楊武之，數學家，數學教育家。長期在清華大學和西南聯合大
學數學系任系主任或代
主任。是我國早期從事現代數論和代數學教學與研究的學者。

　　楊武之，原名楊克純，武之是他的號。１８９６年４月１４日
出生於安徽合肥。
　　楊武之的父親楊邦盛，是清末的一名秀才，早年一直在私塾教
書。後來去天津，在段
芝貴的幕府中司“筆札”，做類似文書之類的事。１９０７年，因
段芝貴失勢，回家賦閒
。次年，想到瀋陽去謀職，不幸在旅社中染上鼠疫，竟而去世。楊
武之的母親姓王，在他
９歲時（１９０５）也早故。所以，楊邦盛夫婦對楊武之的照料不
多，生活多由叔父楊邦
瑞安排。
　　１９１４年，楊武之在安徽省立第二中學畢業。這是一所很好
的學校，為楊武之打下
了良好的文化基礎。是年秋，考入北京高等師範學校預科，為期一
年，後入數理部本科。
規定修業３年，於１９１８年畢業。這一學歷，在當時的師範教育
中屬於最高的層次，各
地爭相聘用。最後，楊武之決心回到母校——安徽省立二中擔任教
員兼舍監（訓育主任）
。年少氣盛的楊武之，在學校里施行嚴格的紀律，對一批紈絝子弟
嚴加管束。學校規定，
夜晚１０時，關閉校門，使一批在外尋歡作樂而遲歸的學生，不得
其門而入。由此，一些
不思上進的學生，對舍監楊武之大為不滿，以至尋釁鬧事，準備動
武報復。鬧事之後，因
學生家長袒護鬧事學生，希圖不了了之。楊武之遂憤而辭職，轉往
安慶中學教書。這一事
件對他刺激頗深，覺得一介書生，難以和腐敗的政府及土豪劣紳相
周旋。楊武之因此萌生
“科學救國”的意念，希望以出國留學，振興中華科學，發揚中華
文明來改變中國的黑暗
現實。在安慶教書期間，積極準備參加留學考試。
　　楊武之由父母作主，在幼年時即和同鄉羅竹全之女羅孟華訂
親，並於１９１９年完婚
。羅孟華的文化不高，一直操持家務。他們夫婦之間感情甚篤，終
身不渝。１９２２年，
長子楊振寧出生。楊武之的備考也到了緊張階段。
　　１９２３年春，楊武之順利地通過安徽省的公費出國留學考
試。隨即離別妻子和未滿
周歲的兒子，隻身赴美國留學。他先到美國西部的斯坦福大學讀了
三個學季的大學課程，
取得學士學位。然後於１９２４年秋天轉往芝加哥大學繼續攻讀。
當時的芝加哥大學數學
系已臻美國第一流水平，楊武之師從名家Ｌ．Ｅ．迪克森（Ｄｉｃ
ｋｓｏｎ），研究代數
學和數論。１９２６年以《雙線性型的不變量》一文獲得碩士學
位。兩年之後，又以《華
林問題的各種推廣》，使楊武之成為中國因數論研究而成為博士的
第一人。
　　１９２８年秋，楊武之學成歸國，先在廈門大學任教一年，次
年即被清華大學聘為數
學系教授。此後，楊武之一直在清華大學（包括抗戰時期的西南聯
合大學）任教，直到解
放。１９５０年之後，留在上海復旦大學任數學教授。１９７３年
５月１２日，在上海逝
世。
博士論文：推進“稜錐數的華林問題”
　　楊武之的主要學術貢獻是數論研究，尤其以華林（Ｗａｒｉｎ
ｇ）問題的工作著稱。

　　中國的數論研究淵遠流長。孫子定理，中國剩餘定理，秦九韶
的不定方程理論，都是
享譽世界的名篇。但到明清之際，數論研究已遠遠落後於歐洲，到
本世紀２０年代，能研
究現代的數論而發表創造性論文的中國人，當以楊武之為第一人。
　　所謂華林問題，是指下列猜想：每個正整數都是４個平方數之
和，９個立方數之和，
一般地，ｇ（ｋ）個ｋ次方數之和。１７７０年，Ｊ．－Ｌ．拉格
