Riemann 猜想漫谈 (九)

- 卢昌海 -

If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis.

- H. Montgomery

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十三. 从纸笔到机器

Riemann-Siegel 公式的发表大大推进了人们对 Riemann ζ 函数非平凡零点的计算。 如我们在前两节所看到的， Riemann-Siegel 公式中的求和项数是由 n2<(t/2π) 确定的， 这表明用 Riemann-Siegel 公式计算一个位于 s=1/2+it 附近的零点所需的计算量为 O(t1/2)。 而在这之前人们所用的 Euler-Maclaurin 公式计算同样的零点所需的计算量约为 O(t)。 这两者的差别 - 也就是 Riemann-Siegel 公式相对于 Euler-Maclaurin 公式的优越之处 - 随着 t 的增大而变得越来越明显。

Riemann-Siegel 公式发表大约四年后， Hardy 的学生、 英国数学家 Edward Titchmarsh (1899-1963) 成功地计算出了 Riemann ζ 函数前 1041 个零点的位置， 它们全都位于 critical line 上。 这是十一年来数学家们首次突破我们在 第八节 提到过的由 Hutchinson 创造的 138 个零点的记录。 Titchmarsh 的工作在 Riemann ζ 函数非平凡零点计算史上的地位是双重的： 从计算方法上讲， 它是数学家们首次用 Riemann-Siegel 公式取代 Euler-Maclaurin 公式进行大规模零点计算； 从计算手段上讲， Titchmarsh 的计算使用了英国海军部用来计算天体运动及潮汐的一台打孔式计算机 (punched-card machine)， 这是数学家们在零点计算上首次用机器计算取代传统的纸笔计算。 这两个转折是数学与技术相辅相成的结果， 它奠定了直到今天为止人们对 Riemann ζ 函数非平凡零点进行计算的基本模式。

Titchmarsh 之后零点的计算因第二次世界大战的爆发中断了十几年。 战后最先将计算推进下去的是著名的英国数学家 Alan Turing (1912-1954)。 Turing 其实早在战前就对 Riemann 猜想产生了兴趣。 与当时许多其他年轻数学家一样， Turing 对 Hilbert 的数学问题很感兴趣， 这其中又尤以第十问题与第八问题 (Riemann 猜想是第八问题的一部分) 最让他着迷 [注一]。 他后来主要的研究都是以这两个问题为主轴展开的。 1936 年 Turing 到 Princeton 大学读研究生， 在那里见到了来访的 Hardy (他原本希望能在 Princeton 见到 Gödel， 可惜后者当时已经去了欧洲)。 那时 Hardy 对 Riemann 猜想的态度已经相当悲观。 这种悲观情绪对 Turing 产生了影响， 他觉得这么多年来所有证明 Riemann 猜想的努力都归于失败， 也许是到了换个角度思考问题的时候了。 人们一直始终无法证明 Riemann 猜想， 也许并非因为它太难， 而是因为它根本就不成立！

一个数学命题， 它的成立需要证明， 不成立同样需要证明。 假如 Riemann 猜想真的不成立， 我们怎样才能证明这一点呢？ 我们当然可以试图从数学上直接证明其不成立， 这是一种方法。 但还有一种办法， 那就是找到一个反例， 即找到一个不在 critical line 上的零点。 这种方法的好处是不在乎多少， 只要一个反例就足够了。 被后世誉为 “计算机与人工智能之父” 的 Turing 显然对后一种方法情有独钟。 当时 Turing 已经提出了后来以他名字命名的 Turing 机的概念。 很自然的， 他希望建造一台机器来计算零点。 但是这一工作起步不久， 英国就卷入了二战， Turing 开始参与英国情报部门破译德军密码的工作， 建造机器的计划被搁置了下来。 战争结束后， Turing 渐渐恢复了建造机器及计算零点的计划。 Turing 虽然是以其对计算机及人工智能领域的卓越贡献著称的， 但他在传统数学领域也有相当深厚的功力， 早在读本科的时候， 他就曾独立证明了概率论中著名的中心极限定理 (可惜比 J. W. Lindeberg 晚了十余年)。 在建造机器的同时， Turing 对计算零点的数学方法也进行了研究， 并做了一些改进。

