十九、薛定谔方程的导出
２０００年５月至８月．
德布罗意公式的导出，意味着引－电统一场论从此从狭义相对论领域跨进了
广义相对论的境地，实现了从波到粒子的突破，此后不再需要在基本观点方面发
生质的飞跃．我意识到这件事也许应当算是物理学史上的重要事件，因而立即在
电脑里写下：“２０００年５月１０日夜里１１点０６分完成了计划中的《基础
物理述评教程》的全部手稿，接着就在１１点３２分用逻辑方法导出了德布罗意
公式．与普朗克公式、德布罗意公式相比，薛定谔方程理也许只是小菜一碟．预
料爱因斯坦的遗愿将会在今天的最后２８分钟里成为现实．”
作出上述判断的根据是：既然已经肯定粒子是波包，那就自然应当是用波函
数来描述．在结构化学教材里，薛定谔方程是利用单色平面波来引入的，只要把
哈密顿算符作用于单色平面波的函数，用不了一分钟就能得到薛定谔方程．此法
虽只具有“用特例来验证”的意义，但因一般的波都是由单色波叠加而成的，所
以，只要把一般的波函数作傅里叶展开，就可以仿照结构化学教材里的办法来导
出薛定谔方程．就工作量方面看，无非是增加一分钟来书写傅里叶展开式．一旦
采用任意波函数的傅里叶展开式，那就不只是验证了，而是证明薛定谔方程普遍
成立．早在１９８２年下半年阅读徐光宪先生的《物质结构》一书时，我就已经
有了这种想法．遗憾的是：这种想法只是留在脑子里，一直未把它写到纸上来．
我兴致勃勃地立即开始工作，这次当然是要动笔了．写出两个式子之后就立
即发现：问题远非原先想象的那样简单．因为一般函数的傅里叶展开式应当是积
分式，用哈密顿算符作用后，得到的仍然是积分式，而薛定谔方程应当是本征值
所满足的偏微分方程．原先以为能在２８分钟里完成的工作，竟是一场比普朗克
公式、德布罗意公式还要艰苦得多的攻坚战．攻到第二天，忘了吃早饭，一直攻
到中午，毫无进展．身体缺糖虚脱了，才知道必须补充燃料．饭后午睡时仍抑制
不住兴奋状态，于是索性攻到晚上，还是毫无进展．
这场攻坚战与前两次不同，当年思考普朗克公式和德布罗意公式的时候，都
是感到完全摸不着头脑，攻一阵子也就只好算了，所以总是断断续续地干．这次
是，动笔几分钟之后就已经得到了一个式子，这个式子只比薛定谔方程多一个积
分号．显然，只要能把这个积分号消掉，就意味着大功告成．这个积分号就像是
一个玻璃瓶子，它让你看到瓶子里的果子，钓你的胃口，却又不让你拿到果子．
我总感到目标就在眼前，但要跨出这最后一步竟是如此之难．连续攻了一个
半月，瓶子依然毫无裂缝．我越来越感到疲劳，到了６月下旬就支撑不住了．从
镜子里看到了自己憔悴的面容，不禁感到有点辛酸：“一晃四十年已过，难道当
真只有通过隧道效应才能拿到果子吗？看来这辈子是没有希望了．”幸好这种沮
丧情绪还没有超过果子本身的吸引力，我只是稍许放松了一下，但未停止思考．
７月上旬的一天凌晨，我被鸟叫声唤醒，比平时早一个多小时．天还不怎么
亮，但再入睡是不可能了，于是索性坐起来欣赏这悦耳的声音，并试图判断鸟的
位置，但做不到，因为我意识到自己所听到声音是衍射波．接着就联想起电子衍
射实验，终于恍然大悟：“积分号一般是消不掉的，除非被积函数里包含狄拉克
函数．应当从粒子波函数的特殊性方面进行分析．当年玻尔学派的三大法宝中已
被我破了两个，还留下一个电子的点染式衍射图样问题．点染式在数学方面应当
与脉冲函数有关．也许应当从电子衍射实验中寻找出路．”
我把电子的衍射与声波的衍射进行了比较．声波要依靠空气分子来传播．声
场中的分子总是既要作声振动，又要作杂乱无章的热运动，因而声波必定是概率
波，它的衍射图样也应当是点染式的．但是，如果没有声源，也就不会有衍射花
