这里的 μ(n) 是我们在 第四节 中提到过的 Möbius 函数， 由它的求和所给出的函数 M(N) 被称为 Mertens 函数。 这个命题看上去倒是面善得很： μ(n) 不过是一个整数函数， 定义虽有些琐碎， 却也并不复杂， M(N) 不过是对 μ(n) 的求和， 证明它按照 O(N1/2) 增长似乎不象是一件太困难的事情。 但事实上这个其貌不扬的命题却是一个比 Riemann 猜想更强的结果！ 换句话说， 证明了上述命题就等于证明了 Riemann 猜想 (但反过来则不然， 否证了上述命题并不等于否证了 Riemann 猜想)。 因此 Stieltjes 的简报等于是声称自己证明了 Riemann 猜想。 虽然当时 Riemann 猜想还远不象今天这么热门， 消息传得也远不象今天这么飞快， 但有人证明了 Riemann 猜想仍是一个非同小可的消息。 别的不说， 证明了 Riemann 猜想就等于证明了素数定理， 而后者自 Gauss 等人提出以来折磨数学家们已近一个世纪之久， 却仍未能得到证明。 与在巴黎科学院发表简报几乎同时， Stieltjes 给当时法国数学界的一位重量级人物 Charles Hermite (1822-1901) 发去了一封信， 重复了这一声明。 但是无论在简报还是信件中 Stieltjes 都没有给出证明， 他说自己的证明太复杂， 需要简化。
换作是在今天， 一位年青数学家开出这样一张空头支票是很难引起数学界的反响的。 但是十九世纪的情况却有所不同。 因为当时学术界常有科学家做出成果却不公布 (或只公布一个结果) 的事， Gauss 和 Riemann 都是此道中人。 因此象 Stieltjes 那样声称自己证明了 Riemann 猜想， 却不给出具体证明在当时并不算离奇。 学术界的反应多少有点象现代法庭所奉行的无罪推定原则， 即在出现相反证据之前倾向于相信声明成立。
但是相信归相信， 数学当然是离不开证明的。 因此大家就期待着 Stieltjes 发表具体的证明， 其中期待得最诚心实意的当属 Hermite。 Hermite 自 1882 年起就与 Stieltjes 保持着通信关系， 直至 Stieltjes 十二年后过早去世为止。 在这期间两人共交换了 432 封信件。 Hermite 是当时复变函数论的大家之一， 他与 Stieltjes 的关系堪称数学史上一个比较奇特的现象。 Stieltjes 刚与 Hermite 通信时只是 Leiden 天文台的一名助理， 而且就连这个助理职位还是靠了他父亲 (Stieltjes 的父亲是荷兰著名的工程师兼国会成员) 的关照。 在此之前他在大学曾三度考试失败。 好不容易进了天文台， Stieltjes 却 “身在曹营心在汉”， 干着天文观测的活， 心里惦记的却是数学， 并给 Hermite 写了信。 照说当时一无学位、 二无名声的 Stieltjes 要引起象 Hermite 这样的数学元老的重视并不容易， 但 Hermite 是一位虔诚的天主教徒， 他恰巧对数学怀有一种奇特的信仰， 他相信数学存在是一种超自然的东西， 寻常数学家只是偶尔才有机会了解数学的奥秘。 那么什么样的人能够比 “寻常数学家” 更有机会了解数学的奥秘呢？ Hermite 凭着自己的神秘主义眼光找到了一位， 那就是默默无闻的观星之人 Stieltjes。 Hermite 认为 Stieltjes 具有上帝赐于的窥视数学奥秘的眼光， 他对之充满了信任。 在他与 Stieltjes 的通信中甚至出现了 “你总是对的， 我总是错的” 这样极端的赞许。 在这种神秘信仰与十九世纪数学氛围的共同影响下， Hermite 对 Stieljes 关于 Riemann 猜想的声明深信不疑。
但是无论 Hermite 如何催促， Stieljes 始终没有公布他的完整证明。 一转眼五年过去了， Hermite 对 Stieljes 依然 “痴心不改”， 他决定给对方来点 “利诱”。 在 Hermite 提议下， 法国科学院将 1890 年数学大奖的主题设为 “确定小于给定数值的素数个数”。 在 Hermite 看来， 这个大奖将毫无悬念地落到他的朋友 Stieljes 的腰包里， 因为这个大奖主题实质上就是证明素数定理， 这比 Riemann 猜想弱得多。 可惜直至大奖截止日期终了， Stieljes 依然毫无动静。