朗日（Ｌａｇｒａｎｇ
ｅ）證明了每個正整數確實是４個平方數之和，即ｇ（２）＝４。
１９０９年，大數學家
Ｄ．希爾伯特（Ｈｉｌｂｅｒｔ）證明：ｇ（ｋ）必是有限數。１
９２８年，楊武之的導
師狄克遜證得：ｇ（３）＝９。另外，Ｓ．Ｗ．貝爾（Ｂａｅｒ）
證明，凡大於２３×１
０１４的整數是８個立方數之和。於是狄克遜要楊武之考慮帶係數
的華林問題，即每個正
整數ｆ可否表示為ｆ＝ｒｘ３十Ｃ７，其中Ｃ７＝ｘ３１十ｘ３２
十…十ｘ３７，ｒ＝０
，１，２，…，８．楊武之很快得到下述結果：
　　１．凡是大於１４．１×４０１６的正整數都可表示為ｒｘ３
十Ｃ７，其中ｒ＝５，
７。
　　２．凡大於（３０．１）×４１９６的正整數都可表示為３ｘ
３十Ｃ７。
　　３．凡大於２３×１０１４的正整數都可表為８×ｃ３十Ｃ
７。
　　４．凡大於２３×１０１４的奇正整數都可表示為ｒx３十Ｃ
７，其中ｒ＝２，４，６
。
　　５．凡大於２３×１０１４的奇正整數的兩倍，都可表為２ｘ
３十７。
　　楊武之的博士論文還討論了帶係數的７次方數的表示等問題。
　　楊武之最好的工作是關於稜錐數的華林問題。稜錐數ｐ（ｎ）
＝１／６（ｎ３－ｎ）
是三角形數ｆ（ｎ）＝ｎ／２（ｎ十１）的推廣。１６４０年，費
馬（Ｆｅｒｍａｔ）猜
測每個正整數都是不超過３個三角形數之和。後來證明這是對的。
至於每個正整數能表示
為幾個稜錐數之和，也陸續有人研究。１８９６年，Ｗ．Ｊ．馬耶
（Ｍａｉｌｌｅｔ）首
先得到，每個充分大的正整數是１２個稜錐數之和。１９２８年，
楊武之在博士論文裡證
明：

每個正整數都可寫成９個稜錐數之和。此結果在２０餘年內沒有改
進，直至Ｇ．Ｎ．沃森
（Ｗａｔｓｏｎ）在１９５２年將“９個”減為“８個”。到１９
９１年為止，這仍是已
證明了的最好結果。
　　電子計算機出現之後，許多人曾作過實際驗算，認為除２４１
個例外數之外，小於１
０６的正整數都是５個稜錐數之和。１９９１年，楊振寧和鄧越凡
等人的計算表明，凡小
於１０９的正整數，除了１７，２７，…，３４３８６７等２４１
個例外數之外，都是４
個稜錐數之和。他們猜想，除這２４１個數之外，表示任何正整
數，只要４個稜錐數就夠
了。
　　楊武之的這篇博士論文，首先在美國數學會的會議上作了介紹
（１９２８年４月６日
）。同年美國數學會通報第３４卷，第４１２頁上曾對此作了報
道。以後全文發表於１９
３１年的《清華理科報告》。
大學數學教育的先驅
　　楊武之一生從事數學教育，特別是在清華大學和西南聯合大學
執教並主持系務時期，
培養和造就了兩代數學人才，對中國現代數學的貢獻很大。
　　１９２８年，清華留美預備學校改制為清華大學。鄭之蕃、熊
慶來先期來清華大學任
教。１９２８年和１９２９年，孫光遠與楊武之亦先後到校。這４
位教授，加上唐培經、
周鴻經兩位教員，陣容極一時之盛。１９３０年，陳省身跟孫光遠
學幾何。次年，華羅庚
又來校跟楊武之研習數論。隨後的學生又有許寶蚴、柯召等人的到
來。３０年代的上半期
，清華大學已成為國內最強的數學中心。
　　楊武之在清華大學講授過很多代數課程，特別是３０年代初開
設的群論課，影響了大
批的後學者。
　　抗戰以後，清華大學與北京大學、南開大學並為西南聯合大
學。楊武之又擔任數學系
的系主任，以及清華大學數學研究生部的主任。戰時的生活十分艱