样．这就表明声源与衍射图样之间的关系是因果关系．点染式则是表明随机性的
原因必定产生随机性的结果，这也是由因果律支配的．因此，声波是一种遵守因
果律的概率波．与此类似，电子枪发射电子是随机性的，但电子本身就是引力波
和电磁波构成的波包，因而电子束也是同时含有随机成分和相干成分，两种成分
也都应当分别遵守因果律(见《述评》 p.806)．我又回想起１９８２年暑假里未
能成功的“弹簧衍射实验”，想象着有驻波场的弹簧与狭缝边缘相碰后偏转，偏
转角度的大小由驻波的相位决定．想到这里，就立即起床，很快就导出了薛定谔
方程(见《述评》 p.809)．确实只用了半个小时的时间．
粒子波函数的完备形式中应当包含两种成分，其一是随机性脉冲函数，其二
是粒子本身固有的波函数．这两种函数分别使用实验室参考系和本地参考系．本
地参考系是跟随整个粒子一道运动的，可在粒子上找一个特殊的点(例如质心)代
表整个粒子，这个点叫做“代表点”．粒子本身是一个波包，波包内的各点与代
表之间应当存在相干关系．本地坐标系的原点取在代表点上．随机性脉冲函数是
用于描述粒子的代表点在实验室参考系中的随机性位置，固有波函数是用于描绘
波包内任意点的状况，使用相对于代表点而言的位矢．显然，波包上的点在实验
室参考系中的位矢，应当等于这些点在固有参考系中的相对位矢与代表点在实验
室参考系中的位矢之矢量和．
一旦代表点的位置被选定在实验室里的某个点上，波包上的点在实验室参考
系中的状况也就完全确定了．但代表点的位置是随机性的，因而波包在实验室参
考中的波函数应当等于随机性脉冲函数与粒子固有波函数的卷积积分．
值得注意的是：随机性脉冲函数是由随机性脉冲组成的，每个脉冲都是用狄
拉克δ函数描述的，因而随机性脉冲函数与固有波函数的卷积积分实际上是固有
波函数的线性组合．在有了这样的认识之后，就按以下步骤来处理：
１）将完备的波函数在四维空时内展开成傅里叶积分．
２）将德布罗意公式代入上述傅里叶积分．
３）将总能量算符和四维拉普拉斯算符（即四维空时中的与三维空间内的拉
普拉斯算符相当的算符）作用于上述用傅里叶积分描述的波函数．如此得到的方
程一般仍应具有积分形式，但因随机性脉冲函数具有特殊性，所以如此得到的方
程实际上已经是本征函数的偏微分方程(见《述评》p.810，注意：初版(36)式等
号右边漏了一个负号，(37)式中的静止能量平方项前面的负号应改为正号)．
４）将狭义相对论中的动量－能量守恒方程代入上述偏微分方程，就能得到
粒子在自由空间的运动方程．
５）将上述运动方程应用于势场中的局部惯性系，然后利用广义相对论提供
的引力效应因子，就能得到粒子在势场中的运动方程．
６）上述粒子在势场中的运动方程中的粒子能量，就是指德布罗意公式描述
的粒子能量，是把粒子的固有静止能量包括在内的．如果扣除静止能量，那么就
得到著名的薛定谔方程．
一旦导出了薛定谔方程，那就不仅意味着基本上完成了量子力学的推导，也
不仅意味着让量子力学回到了因果决定论的立场，还意味着在统一场论方面基本
上达到了爱因斯坦在１９１８年提出的“把力学、电动力学和量子力学统一在单
一的逻辑体系里”的指标．
２０００年８月，我在《述评》中增添了“探索篇”．
全书完稿之时，回想起１９６０年初次与戴文赛先生见面时的谈话以及后来
所走过的道路，颇有感触，于是填了一首“醉太平”词：
壮志易立，知音难逢．幸得先生激励，百折仍从容．
评千年事，留万古风．自古新说和寡，不图眼前功．
二十一．对热学逻辑体系的进一步改造
２００１年１０月．
经典物理学的四大分支是力、热、电、光．我在写“探索篇”的时候，注意
力是集中在引力场和电磁场方面，接着是把注意力转移到量子和宇宙上，未考虑
