Riemann 猜想漫谈 (四)

- 卢昌海 -

If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis.

- H. Montgomery

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五. Riemann 的论文 - 零点分布与素数分布

在 上节 中我们看到， 素数的分布与 Riemann ζ 函数之间存在着深刻的关联。 这一关联的核心就是 J(x) 的积分表达式。 由于 Riemann ζ 函数具有极为复杂的性质， 这一积分同样也是极为复杂的。 为了对这一积分做进一步的研究， Riemann 引进了一个辅助函数 ξ(s)[注一]：

ξ(s) = Γ(s/2 + 1) (s - 1) π-s/2 ζ(s)

引进这样的一个辅助函数有什么好处呢？ 可以证明， 由上式定义的 ξ(s) 是一个整函数 (Entire Function)， 即在复平面上所有 s≠∞ 的点上都解析的函数。 这样的函数在性质上要比 Riemann ζ 函数简单得多， 处理起来也容易得多。 事实上， 在所有非平庸的复变函数中， 整函数是解析区域最为宽广的 (解析区域比它更大 - 即包括 s=∞ - 的函数只有一种， 那就是常数函数)。 这是引进 ξ(s) 的好处之一。

利用这一辅助函数， 我们在 第二节 中提到的 Riemann ζ 函数满足的代数关系式 ζ(s) = 2Γ(1-s)(2π)s-1sin(πs/2)ζ(1-s) 可以表述为一个关于 s 与 1-s 对称的简单形式：

ξ(s) = ξ(1-s)

这是引进 ξ(s) 的好处之二。

从 ξ(s) 的定义中不难看到， ξ(s) 的零点必定是 ζ(s) 的零点[注二]。 由于我们已经知道， ζ(s) 在 Re(s)>1 没有零点 (证明见 Euler 乘积公式 一文)， 因此 ξ(s) 在 Re(s)>1 也没有零点； 又由于 ξ(s)=ξ(1-s)， 因此 ξ(s) 在 Re(s)0 [Li(xρ) + Li(x1-ρ)]
-lnΓ(s/2+1)
lnξ(0) lnξ(0) = -ln2
-(s/2)lnπ 0

在上述这些结果中， 对 Σρ ln(1-s/ρ) 的积分最为复杂， 其结果 -ΣIm(ρ)>0 [Li(xρ) + Li(x1-ρ)] 是对级数逐项积分的结果。 这一结果是条件收敛的， 不仅要如 lnξ(s) 的级数表达式中一样以将 ρ 与 1-ρ 配对的方式进行， 而且还必须依 Im(ρ) 从小到大的顺序求和。 Riemann 在给出这一结果时承认逐项积分的有效性有赖于对 ξ 函数的 “更严格” 的讨论， 但他说这是容易证明的。 这一 “容易证明” 的结果在 36 年后 (1895 年) 被 von Mangoldt 所证明。 另外值得指出的一点是， 在 Riemann 对这一级数的各单项进行积分的时候隐含了一个要求， 那就是对所有的零点 ρ， 00 [Li(xρ) + Li(x1-ρ)]。 在 J(x) 的表达式中， 所有其它的项都十分简单， 也比较光滑， 因此素数分布的细致规律 - 那些细致的疏密涨落 - 主要就蕴涵在了这一与 Riemann ζ 函数的非平凡零点有关的级数中。如上所述， 这个级数是条件收敛的， 这就是说它的收敛有赖与参与求和的各项 - 即来自不同零点的贡献 - 之间的相互抵消。 这些来自不同零点的贡献就象一首盘旋起伏的舞曲， 引导着素数的细致分布。 而这首舞曲的奔放程度 - 也就是这些贡献相互抵消的方式和程度 - 决定了素数分布与素数定理所给出的渐近分布之间的接近程度。 所有这一切都定量地取决于 Riemann ζ 函数非平凡零点的分布。 Riemann 给出的素数分布的精确结果之所以没能立即使对素数定理的直接证明成为可能， 原因正是因为当时人们对 Riemann ζ 函数非平凡零点的分布还知道得太少 (事实上当时人们所知道的也正是我们在上面已经证明的 0≤Re(ρ)≤1)， 无法有效地估计来自零点的那些贡献的大小， 从而也就无法有效地估计素数定理对素数实际分布 - 即 Riemann 的结果 - 的偏差。

