少年數學天才
1826年9月17日，在德國漢諾威的布列斯倫茨，黎曼（1826-1866）出生在一個鄉下牧
師之家，是6個孩子中的次子。
黎曼從小酷愛數學。他6歲時開始學習算術，並顯現出他的數學天才。他不僅能解決所
有留給他的數學問題，而且還經常提一些問題來捉弄他的兄弟姐妹。10歲時他跟一位職業
教師學習高級算數和幾何，很快便超過了老師，常常對一些問題能做出更好的答案。
黎曼14歲時到漢諾威市上中學。由於經濟拮据，他總是靠步行奔波於漢諾威市與鄉間
小村莊之間。當然他更沒錢去買參考書。幸運的是中學校長及時地發現了他的數學才能，
考慮到他經濟上的困難，校長特許黎曼可以從自己私人藏書室里借閱數學書籍。在校長的
推薦下，黎曼借了一部數學家勒讓德的《數論》，這是一部共859頁的4大本的名著。黎曼
十分珍惜這種讀書機會，他如饑似渴地自學起來，6天之後，黎曼便學完並歸還了這本書。
校長問他：“你讀了多少？”黎曼說：“這是一本了不起的書，我已經掌握了它。”幾個
月之後，校長就這本書的內容考他。黎曼對答如流，並且回答得很全面。利用校長的藏書
，黎曼還抓緊時間很快地自學了大數學家歐拉的著作，由此掌握了微積分及其分支。黎曼
不僅從歐拉的著作中學到了數學知識，還學到了歐拉研究數學的技巧。
大學生涯
19歲時，黎曼進入格丁根大學學習，為了在經濟上幫助家庭以儘快找到一個有報酬的
工作，他先攻讀哲學和神學，但是，除了這兩門課程以外，他也去聽數學、物理學課程。
他聽了斯特恩關於方程論和定積分、高斯關於最小二乘法以及戈爾德斯米特關於地磁學的
數學講座，對數學專業產生了難以割捨的興趣。
黎曼向父親講述了這一切，請求允許自己改學數學專業。父親由衷地同意了他的請求
。黎曼極為高興，並深深地感激父親。
1847年，為了師從更多的大師，黎曼轉學到柏林大學，就學於大數學家雅可比、狄利
克雷、斯泰納和艾森斯坦門下。他從雅可比那裡學到高等力學和高等代數，從狄利克雷那
里學到數論和分析學，從斯泰納那裡學到現代幾何，從文森斯坦那裡學到橢圓函數論。
在此期間，他極為勤奮，甚至放假期間也不休息。1847年秋假，黎曼找到幾份巴黎科
學院《院刊》，上面載有數學家柯西新發表的關於單復變量解析函數的論文，他一眼便看
出這是一種新數學理論，於是一連幾個星期閉門不出，潛心研究柯西的論文，並醞釀出他
在這個專題上的新見解，為4年後撰寫博士論文“單復變量函數的一般理論的基礎”奠定了
基礎。
黎曼不僅認真研讀大師的學術專著，而且虛心地向大師求教。有一次，狄利克雷來格
丁根度假，黎曼趁此機會向他求教數學問題，並將自己未定稿論文交給他，請他提意見。
狄利克雷被黎曼的謙虛、真誠和天才迷住了。他與黎曼長談了兩個小時，給黎曼的論文提
了不少意見，給黎曼正在研究的課題作了許多指點。黎曼深感受益匪淺，他說沒有狄利克
雷的指點，他將不得不在圖書館裡做好幾天的吃力研究。
生活雖然清貧，但學習極為勤勉，這使得黎曼在大學畢業時獲得了豐碩的成果。1851
年底，黎曼將其博士論文呈交給大數學家高斯審閱。高斯在看了論文之後興奮不已，對黎
曼的論文作出了高度評價，這對高斯來說是罕見的。高斯評語道：“黎曼先生交來的論文
提供了令人信服的證據，說明作者對該文所論述的這一問題作了全面深入的研究，說明作
者具有創造性的、活躍的、真正的數學頭腦，具有燦爛豐富的創造力。”
貧困中奮進
1852年初，黎曼憑藉優異的學術表現取得了博士學位，並留在了格丁根大學。十九世
紀中葉的德國，科學幾乎與國家的經濟全然無關。大學的設立僅在訓練律師、醫師、教師
和傳教士士，以及提供貴族子弟和富家子弟渡過引人側目及受尊敬的歲月的場所。只有正
教授才可以領政府的津貼，並且可教授正規標準課程，這些課程都是一些基礎科目，上課
的學生多，因此教授收到的學費也就多了，這就是為什麼當時課程水準低落的原因，因為
如果課程太難，就沒有辦法收到許多學生，從而影響到教授們的收入，畢竟貴族子弟和富
家子弟上大學的目的並非真心向學。講師們則沒有政府津貼並且輪不到教基本正規課程的
機會，全然靠來聽課的學生的學費維生，通常，聽課的學生不會多，因此收入也就相當微
薄，生活非常困苦。擔任講師是成為正教授的必經途徑。但是卻沒有明文規定什麼時候能
將一位講師升等為教授，為了照顧特別值得重視的學者而卻沒有正教授的空缺時，政府可
任命他為“客座教授”，使他具有教基本正規課程的資格，增多他的收入，但是這個任命