经过几年的努力， 到了二十世纪五十年代初， Turing 终于完成了他的机器， 并且比创造战前记录的 Titchmarsh 略进一步， 计算出了前 1104 个零点。 不过他试图寻找 Riemann 猜想反例的努力并不成功， 因为所有这些零点全部位于 critical line 上， Riemann 猜想在他计算所及的范围内岿然不动。 在那之后， Turing 的机器坏掉了。 几乎与此同时， 他的个人生活也遭遇了极大的挫折。 他于 1952 年被控犯有当时属于违法的同性恋行为， 受到强制药物治疗及缓刑的处罚。 两年后他被发现因氰化物中毒死于寓所。 多数人相信他是自杀。[注二]

在 Turing 之后， 随着计算机发展的加速， 数学家们对零点的计算也越来越快。 1956 年， D. H. Lehmer 计算了前 25000 个零点； 两年后 N. A. Meller 把这一记录推进到了 35337 个零点； 1966 年， R. S. Lehman 再次刷新记录， 他计算了 250000 (二十五万) 个零点； 三年后这一记录又被 J. B. Rosser 改写为 3500000 (三百五十万) 。。。

Riemann ζ 函数的零点计算步入了快车道！

十四. 最昂贵的葡萄酒

验证了三百五十万个零点虽不足以证明什么， 但对 Riemann 猜想还是有着一定的心理支持作用。 不过许多数学家对这点心理支持作用很不以为然， 其中有一位数学家最为突出， 不仅不以为然， 而且还 “顶风作案”， 跟同事打赌！

这位数学家是德国波恩 Max Planck 数学研究所 (Max Planck Institute for Mathematics) 的 Don Zagier (1951- )。 对 Zagier 来说， 区区三百五十万个零点简直就是 zero evidence， 因为他认为 Riemann ζ 猜想的反例根本就不可能出现在这么前面的零点之中， 因此在他看来当时已完成的所有有关零点的计算其实都还远没有涉及到真正有价值的区域。 那么要计算多少个零点才可能会对 Riemann 猜想具有判定性的价值呢？ Zagier 通过对一些由 Riemann ζ 函数衍生出来的辅助函数的研究， 认为大约要 300000000 (三亿) 个零点。

Zagier 的怀疑论调很快遇到了对手。 二十世纪七十年代初， Max Planck 数学研究所的访客名单中出现了一位铁杆的 Riemann 猜想支持者： Enrico Bombieri (1940- )。 这是一位非同小可的人物， 他在不久之后的 1974 年获得了数学最高奖 - 菲尔兹 (Fields) 奖。 Bombieri 深受哲学家 William of Occam 的科学简单性原则 (俗称 Occam 剃刀) 的影响， 对他来说， 一个不在 critical line 上的零点就象交响乐中的一个失控的音符， 是完全无法令人接受的。

一个怀疑、 一个深信， 怎么办呢？ Zagier 提议打赌。 不过人生苦短， 两人都意识到自己未必有机会能在有生之年见到 Riemann 猜想被证明或证伪。 为了不使赌局太过遥遥无期， 双方决定以 Zagier 认为具有判定性价值的前三亿个零点为限。 如果 Riemann 猜想在前三亿个零点中出现反例， 就算 Zagier 获胜； 反之， 如果 Riemann 猜想被证明， 或者虽然没被证明但在前三亿个零点中没出现反例， 则算 Bombieri 获胜 [注三]。 他们定下的赌注为两瓶波尔多葡萄酒 (Bordeaux)。