那么 Riemann ζ 函数非平凡零点的分布对来自零点的那些贡献究竟有什么样的影响呢？ 数学家们已经取得了一系列结果。 素数定理的证明本身就是其中一个， 我们将在后文中提及。 在素数定理的证明之后， 1901 年， 瑞典数学家 von Koch (1870-1924) 进一步证明了， 假如 Riemann 猜想成立， 那么由素数定理给出的素数分布的绝对误差为 O(x1/2lnx) (这是一个比素数定理更强的结果)。 另一方面， 英国数学家 John Littlewood (1885-1977) 曾经证明， 素数定理给出的素数分布的绝对误差起码有 Li(x1/2)lnlnlnx。 这两者之间已经非常接近 (其主要项都是 x1/2)。 因此 Riemann 猜想的成立意味着素数的分布相对有序， 而假如 Riemann 猜想不成立， 假如 Riemann ζ 函数的部分非平凡零点偏离了 critical line， 那么在素数的分布中就会出现紊乱， 素数定理对素数实际分布的偏差就会变大[注七]。 对 Riemann 猜想的研究使数学家们看到了貌似随机的素数分布背后奇异的规律和秩序， 这种规律和秩序就体现在 Riemann ζ 函数的非平凡零点的分布之中， 它让数学家们目驰神移。

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二零零四年一月二日写于纽约
http://www.changhai.org/

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注释

[注一] Riemann 对 ξ 函数的定义与我们所用的略有差异， 他的 ξ 函数用我们的 ξ 函数可以表示为 ξ(s) = ξ(1/2+is)。

[注二] 这是由于 Γ 函数没有零点， 而 s-1 的唯一零点 s=1 又不是 ξ(s) 的零点 (因为 ξ(1)=ξ(0)=-ζ(0)=1/2)。 因此 ξ(s) 的零点只能出现在 ζ(s) 的零点处。

[注三] Riemann 虽然没有详细讨论上述无穷乘积表达式的证明， 但他在写下与之等价的 lnξ(s) 的级数分解式之前提了一句： ξ(s) 是一个关于 (s-1/2)2 的收敛极快的级数。 这似乎暗示 ξ(s) 作为 (s-1/2)2 的级数的收敛方式与它的无穷乘积表达式之间存在着联系。 Hadamard 的证明确立了这种联系。 此外， Riemann 通过讨论 ξ(s) 的零点分布对 lnξ(s) 的级数分解式的收敛性作了说明。 虽然所有这些都因过于粗略， 不足以构成证明， 但这一暗一明两条思路后来都被证明是可以实现的。

[注四] 有意思的是， Hilbert 一度曾对 Riemann 猜想的解决抱有十分乐观的看法。 他在 1919 年的一次演讲中表示在他自己的有生之年可望见到 Riemann 猜想的解决； 在年轻听众的有生之年可望见到 Fermat 大定理的解决； 而另一个问题 - Hilbert 第七问题 - 才是最为困难的， 因为谁也没有希望看到它的解决。 不料仅仅过了 10 年， Hilbert 就活着见到了他的第七问题的解决； 75 年之后， Fermat 大定理也被解决了； 而 Riemann 猜想却是谁也没能活着见到它的解决。

[注五] 确切地说是 Re(ρ)>0， 但由于 ρ 与 1-ρ 总是同为零点， 因此 Re(ρ)>0 也意味着 Re(ρ)<1。

[注六] 这里要区分两个不同的问题： 一个是证明对级数可以进行逐项积分， 另一个是计算级数各单项的积分。 这个漏洞是出现后者之中的。

[注七] 在不假定 Riemann 猜想成立的情况下， 目前所能证明的素数定理给出的素数分布的绝对误差主项为 x， 远大于 Riemann 猜想成立情况下的 x1/2。