数学：应用和乐趣 (修订版)
大部分学生不喜欢数学，觉得数学没用，大部分数学老师也讲不出数学有什么用。一般来说，乐趣和有用连在一起，所以，家长和老师都希望找到介绍数学有用的文章。但这类文章，讲数学如何的有用，举的例子很多是二次世界大战期间，数学家如何神武，为盟军胜利立下汗马功劳。二战过去七十多年了，作者怎么举不出新一点的例子呢？类似的文章很多，一谈到数学的好处，就是如何训练思维，如何潜移默化，拐弯抹角讲了半天，一提到应用，要么是很难的数学，象天气预报，要么是很遥远的应用，象黑洞。难道没有简单的数学，能够应用到日常的生活? 有的。
大家在中学都学过对数函数，很多伟大的科学家，象玻尔兹曼，爱因斯坦，申农，用这个简单的函数做出了重大的科学突破。在这里，我们用对数函数定义物品的价值。物品的价值定义为
-logbP
其中 P 为物品的稀缺程度，范围从 0 到 1， 0 为极度稀缺， 1 为无限丰富，b 为这个物品的生产厂家数目。我们来看一下这个函数的性质。
首先，一种物品的价值是稀缺程度的递增函数，物品越丰富，其价值越低，如果这种物品无限丰富，也就是P = 1，其价值为零。比如说，空气对我们非常重要，几分钟不呼吸，我们就活不下去。但由于空气无处不在，其经济价值为零。下图是价值与稀缺程度之间的关系。
很多人把经济价值等同于对社会的贡献。当今粮价很低，很多人认为农民对社会的贡献低。但如果粮食太贵，有人买不起，很快引发社会动乱。所以很多国家的政府采取各种政策，以保证粮食的充足，同时也造成粮价低廉。很多政府为了保护农民利益，大量补贴农民。从这个价值理论，我们可以清楚看到，经济价值不等同于对社会的贡献。
我们再来分析生产厂家的个数对价值的影响。b 越小，物品的价值越高，下图是物品的价值与生产厂家数目的关系。一样物品，生产的厂家越少，价值越高，大家都知道垄断和寡头经营的行业，利润很高。这个分析不仅可以应用到产品上，也可以应用到任何社会系统，世界上影响力大的宗教，象犹太教，基督教，伊斯兰教，大多是一神教，而佛教和大多数早期的宗教，是多神教，一神教对教徒的控制能力比多神教强很多，当一神教碰到多神教的社会，往往会击败对方。很多职业收入高，往往是由于这些职业由唯一的组织代表。比如说，加拿大所有的医生，都属于同一个医学学会，没有任何竞争；加拿大医生的收费，是统一的，也没有任何竞争；病人看病，必须通过唯一的家庭医生，彼此之间没有竞争。这就是为什么加拿大医生的地位，比中国高很多。我们经常说西方经济是自由竞争的市场经济，但其中最重要的部门，象医疗，教育，军工，以及庞大的政府本身，都由工会和垄断机构控制，很少自由竞争。
减少选择，对增加价值有决定性的影响。所以几乎所有经济，政治活动，都以减少竞争，增加垄断权力为目的。我们常说的专利法和知识产权保护就是一个例子，知识产权保护最常用的理论是鼓励创新，但创新最多，给消费者带来最多利益的行业，象信息技术，往往是知识产权最自由的行业，而知识产权保护最严格的行业，象生物医学，往往是纳税人花大钱，消费者受益甚少的行业。最近， 很多人讨论无效疫苗和有毒疫苗的问题。疫苗的采用是由政府决定的，由于政府是最强势的垄断机构，这类事情的产生是必然的。
从上面的讨论，我们看到，一个简简单单的对数公式，可以帮助我们深刻了解这个社会中形形色色的活动。很多原本不喜欢数学的学生，也很开心学到对数函数的各种性质。关于这个公式更多的应用，可参看我的文章：价值的熵理论。
An Entropy Theory of Value: Forthcoming in Structural Change and Economic Dynamics
https://www.researchgate.net/publication/228398386_An_Entropy_Theory_of_Value