Zagier 估计这个赌局要分出胜负也许得花上三十年， 因为当时计算机的运算能力距离能够计算三亿个零点还相差很远， 而且计算 Riemann ζ 函数的零点没什么应用价值， 在 CPU 时间十分昂贵的时代并不是人们热衷的计算课题。 可是没想到仅仅过了几年， 1979 年， 由 Richard Brent 领导的一个澳大利亚研究组就把零点计算推进到了前 81000000 (八千一百万) 个零点。 不久由 Herman te Riele 领导的一个荷兰研究组更是成功地计算出了前两亿个零点。 所有这些零点都毫无例外地落在 Riemann 猜想所预言的 critical line 上。 这一系列神速的进展对 Zagier 的钱包显然是大大的凶兆， 到这时他已经知道自己大大低估了计算机领域的发展速度。 不过 te Riele 在两亿个零点处终止计算还是让 Zagier 松了一口气， 他庆幸道： “毫无疑问他们有能力推进到三亿， 但感谢上帝， 他们没那么做。 现在我总算有几年时间可以喘息了。 他们是不会为了多算 50% 而推进的。 人们会等待能够算到十亿个零点的那一天， 那将是许多年后的事了。”

Zagier 的如意算盘原本打得不错， 计算零点不象百米赛跑， 在百米赛跑中由于比赛记录已经逼近人类所能达到的速度极限， 因此大家不惜为百分之一秒争个你死我活。 计算零点却是一条没有尽头的征程， 计算能力的发展在相当长的时间内也是没有尽头的。 在这种没有尽头的征程上， 仅仅多算百分之几十的零点是不够刺激的， 人们更感兴趣的是数量级上的推进。 这正是 Zagier 认为自己可以喘息几年的心理屏障。 可惜人算不如天算。 Zagier 万万没有想到他的一位好朋友 Hendrik Lenstra 当时正在荷兰， 不仅在荷兰， 而且与 te Riele 同在一个城市 - 阿姆斯特丹！ Lenstra 是知道 Zagier 和 Bombieri 的赌局的。 如今眼看好戏就要开演了， 正自心痒难搔， te Riele 竟然不合时宜地在两亿个零点处停了下来， Lenstra 的那份难受就甭提了 (大家以后可得留神好朋友啊！:-)， 套用一句韦爵爷的话说， 那真是 “生可忍， 熟不可忍”。 于是他给 te Riele 做思想工作： 你知不知道， 如果你算到三亿， Zagier 就会输掉一个赌局！ te Riele 一听原来计算零点还有这么伟大的意义， 那还等什么？ 把 Zagier 干掉啊！ 于是大家一鼓作气把计算推进到了 307000000 (三亿零七百万) 个零点处。 那是在 1982 年。

Zagier 输了。

Zagier 兑现了诺言， 买来两瓶葡萄酒， Bombieri 当场打开其中一瓶与 Zagier 共享。 这一瓶酒， 用 Zagier 的话说， 是世界上被喝掉的最昂贵的葡萄酒。 因为正是为了这两瓶酒， te Riele 特意多计算了一亿个零点。 这花费了整整一千个小时的 CPU 时间， 而 te Riele 所用的计算机的 CPU 时间在当时大约是七百美元一小时。 换句话说， 这两瓶酒是用七十万美元的计算经费换来的， 被他们喝掉的那一瓶价值达三十五万美元！

喝完了那瓶酒， Zagier 从此对 Riemann 猜想深信不疑。 只不过， Bombieri 相信 Riemann 猜想是因为它的美丽， 是因为 Occam 剃刀； 而 Zagier 相信 Riemann 猜想是因为证据， 是因为他觉得证据已经足够强了。

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二零零四年六月十九日写于纽约
http://www.changhai.org/

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注释

[注一] Hilbert 第十问题是： 给定一个具有任意多未知数的 Diophantine 方程， 设计一个过程， 能用有限多次运算确定该方程是否具有有理整数解。 Turing 对计算机及人工智能的研究与此有着密切的关系。

[注二] 我有时觉得 Turing 与 John Nash (影片 “Beautiful Mind” 的主角) 颇有相似之处： 两人都对纯数学有浓厚的兴趣， 研究成果却对应用领域影响深远； 两人都对物理学有一定的兴趣； 两人都有为军方服务的经历； 两人后来的精神世界都偏离了常轨 ... ...

[注三] 严格讲， 他们的条款还忽略了一种可能性， 那就是 Riemann 猜想在数学上被证伪， 但反例并不在前三亿个零点之中 (或虽然在前三亿个零点之中， 但尚未有人进行计算)。 显然， 这个忽略对 Zagier 比较不利， 不过它对赌局后来的发展没有产生影响。