孿生素數猜想，張益唐究竟做了一個什麼研究？

by 王若度

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最近，《自然》雜誌的網站上刊登了一篇文章，在華人數學愛好者和學者之間產生了轟動。該文章的標題是《第一個無窮組素數成對出現的證明》。

“孿生素數猜想”是什麼？

這篇文章為何會引起轟動呢？這要從“孿生素數猜想”說起。眾所周知，素數是只含有兩個因子的自然數（即只能被自身和1整除）。而“孿生素數”是指兩個相差為2的素數，例如3和5，17和19等。孿生素數猜想是說，存在無窮對孿生素數。

孿生素數的問題已經有約200年的歷史。在1900年的國際數學家大會上，希爾伯特將孿生素數猜想列入了他那著名的23個數學問題。想了解這個問題的奇妙之處，需要大概了解素數的分布規律。2000多年前，古希臘數學家歐幾里德最先證明了素數在自然數中有無窮多個。這個證明是數學愛好者都很熟悉的，英國數學家哈代在他的《一個數學家的辨白》中也對這個證明津津樂道（如果有人沒有讀過的，推薦一讀）。

隨着數學慢慢發展，人們漸漸意識到素數在自然數的分布具有一定的規律。隨着數量級的增大，素數的密度越來越小。例如，100以內有25個素數（25%），而100萬以內的素數只有7.85%。儘管素數的分布越來越稀疏，但其稀疏程度卻是可以度量的。例如，人們發現素數的倒數和為無窮，這就意味着素數的分布比完全平方數要稠密。在法國數學家勒讓德和德國數學家高斯等人的推動下，人們開始猜測素數的分布律接近x/ln(x)，即前x個整數中大約有x/ln(x)個素數。這一結果於1896年被兩位數學家各自證明，此時距離勒讓德的猜想提出已經有98年。

素數的分布律說明，素數在自然數中越來越稀疏，同時素數之間的距離——平均而言——會越來越遠。因此，孿生素數猜想也就顯得很越發奇妙——如果素數之間的距離真的越來越遠，那麼出現無窮對距離為2的素數就不是那麼顯然的事了。這似乎說明素數的分布是相當“隨機”的，而不是近似均勻的擴散。可能學概率論的讀者會注意到，這一結論與概率論中“隨時間推移，一維標準布朗運動的位置平均而言離0點越來越遠，但卻以概率1無窮次折回0點”有着異曲同工之妙。的確，素數的分布律與隨機過程非常相似。然而，更為奇妙的是，素數的位置是完全是確定的，其本質上毫無隨機性。

張益唐做了什麼工作？

終於可以講到今天的新聞了。新罕布什爾大學（University of New Hampshire，UNH）任教的張益唐近日聲稱，其證明了存在無窮多對素數，其差小於7000萬。儘管7000萬是個很大的數字，但如果結果成立，就是第一次有人正式證明存在無窮多組間距小於定值的素數對。想想我們之前講的，就會發現，既然素數之間的平均距離越來越遠，那麼存在無窮多組間距小於定值的素數對，與存在無窮多組間距為2的素數對（孿生素數猜想）是一樣神奇的結論。值得一提，如果存在無窮多組間距小於定值的素數，那麼，通過取子序列的辦法，我們可以得知至少存在一個數字C（小於7000萬），使得無窮多組素數之間的間距恰巧為C。無怪乎，美國數學家多利安·戈德菲爾（ Dorian Goldfeld）評論說，從7000萬到2的距離（指猜想中尚未完成的工作）相比於從無窮到7000萬的距離（指張益唐的工作）來說是微不足道的。

如果張益唐的結果為正確的，那無疑是世界數學界的一大進展，其結果影響力甚至可能超過陳景潤在哥德巴赫猜想方面所做的工作。

根據我一位朋友介紹，張益唐就讀於北大數學78級，是當時最優秀的幾個學生之一，因此也算上是我的師兄。網上關於張益唐的信息很少，只能查到他在UNH擔任講師（Lecturer）。這裡，稍微講解一下美國的學術體系。美國學術界的核心是終身教職系統（Tenure-Track），分為助理教授（Assistant Professor）, 副教授（Associate Professor）和教授（Professor）三個級別。這些教授職位就是傳統意義的學者，既進行教學活動，也進行科研（如果是研究型大學的話，是科研為主）。一旦獲得終身教職（通常是在升到副教授時，少部分學校是到正教授時，也有部分是助理教授期間），這些教授就可以做任何自己想做的科研，即使沒有經費，科研沒有進展，甚至不再科研，學校無正當理由（如瀆職、犯罪等）也不能開除他們。因此，終身教職是學術界的核心精神，絕大多數數學家（除了在研究所工作的外）都會進入終身教職系統。