但是 Hermite 也没有完全失望， 因为他的学生 Hadamard 提交了一篇论文， 领走了大奖 - 肥水总算没有流入外人田。 Hadamard 论文的主要内容正是我们在 上节 中提到的对 Riemann 论文中连乘积公式的证明。 这一论文虽然离证明素数定理还有一定距离， 却已足可获得大奖。 几年之后， Hadamard 再接再励， 终于一举证明了素数定理。 Hermite 放出去的这根长线虽没能如愿钓到 Stieljes 及 Riemann 猜想， 却错钓上了 Hadamard 及素数定理。 斩获亦是颇为丰厚 (当时素数定理其实比 Riemann 猜想更令数学界期待)。
那么 Stieljes 呢？ 没听过这个名字的读者可能会觉得他是一个浮夸无为的家伙， 事实却不然。 Stieljes 在分析与数论的许多方面都做出过重要的贡献。 他在连分数方面的研究为他赢得了 “连分数分析之父” 的美誉， 以他名字命名的 Stieljes 积分更是声名远播。 但他的那份 Hardy 电报式的有关 Riemann 猜想的声明却终究没能为他赢得永久的悬念。 现在数学家们普遍认为 Stieljes 关于 M(N)=O(N1/2) 的证明是错误的， 不仅如此， 甚至连命题 M(N)=O(N1/2) 本身是否成立也已经受到越来越多的怀疑[注一]。
七. 从零点分布到素数定理
素数定理自 Gauss 与 Legendre 以经验公式的形式提出 (详见 第三节) 以来， 许多数学家对此做过研究。 其中比较重要的结果是由俄国数学家 Pafnuty Chebyshev (1821-1894) 做出的。 1850 年， Chebyshev 证明了对于足够大的 x， 素数分布 π(x) 与素数定理给出的分布 Li(x) 之间的相对误差不超过 11%[注二]。
但在 Riemann 1859 年的工作以前， 数学家们对素数定理的研究主要局限在实数域中。 从这个意义上讲， 即使撇开具体的结果不谈， Riemann 建立在复变函数基础上的工作仅就其方法而言也是对素数研究的一个重大突破。 这一方法上的突破为素数定理的最终证明铺平了道路。
在 第五节 末尾我们曾提到， Riemann 对素数分布的研究之所以没能直接成为素数定理的证明， 是因为人们对 Riemann ζ 函数非平凡零点的分布还知道得太少。 那么为了证明素数定理， 我们起码要知道多少有关非平凡零点分布的信息呢？ 这一点到了 1895 年随着 von Mangoldt 对 Riemann 论文的深入研究而变得明朗起来。 von Mangoldt 的工作我们在 第五节 中已经提到过， 正是他最终证明了 Riemann 关于 J(x) 的公式。 但是 von Mangoldt 工作的价值比仅仅证明 Riemann 关于 J(x) 的公式要深远得多。 在他的研究中使用了一个比 Riemann 的 J(x) 更简单有效的辅助函数 Ψ(x)， 它的定义为：
Ψ(x) = Σn其中 Λ(n) 被称为 von Mangoldt 函数， 它对于 n=pk (p 为素数， k 为自然数) 取值为 ln(p)； 对于其它 n 取值为 0。 运用 Ψ(x)， von Mangoldt 证明了一个本质上与 Riemann 关于 J(x) 的公式等价的公式： Ψ(x) = x - Σρ(xρ/ρ) - (1/2)ln(1-x-2) - ln(2π)
其中有关 ρ 的求和与 Riemann 的 J(x) 中有关 ρ 的求和一样， 也是先将 ρ 与 1-ρ 配对， 再依 Im(ρ) 从小到大的顺序进行。
很明显， von Mangoldt 的 Ψ(x) 表达式比 Riemann 的 J(x) 简单多了。 时至今日， Ψ(x) 在解析数论研究中差不多已完全取代了 Riemann 的 J(x)。 引进 Ψ(x) 的另一个重大好处是早在几年前， 上文提到的 Chebyshev 就已经证明了： 素数定理 π(x) ~ Li(x) 等价于 Ψ(x) ~ x (为了纪念 Chebyshev 的贡献， von Mangoldt 函数也被称为第二 Chebyshev 函数)。