经典力学、热学和光学．但是，如此得到的理论体系已经包含了相对论力学和电
学，相对论力学在低速条件下取近似就得到经典力学，光学则是电磁波理论在光
学波段的表现，惟独未能把热学同统一的理论挂上钩．统一的物理学如果未把热
学统一进来，那就不能算是真正的统一．直到全书定稿之后才发现这一点，只能
感到遗憾．如果统一的物理学能够包括热学，那就意味着热学的基本定律能在大
框架内单纯地用逻辑分析法得到．这件事确实是能做到的．
Ⅰ．热力学第一定律的导出
在物理学发展史上，热力学第一定律不是力学中的机械能守恒原理的简单推
广，而是独立提出的经验定律．它最初在迈尔那里并没有精确的实验数据，而且
带有直觉和哲学思辨的成分．稍后在焦耳那里是以热功当量实验为依据，虽有较
精确的实验依据，但限于热与功之间的当量关系．到了赫姆霍兹手中，就比较全
面了，但在推广过程中还是带有直觉和思辨的成分．
作为经验定律，热力学第一定律在客观上具有严格的正确性是可能的，但从
认识上论上和逻辑上讲，科学的方法论是不允许否定测量误差的．所以，对于经
验定律，我们只能说它在测量精度允许的范围内是正确的，并能说，随着实验精
度的不断提高，它的可信程度也越来越高．但是，只要没有脱离经验归纳法，我
们就永远不能把话讲绝．
如今，我不是把热力学第一定律放在热力学本身的框架内来认识该定律，而
是把热力学看作是物理学整体的一个有机的组成部分．我所考虑的，并不是设法
让该定律建立在精度更高的实验基础之上，而是探讨是否能从已知的一般原理中
导出该定律．我在完成了改造力学逻辑体系的工作之后，就已经认为：放在物理
学整体框架里来看，热力学第一定律不是基本定律，而是惯性原理的推论．
在我改造过的力学逻辑体系中，惯性原理是借助于时间定理用逻辑方法确定
的，不存在测量误差．该原理中所涉及的孤立物体可以具有任意的复杂性，惟独
不允许是几何点．因而它的质量或能量可以包括一切可能形态．还应当注意，改
造过的力学已能包括相对论力学，因而分析问题时可以使用相对论的知识．
力学中的一个具有启发性意义的例子是由动能方面的柯尼西定理提供的．该
定理说：质点组的动能等于质心动能与整个系统在质心参考系中表现出的动能之
和(见《述评》p.88)．
如果把柯尼西定理应用于处于平衡态下的气体系统，那么整个系统在质心参
考系中表现出的动能就正是分子热运动的平动能量之和．如果气体系统还未处于
平衡态，那么就可以把大系统分为很多个足够小的子系统，子系统可以无限地接
近于平衡态．每个子系统都有自己的质心参考系，因而可首先把柯尼西定理应用
于子系统，这样就可以知道：整个大系统在质心参考系中表现出的动能，应等于
两部分能量之和：其一是全部子系统内的热运动的平动能量，其二是全部子系统
的质心在大系统的质心参考系中的平动能量．子系统的质心在大系统的质心参考
系中的平动是表现为漂移运动，因而这部分能量不属于热运动能的范畴，而应当
算是机械运动能量．如果分子之间有相互作用，那就无非是把势能加进来．如果
要考虑分子本身的结构，那就利用相对论中的质能关系式把分子的静止能量引进
来．分子的这种所谓静止能量，实际上是指分子在自己的质心参考系中的各种能
量的总和，可以细分为分子的振动能、原子的静止能量．原子的静止能量也是由
多种类型的能量构成的．如果认为引力场和电磁场是万物的基本成分，那么就能
意识到各种不同类型的能量都是两种场在各种不同层次上的相互作用的不同表现
形式．因此，可以认为：惯性原理已经包含了热力学第一定律的全部内容．惯性
原理的绝对严格性，保证了热力学第一定律具有绝对的严格性．