而講師就差多了，是臨時教學職位，收入比起同資歷教授（包括助理教授）差很多，教學任務也遠遠比教授們重。科研上來說，則是完全得不到任何支持。例如我所在的學校，講師往往由不具有博士學位的教師來擔任，教學任務是普通終身教職系統內教員的2-3倍。注意，美國的講師和英國的講師是不同的，後者是等價於終身教職系統內職位的。無論如何，張益唐的職位都不是一個數學家理想的職位，可以說他是在講師的位置上蟄伏了多年。引用香港浸會大學湯老師的說法，“（張益唐老師）從沒有正式工作，（人們）以為（他）離開數學界了”。數十年磨一劍，終於發表了驚人的成果。

現代數學的新結果的驗證往往需要很長的時間。因為所使用的新技巧，所涉及的專業知識往往都過於高深，以至於全世界只有一兩位專家可以看懂。而證明又可能很長，有時竟長達上千頁，很多數學家要慢慢擠出時間來看他人的證明。即使發表在頂級數學雜誌的結果，也可能時候發現有錯。因此，包括我本人在內，許多人也在懷疑張益唐的結果是否正確。在這裡，我只簡單地將事實列出，留給數學界來評判。

對張益唐的結果不利的事實有：

1. 張益唐來自一所並非以數學聞名的大學，而且是臨時職位，且多年以來並無突出建樹。在數學界，由無名之輩解決世界難題雖然並非絕無發生，但現代以來已經幾乎絕跡。
2. 據張益唐在哈佛的報告的反響來看，他使用的數學技巧不具備革新性，是較為經典的數學技巧。新的突破由經典技巧完成在數學史上是非常罕見的。（這也是為什麼只學習了初等數學的民間數學家們往往無法解決數學難題）。
3. 所得出結論過於具有突破性，其他數學家似乎都沒有辦法做到。
    

對張益唐的結果有利的事實有：

1. 他將文章投到《數學年刊》（Annals of Mathematics），從新聞來看，已準備接收。審稿人的評價非常積極，認為其證明是對的，並且是一流的數學工作。Annals是世界上最權威的數學雜誌，即使考慮平行地位，也遠遠大於《自然》（Nature）、《科學》（Science）這些雜誌。在Annals上發表數學文章極難，往往都是頂尖數學家才能做到。北京大學的教授發表一篇Annals，都要在數學學院的網站上寫個新聞報道一番，可見其難度。考慮到張益唐並不是成名的數學家，審稿人想必是在非常詳細的審閱之後才得出的結論。
2. 新聞提到，其他看過論文和聽過報告的專家，沒有人找到明顯的錯誤（儘管有些人仍然存有懷疑），並且認為其證明思路可以看懂。
3. 北大校友傳言張益唐在北大讀書期間非常突出，而77、78級由於之前的文革影響，最頂尖人才都匯聚在一起，因此如果張老師讀書期間非常突出，那麼至少說明他的數學潛力是沒有問題的（遠非所謂民間科學家所能比）。
4. 根據華人數學家陶哲軒的博客，儘管由於他本人沒有看到文章，仍無法下斷言，但他對該結果的評價比較正面，並且他推測張益唐的工作是在其他幾位科學家的基礎上進行的合理推廣。
5. 根據另一名華人數學家轉述，張益唐之前雖然沒發表過幾篇文章，但其有一篇關於黎曼猜想的文章發表在另一數學界高端雜誌《Duke數學雜誌》上，並得到審稿人很高的評價。這說明，張益唐是具有研究前沿數學問題的知識儲備的。
6. 此外，這裡有一個關於張老師前幾天在哈佛所做之報告的技術總結，將其基本思路整理了一下，有興趣的朋友可以自行閱讀（英文版）：Bounded Gaps Between Primes

2013年5月24日更新：

我收到UNH的一名教授的來信，希望我澄清一下，“張老師在UNH十四年來每年從來沒有上過四門以上的課，他得到了我們的尊重，能安心做科研。”

王若度 是加拿大滑鐵盧大學統計與精算學系助理教授