附有條件，言明政府不付任何津貼。因此，在擔任講師期間，黎曼沒有任何自主的生活費
來源，生活依舊貧窮。
但黎曼不顧生活上的貧困，仍然把全部精力投向數學。他認為只要能夠勉強維持生活
，能夠讓他研究數學，他就心滿意足了。他從不因經濟上的拈據而感到沮喪。他一方面積
極準備“無薪講師”的就職演講論文，另一方面認真從事數學物理方面的研究工作。他的
就職論文具有相當的難度。當初為了確定論文的選題，他向高斯提交了3個題目，以便讓高
斯在其中選定一個。其中第3個題目是涉及幾何基礎的，這個題目黎曼當時並沒有多少案頭
準備工作，因此黎曼從心底里希望高斯不要選中它。可是，高斯對第3個題目卻深有研究，
他已思考這個問題達60年之久。出於想看看黎曼對這個深奧的問題會做些什麼樣的創造性
工作，高斯指定第3個題目作為黎曼就職演講論文的題目。
事後，黎曼在向父親談起這件事時說，“所以我又處在絕境中了”、“我不得不做出
這個題目”。
對數學物理研究，黎曼也具有無限的熱情，他當時曾對人說：“我對於把一切與物理
規律結合起來的數學研究非常入迷。”“我通過對電、光、磁等之間聯繫的總研究，發現
了對這個現象的解釋。這件事對我很重要，因為這是我第一次能夠把我的工作應用到未知
的現象上。”這兩項研究在當時都是高水平的，因而也是極困難的。黎曼不顧生活清貧、
營養不良，超負荷地忘我工作，長時期過四度而緊張地思索，以致他常常體力衰竭，甚至
病倒。一旦身體稍有復原，他又繼續研究。功夫不負有心人。1854年6月10日，黎曼以“關
於構成幾何基礎的假設”論文作了就職演講，受到了與會數學家們的認可和好評。高斯聽
完之後大為驚異，感到這個年輕人處理這個難題非常之好，他讚不絕口。黎曼的這篇論文
被人們認為是19世紀數學史上的傑作之一。
1855年格丁根大學開始給黎曼發薪金，但相當的低。一年僅相當於200美元。這一年黎
曼29歲，他家裡遭到巨大的不幸，父親和一個妹妹相繼去世，原來依靠父親生活的3個妹妹
失去了生活來源。於是黎曼和他的哥哥兩人挑起了照顧3個妹妹生活的擔子。黎曼時時為一
家人的生活感到焦慮。1857年黎曼一年的薪金被加到相當於300美元的水平。由於收入不多
，又要照顧3個妹妹，生活擔子重，黎曼連自己的婚姻大事都不敢考慮。然而就在這一年，
不幸又從天而降，黎曼的哥哥又去世了。這對黎曼來說如同雪上加霜，照料3個妹妹生活的
擔子全部落在他一人的肩上。從1855年到1859年這5年中，經濟拮据、生活清貧一直困繞着
黎曼，有時一家甚至陷入對口糧都需要算計的地步。就是在這種情況下，黎曼仍不顧物質
生活的貧乏，全身心地投入到數學研究工作之中，在科學的崎嶇小道上艱苦奮鬥，並獲得
了令人驚異的成就。他在數學上的許多重要成果都是在這個時期內完成的。他對阿貝爾積
分和阿貝爾函數的研究，開創了現代代數幾何；他首創用復解析函數研究數論問題，開創
了現代意義的解析數論；他對超幾何級數的研究，推動了數學物理和微分方程理論的發展
。隨着研究成果的問世，黎曼在數學界的學術聲望迅速提高。他受到許多世界著名數學家
的讚揚，獲得了一個科學家通常可能得到的最高榮譽。
大師之死
1859年黎曼33歲時，高斯去世。他被任命為格丁根大學正教授，成為繼狄利克雷之後
高斯的第二個繼任者。這時黎曼的生活才開始得到改善，才開始考慮個人的婚姻問題，並
在36歲時與朋友的妹妹結了婚。一年後，他的女兒出生在比薩。
但是，長時期清貧的生活、過度的操勞、發奮的研究，使得黎曼身體虛弱、精力衰竭
。1862年黎曼患了胸膜炎，不久又患了肺病，一年後又患了黃疽病。在病魔纏身之際，只
要有一些力氣，黎曼仍堅持數學研究工作。雖然這個時期黎曼積極就醫和療養，但因病入
膏盲終無療效。1866年7月20日，黎曼那顆純潔、高尚的心停止了跳動。他過早地離開了人
世，也過早地離開了數學，終年僅40歲。
黎曼是數學史上最具獨創性精神的數學家之一，他在眾多的數學領域裡作出了許多奠
基性和創造性的研究工作：他從幾何方向開創了複變函數論；是現代意義的解析數論的奠
基者；他親手建立了黎曼幾何，是組合拓撲學的開拓者。他對微積分的嚴格處理作出了重
要貢獻；在數學物理和微分方程等領域內也成果豐碩。1859年，黎曼被選為柏林科學院通
訊院士，1866年他被選為法國巴黎科學院通訊院士和英國皇家學會國外會員。
黎曼的英年早逝是德國數學界乃至全世界數學界的遺憾！但是他所留給數學界的，在
他少量的已出版的論文集中，已有太多的豐富的概念，至今還未被後世數學家研究殆盡。
