Riemann 猜想漫谈 (十四)

- 卢昌海 -

If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis.

- H. Montgomery

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二十四. Hardy 定理

就在 Bohr 和 Landau 研究零点分布的同时， 另一位为 Riemann 猜想而着迷的数学家 - Hardy - 也没闲着。 1914 年， 即与 Bohr-Landau 定理的提出同年， Hardy 的研究也取得了突破性的结果。 这便是我们在 第一节 中提到的那个 “令欧洲大陆数学界为之震动的成就”。 在 Riemann 猜想的研究中， 这一结果被称为 Hardy 定理[注一]：

Hardy 定理: Riemann ζ 函数有无穷多个非平凡零点位于 critical line 上。

我们知道 (详见 上节)， 无论 Hadamard， Vallée-Poussin， 还是 Bohr， Landau， 在 Hardy 之前人们所做的有关 Riemann 猜想的所有解析研究， 都没能证明哪怕一个零点落在 critical line 上。 那时人们所知的有关 critical line 上的零点的全部结果只有我们在 第八节 中提到的 1903 年 Gram 给出的 15 个零点以及 1914 年 (与 Hardy 定理同年) Backlund 计算的 79 个零点。 全部都是零星计算， 且涉及的零点数少得可怜。 而忽然间， 来自英伦岛上的 Hardy 居然不动声色地一举把 critical line 上的零点数目扩大到了无穷， 不仅远远超过 Backlund 的区区 79 个零点， 也远远超过了后世所能给出的任何具体计算结果。 因为无论用多高明的计算方法， 无论用多强大的计算设备， 也无论用多漫长的计算时间， 任何具体计算所能验证的零点数目都是有限的， 而无论多大的有限数量相对于无限来说都只是一个 “零”。 因此 Hardy 定理虽没有给出 critical line 上任何一个具体的零点数值， 但它通过对这些零点的存在性证明为 Riemann 猜想提供了强有力的支持[注二]， 这种支持从某种意义上讲超越了任何可能的具体计算。这样的一个结果出现在人们对 Riemann ζ 函数非平凡零点还知之甚少的 1914 年， 而且还出现在与欧洲大陆数学界颇为疏离的英国， 不能不令欧洲大陆的数学家们感到震动。

Hardy 定理的证明可以从一个有关 ξ(s) 的积分表达式：

入手。 这里 00 及 T0>0， 使得对所有 T>T0， Riemann ζ 函数在 critical line 上 0≤Im(s)≤T 的区间内的非平凡零点数目不小于 KT。

那么 Hardy-Littlewood 定理距离目标 - Riemann 猜想 - 有多远呢？ 我们可以回忆一下 第五节 中 Riemann 的三个命题中的第一个， 即： 在 00 的情形即可。

[注四] 限于篇幅， 我们略去了证明， 概括的讲， 它主要包括三个步骤： 1. [容易] 消去左端的 -1-1/x 及右端被积函数中的 1/z(z-1) 以简化表达式。 具体做法是用算符 x(d2/dx2)x 作用于 G(x) 的积分表达式的两端。 2. [容易] 证明简化后的左端 H(x)=x(d2/dx2)xG(x) 在 x→i1/2 时具有与 G(x) 一样的行为， 即所有导数都趋于零。 3. [较难] 证明 ξ(1/2+it) 在 t 很大时具有恒定的符号对 2ξ(z)xz-1 的积分产生的贡献足以使得 H(x) 在 x→i1/2 时的高阶导数无法为零。

[注五] 与 Hardy-Littlewood 的合作相比， 发生在华人科学家之间的 李杨之争 不能不让人觉得深深地惋惜与遗憾。

[注六] 在数学界， 以 Hardy-Littlewood 命名的最主要的定理是 Hardy-Littlewood Maximal Theorem， 但这一定理并不经常被简称为 Hardy-Littlewood 定理， 因此 “Hardy-Littlewood 定理” 这一名称可算是半个空缺， 这里我们就用他们在 Riemann 猜想领域内的这一成就来填补这半个空缺。