士（Sir Walter Raleigh）最早提出
的這個問題——“開普勒猜想”（Kepler’s Conjecture）——難倒了眾多
數學家。雖然最新一期的《數學年刊》（Annals of Mathematics）上刊登
了匹茲堡大學數學教授托馬斯·海爾斯（Thomas C Hales）1998年完成的
證明論文，但此種權威數學界承認某一難題有了最終解答的通常形式，這
一次似乎卻引起了更大的爭論。爭論的中心便是，你信得過一台計算機的
計算結果嗎？

說起開普勒猜想的歷史，要回到1590年的某一天。在為自己的船隊出海遠
征前準備物資時，沃爾特·羅利爵士突然想到:能不能根據一堆擺放整齊的
炮彈的高度，推算出這些炮彈的準確數目呢？他的助手、數學家托馬斯·
哈里耳特（Thomas Harriot）幾乎毫不費力的就給出了答案。然而，當更
深入地思考這個問題時，哈里耳特卻發現，其中的奧秘並不那麼簡單。水
手們慣常使用的擺放方式是否是最節約空間的方式？怎樣擺放球體，才能
使它們占用最少的地方？哈里耳特設想出了多種堆放模型，並在此基礎上
發展出了自己的原子理論。

幾年後，在寫給著名天文學家開普勒（Johannes Kepler）的信中，哈里耳
特提到了這個問題。在經過一系列的試驗之後，開普勒在1611年出版的小
冊子《新年禮物——論六出的雪花》中提出了自己對於問題正確解答的猜
想:當大小相當的球體按照“面心晶體”——球心位於正方體各面的中心
上——的形式，並且將第一層擺放成六角形時，它們占用的空間最小，對
空間的利用率可以超過74%。雖然開普勒沒有為自己的猜想給出證明，但
他的影響力卻使該問題自此被命名為“開普勒猜想”。

開普勒猜想被提出之後，許多數學家都試圖為其給出證明。但直到200多年
後，另一位偉大的數學家高斯（Carl Friedrich Gauss）才在1831年部分證
明了開普勒猜想，即對於規則形狀，開普勒猜想是正確的。但在此之後，
開普勒猜想的證明工作再度停滯。在1900年的國際數學家大會上，數學家
大衛·希爾伯特因此將其列入了著名的“二十三個未解數學難題”之一。

1953年，匈牙利數學家拉茲洛·費耶·托斯（Laszlo Fejes Toth）指出，
無論對於規則和不規則形狀，開普勒猜想的證明都可以減少到有限次
數——但數目極為龐大——的計算。這就意味着，從理論上講，一種窮盡
所有可能的證明方式是可行的。而一台速度足夠快的計算機就可以將這種
設想變為現實。

從1992年開始，遵循着托斯的思路，當時在密歇根大學的海爾斯開始與自
己的學生合作，使用計算機輔助證明開普勒猜想。在經過了6年的運算後，
1998年8月，海爾斯宣布證明完成。他的全部證明包括250頁筆記，3GB的
計算機程序、數據和運算結果。

雖然海爾斯的證明是如此的有異於常態，但《數學年刊》還是同意發表這
篇論文。為此，《數學年刊》還特意聘請了匈牙利科學院的加伯·費耶·
托斯（Gabor Fejes Toth）——拉茲洛·費耶·托斯的兒子——擔任評審
委員會的負責人。

開普勒猜想並不是第一個依賴計算機獲得證明的著名數學難題。1976年，
伊利諾伊大學的兩位數學家就使用計算機證明了著名的四色定理，即任何
一幅地圖，只需要使用四種顏色，就能確保相鄰的兩個地區顏色不會相
同。這個證明發表後，數學家們不斷地從中發現若干錯誤。雖然每一次有
錯誤被發現時，研究人員都能迅速地改正這些錯誤，但這卻給許多數學家
留下了非常糟糕的印象。

為了避免重蹈四色定理證明的覆轍，《數學年刊》的工作人員決定對開普
勒猜想的證明進行徹底而謹慎的檢驗。但是，在花了近6年的時間驗證了海
量的數據後，去年，評審委員會卻無奈地宣布放棄全面驗證開普勒猜想證
明結果的計劃。他們驗證到的所有部分都絲毫無誤，但要把全部數據都一
一核查清楚，卻是一件幾乎不可能完成的使命。

《數學年刊》無奈之下，想出了一種變通的解決辦法。他們打算在發表的
論文之前加上一條免責條款:本證明大部分，但非全部，被驗證過。但是，
這個主意卻遭到了許多數學家的批評。最後，在徵求了另一位數學家的意
見後，《數學年刊》做了一個所羅門王式的決定。把論文一切兩半，刊登
已經使用傳統方式驗證過的證明，捨去計算機運算的數據。

其實，圍繞開普勒猜想證明的一系列爭論，很大程度上是“數學課是否應
該允許學生使用計算器”的高端版本，只不過爭論的雙方變成了專業的數
學家，而價值判斷的取捨也更為困難。問題的焦點在於，如果接受了海爾
斯的證明，也就意味着，假定計算機在執行計算時完全無誤，不會存在任
何微小的程序錯誤。而是否真的是這樣，人類很難憑藉自己的能力做出判
斷。就像普林斯頓數學教授約翰·康威（John Conway）在接受《紐約時
報》採訪時說的:“我不喜歡它們（計算機證明），因為你感覺不知道究竟
發生了什麼。”

對於一向追求憑邏輯和運算即可判定真偽，並以明確簡潔的證明為“好的
數學”的原則的數學界而言，這無疑是讓人非常難以接受的結果。更何
況，計算機的運算也並非無可挑剔。英特爾公司就一直在使用校驗工具軟
件檢查其計算機芯片的運算法則，希望避免1994年奔騰芯片曾經出現過的
數據運算錯誤再度發生。

不過，也有樂觀的數學家指出，既然現在最好的計算機可以在比賽中打敗
世界象棋冠軍，那麼，未來的計算機也應該能夠解出難倒了最偉大的數學
家的數學難題。但問題的關鍵似乎不在於此。開普勒說過，數學是惟一好
的形而上學。用計算機如此形而下的方式解答他留下來的猜想，多少總有
些諷刺的味道罷。