苦，但是西南聯合大學
數學系的學術生活並不貧乏，科學水平節節上升，這和楊武之的組
織與領導是分不開的。

楊武之與華羅庚
　　華羅庚自學成才，踏進清華園的傳奇故事已是盡人皆知，但是
究竟清華園內的數學圈
內怎樣發現華羅庚的細節，現在已很難查考。應該說，唐培經、楊
武之，熊慶來等先生都
為華羅庚來清華大學作出過努力，而系主任熊慶來的支持，則是關
鍵的一着。
　　華羅庚來到清華大學以後，選擇數論為研究方向，而且集中研
究華林問題，顯然是受
到楊武之的直接影響。華羅庚在１９８０年寫給香港《廣角鏡》周
刊的一封信說：“引我
走上數論道路的是楊武之教授。”
　　華羅庚於１９３６年赴英國，追隨Ｇ．Ｈ．哈代（Ｈａｒｄ
ｙ）學習解析數論，成績
卓著。楊武之為自己的學生超過自己而高興非凡。１９３８年華羅
庚回國後到西南聯合大
學任教。當時擔任系主任的楊武之，不顧學校里的各種反對意見，
向校方提出破格提升華
羅庚的職務，即越過講師、副教授直升正教授。起初校方以華羅庚
未在英國拿博士學位而
拒絕，後經楊武之力爭，最終才得到同意。所以，華羅庚在上述給
《廣角鏡》的信中也寫
道：“從英國回國，未經講師、副教授，直接提我為正教授的又是
楊武之教授。”
　　在西南聯合大學時期，楊武之和華羅庚曾同住於昆明西北郊的
大塘子村。兩家過往很
密。當年，華羅庚曾有一信給楊武之，內稱：“古人云：生我者父
母，知我者鮑叔。我之
鮑叔即楊師也。”
　　楊武之所師法的迪克森學派，在本世紀初的美國影響很大。後
來由於英國、蘇聯等國
的解析數論的興起而漸漸式微。所以，楊武之的數論研究雖曾起過
啟蒙和推動的作用，可
惜由於迪克森學派的衰落而未能發揮重大影響。中國數論學派，在
華羅庚的領導下，獲得
了重大的發展。飲水思源，人們將會緬懷楊武之在早期所發揮的前
驅作用。
晚年生活
　　楊武之於１９４８年底，搭機從北平返回南京，轉赴昆明接家
眷到上海，迎接解放。
１９５０年清華大學沒有續聘楊武之，他遂留在上海，任復旦大學
數學系教授。清華大學
的解聘，對楊武之打擊甚大。５０年代，他還在復旦大學講過幾門
課，以後因患糖尿病，
休養在家。
　　１９５７年，楊武之的長子楊振寧榮獲諾貝爾物理學獎，使楊
武之十分興奮。他曾於
１９５７、１９６０和１９６４年三度去日內瓦小住，與楊振寧歡
聚，也會見了在海外的
故友和學生，如陳省身等。這幾次聚會，使楊振寧對新中國多了一
些了解，直接影響他於
１９７１年夏決定回大陸探親，楊振寧遂成為最早訪問中華人民共
和國的海外知名學者之
一。
　　楊武之晚年身體很差，很少出門。他喜愛傳統文化，尤精圍
棋。他的詩作不多，有一
首是寫給陳省身的。詩曰：
　　衝破烏煙闊壯遊，果然捷足占鰲頭。
　　昔賢今聖遑多讓，獨步遙登百丈樓。
　　漢堡巴黎訪大師，藝林學海植深基。
　　蒲城身手傳高奇，疇史新添一健兒。
　　楊武之常說很喜歡自己名字中的“純”字，確實，他為人的純
正寬厚，已成數學圈中
人的口碑
　　(作者：張奠宙)
簡歷
　　１８９６年４月１４日　出生於安徽合肥。
　　１９１４年　　畢業於安徽省立第二中學。
　　１９１４—１９１８年　畢業於北京高等師範學校預科和數學
系本科。
　　１９１８—１９２２年　任安徽省立第二中學及安徽省安慶中
學教師。
　　１９２３—１９２８年　赴美國留學，在芝加哥大學獲碩士和
博士學位。