将这一点与 von Mangoldt 的 Ψ(x) 表达式联系在一起， 不难看到素数定理成立的条件是 limx→∞Σρ(xρ-1/ρ)=0。 但是要让 xρ-1 趋于零， Re(ρ) 必须小于 1， 换句话说 Riemann ζ 函数在直线 Re(s)=1 上必须没有非平凡零点。 这就是我们为证明素数定理而必须知道的有关 Riemann ζ 函数非平凡零点分布的信息[注三]。 由于 Riemann ζ 函数的非平凡零点是以 ρ 与 1-ρ 成对的方式出现， 因此这一信息也等价于 0读者们大概还记得， 在 第五节 中我们曾经证明过 Riemann ζ 函数的所有非平凡零点都位于 0≤Re(s)≤1 的区域内。 因此为了证明素数定理， 我们所需知道的有关非平凡零点分布的信息要比我们已知的 (也是当时数学家们已知的) 略多一些 (但仍大大少于 Riemann 猜想所要求的)。 这样， 在经过了 Chebyshev、 Riemann、 Hadamard 和 von Mangoldt 等人的卓越努力之后， 我们离素数定理的证明终于只剩下了最后一小步： 即把已知的零点分布规律中那个小小的等号去掉[注四]。 这一小步虽也绝非轻而易举， 却已难不住在 Riemann 峰上攀登了三十几个年头， 为素数定理完整证明的到来等待了一个世纪的数学家们。 von Mangoldt 的结果发表的第二年 (1896 年)， 上节提到的 Hadamard 与比利时数学家 Charles de la Vallée-Poussin 就几乎同时独立地给出了证明， 从而完成了 Gauss 以来数学界的一个重大心愿。 那时 Stieljes 已经去世两年了。 经过素数定理的证明， 人们对 Riemann ζ 函数非平凡零点分布的了解又推进了一步， 那就是： Riemann ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 0素数定理的证明 - 尤其是以一种与 Riemann 的论文如此密切相关的方式所实现的证明 - 让数学界把更多的注意力放到了 Riemann 猜想上来。 四年后 (1900 年) 的一个夏日， 两百多位最杰出的数学家会聚到了巴黎， 一位 38 岁的德国数学家走上了讲台， 做了一次永载数学史册的伟大演讲。 演讲的题目叫做 “数学问题”， 演讲者的名字叫做 David Hilbert， 他恰好来自 Gauss 与 Riemann 的学术故乡 - 群星璀灿的 Göttingen 大学。 他是 Göttingen 数学精神的伟大继承者， 一位与 Gauss 及 Riemann 齐名的数学巨匠。 Hilbert 在演讲中列出了二十三个对后世产生深远影响的数学问题， Riemann 猜想被列为其中第八个问题的一部分， 从此成为整个数学界瞩目的难题之一。 二十世纪的数学大幕在 Hilbert 的演讲声中徐徐拉开， Riemann 猜想也迎来了一段新的百年征程。
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二零零四年一月二十四日写于纽约
http://www.changhai.org/
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注释
[注一] 这是因为比 M(N)=O(N1/2) 稍强、 被称为 Mertens 猜想的命题： M(N)[注二] 比这更早一些， Chebyshev 还证明了： 如果 limx→∞ {π(x)/[x/ln(x)]} 存在， 它必定等于 1。 Chebyshev 的研究对于 Riemann 的工作及后来人们对素数定理的证明都有影响。 [注三] 不过由于所处理的是无穷级数， 严格的证明并不如我们叙述的那样简单。
[注四] 这也正是我们在 第五节 中提到的 Riemann 在计算 J(x) 过程中对与零点有关的级数进行单项积分时隐含的条件。