基于上述认识，如果把热力学从物理学整体中分离出来自成体系，那么就应
当认为热力学第一定律是绝对没有误差的基本定律．
Ⅱ．热力学第二定律的导出
热力学第二定律在形式上是表现为自发过程的单向性，在本质上是反映因果
律在个体行为中的先后次序的绝对性和在群体行为中的先后次序的相对性．爱因
斯坦利用因果律证明了光速是机械运动速度的极限．接着就发现，自然界里除了
存在着有因果联系的事件以外，还存在着用光速信号也无法取得联系的事件．对
于无因果联系的事件来说，因果律不能适用，这些事物之间的关系应当是随机性
的，这是因为时间的先后次序已失去了绝对性．在广义相对论中，实际上涉及无
限多种参考系，不能继续使用机械观．我对热力学第二定律的认识，就是以上述
认识为基础，所作的思考是这样：
１．孤立的单体系统只能是用惯性定律描述，不属于热学的研究对象．
２．孤立的双体系统在经典力学中有完全确定的解析解．只要系统的能量足
够低，一般是有完全固定的闭合的轨道．但经典时空观是错的，如果改用广义相
对论来分析，那么就会发现：正像行星轨道的近日点必定会发生进动那样，粒子
的轨道不可能是闭合的，但应当是在不动的平面上．我们可在该平面上以系统的
质心为中心、以粒子所能达到的最远距离为半径，画一个圆，并把该圆划分为任
意多个面积相等的格子(实际上还应当把动量空间也分为很多格子)，以这些格子
代表粒子的状态．那么就会发现：只要允许观测时间无限延长，那么粒子就总能
经历所有的状态．
人们也许会说：“这正是玻尔兹曼的各态经历假说，早已被否定．”
我说：“否定过的东西不是不可以翻案．当年的判决是以玻尔的非决定论为
法典，在我看来，这部法典本身就是错的．也许将来人们会得同意，替各态经历
假说翻案，乃是物理学进程中的一件大事，它关系到量子力学该落脚于何处的问
题．”
这里要提请人们注意，我在这里不是以各态经历假说为前提，也不是以某种
哲学信条为出发点，而是仅以广义相对论揭示的近日点的进动为根据，单纯地用
逻辑方法导出“各态经历”．不论格子小到怎样程度，只要时间足够长，就总能
使所有的格子都能被粒子占领．如果时间无限延长，那么，从极限意义上讲，就
应当允许格子无限地趋于几何点．也就是说，粒子不只是可以进入任意有限大小
的格子，而是原则上允许出现在连续分布的任意点上．这就是广义相对论应用于
双体系统时所应得到的“各态经历”结论，是属于逻辑必然性，丝毫未涉及哲学
信仰问题，因而我把它称为“各态经历原理”．
我们原则上可以记下粒子在各格子里停留的时间，然后除以总时间，就得到
分布函数．该分布函数的形式与所用总时间的长短有关，一般不是连续函数．但
是，如果让总时间趋于无限大，那么就应当得到确定的连续函数．
在引力效应可以忽略的场合，不需要采用广义相对论．但是，只要采用狭义
相对论，双体系统的轨道就仍不能闭合，因而仍能得到“各态经历原理”．
３．孤立的三体系统即使是在经典力学中也不可能有解析解．这时即使不采
用相对论的观点，也可以断定各粒子的轨道一般不是在同一平面上．因而应当采
用三维空间内的格子，然后仿照处理两体系统的办法来处理．能得到三维的分布
函数．多体系统当然更复杂，但照例能够处理．
４．如果三体系统、多体系统是由几何点式的粒子组成的，那么就在原则上
允许所有的粒子都在同一个平面上．但是，如果粒子是波包，那么碰撞事件就是
不可避免的．波包本身具有自相干性，但各波包之间不存在互相干性，因而各粒
子的轨道都不可能保持在任何固定的平面上．”
５．现在考虑Ａ、Ｂ两个系统，它们有相同的边界条件，粒子种类、数量以
及总能量都相同，但初始条件不同．我们能够作出这样的判断：
①这两个系统在任何时候都不会有相同的状态；
②根据各态经历原理，如果Ａ系统能在t'时刻处于Ｘ态，那么Ｂ系统就迟早
会在某个t"时刻到达Ｘ态；
③根据因果律，Ａ系统能在t'时刻以后经历的态与Ｂ系统在t"时刻经历的态
应当是相同的．
６．如果用照相机摄下系统的状态，然后对这些照片进行统计，那么就能找
出各段时间里出现次数最多的那一种状态．这种“出现次数最多的状态”不是惟
一的，但是，时间间隔越长，差别就越小，趋于数学上的完全确定的极限．这是
因为：时间越长，初始条件所起作用就越小；如果时间无限延长，那么上例中的
t'时刻以前及t"时刻以前的状态就可以忽略了，意味着Ａ、Ｂ两系统有相同的终
态．把系统终态的惟一性同因果性事件的次序不可逆性结合起来，就能得到“孤
立系统的状态单向地向终态变化”的结论．这个结论实际上就是统计力学中的最
大概率原理，在宏观上表现为热力学第二定律．
７．由于系统内的大部分事件之间不存在因果关系，所以单向性不能排除统
计涨落．也就是说，概率较大的态不能保证比概率较小的态出现得晚些．观察到
的概率曲线应当是用“视觉暂留时间”和“曝光时间”内的平均概率密度来描绘
的．系统接近于终态时，曲线可以具有单调上升的特点；系统离终态较远时，曲
线应当显示出波浪式上升的特点；即使是在接近于终态时，如果允许曝光时间足
够短，那就也应当是显示出波浪式上升的特点．
８．对长时间积累的大量照片进行统计时，每张照片都是只使用一次．根据
加法交换律，按照片的先后次序进行统计与打乱后进行统计，所得到的结果总是
相同的．也就是说，尽管物理现实的因果次序是不可逆的，但在事后用数学方法
进行统计的时候，概率论本身所允许的加法交换律是超时的．因此，对统计结果
作出决定论的解释，或是作出非决定论的解释，都是能讲得通的．
因果律是讲物理现实的惟一性和必然性，加法交换律是指数学方案的多样性
和可能性．惟一性是属于多样性中的一种，必然性是属于可能性中的一种．不能
认为在其它的可能性未被排除之前就认定自己已经拿到手的那种可能性是不容怀
疑的必然性．在这里，我们面前的物理命题和数学命题是不可逆的．我在量子力
学和宇宙学方面正是用这种观点审查玻恩对波函数所作的解释和迪克等人对宇宙
背景辐射所作的解释．
这种逻辑思维原则不是我的发明创造，前人早已有之，在爱因斯坦那里最为
突出．爱因斯坦在用广义相对论揭示出宇宙的三种可能的模型之后，不是随手从
中抓出一个来认定为必然性，而是利用引力佯谬排除了其中的两种可能性之后才
让有限无界宇宙模型由可能性转移到必然性的位置上．这在科学方法论方面是完
全正确的．问题是出在引力佯谬上．我在论证宇宙的无限性时仍然是采用爱因斯
坦的方法，只是以经受过检验的物质不灭原理取代了虚构的引力佯谬的位置．
９．如果承认因果律，那么就能推断：一旦按照片的先后次序排列，就可发
现每个粒子的轨道都是连续的．
１０．同一张照片所纪录的发生在同一平面上的事件，被认为是“同时”发
生的，但这种同时性是相对特定参考系而言的，它们之间实际上不能建立因果联
系，因而不受因果律支配．但是，把前一时刻的随机性局面同每个粒子自身经历
的各事件之间的因果关系联系起来思考，就能断定后一时刻的局面仍必定保留着
随机性，这是因果律在随机性群体行为方面的体现，在本质上是反映各个粒子自
身受因果律支配．
上面的分析表明：热力学第一定律和第二定律都可用逻辑方法导出，整个热
学理论可以看作是相对论力学的逻辑延伸．热力学第一定律是严格正确的．第二
定律所描述的单向性如果是指因果次序的不可逆性，那么该定律就也是严格正确
的；如果单向性是指概率或熵的单向变化，那么第二定律就只能是限于描述近平
衡态的自发倾向．
