被神化了的数学

前不久在图书馆见到一则轶事，说是美国有一次召集了一批著名经济学家与物理学
家
进行对话，结果双方都对对方的数学水平表示惊讶。物理学家未曾料到经济学家竟知晓
这
么多高深的数学知识；而经济学家则惊诧于物理学家的数学学识竟是如此“贫乏”。
作为一个具有强烈数理倾向的经济学学生，初见此则轶事，蓦然地有一种窃喜，没
想
到作为社会科学的经济学在数学的应用方面竟已超过了一贯以严谨、科学著称的物理学
，
但事后冷静想想却不禁又有些怀疑。众所周知，数学起源于簿记、丈量等实际工作，而
其
发展则是同物理学的发展分不开的，微积分的出现就是出于力学发展的需要。一个数学
概
念要想得到较好的接受，往往需要与一定的物理实体相对应。不可否认，数学也有其自
身
的发展逻辑，并且经常领先于应用的发展，但物理学始终是数学发展最重要的思想来源
。
但为什么会出现上述令物理学家和经济学家都感惊讶的结果呢？这就需要仔细地辨别一
下
数学在上述两门学科中的具体应用情况。
在回答以上问题之前，让我们首先考察一下当前数学的主要组成部分。我认为数学
可
以从学习的顺序上分为初等数学和高等数学两大层次。其中初等数学主要包括一般数系
的
基本知识以及初等代数和几何学，另外还应包括基本的线性代数和概率统计知识。而高
等
数学则可分为分析学和现代数学两大类。其中分析学主要是指微积分以及相应的一些基
础
问题。而现代数学则主要是指抽象代数，即对群、模、环、域等基本代数结构的研究，
以
及点集论、拓扑学和一些前沿专题，如分形、混沌、小波分析等。现代数学可以说是数
学
自身发展逻辑的必然产物，是研究数学的数学，其特点是高度抽象化，较少与具体物理
实
体相对应，其实际应用一般不是显然的，也就是说理论往往领先于应用。
应该说初等数学是其他所有应用的基础，是各个学科都应掌握的基础知识，而物理
学
对数学的更深入应用则主要集中在分析学方面，诸如复变函数、傅立叶积分、泛函分析
等。
而经济学对数学的更深入的应用除了基本的微积分知识外，还包括点集论、拓扑学和凸
规
划等现代数学的知识。但是否因此就可以认为经济学中的数学应用已超过了物理学了呢
？
其实不尽然。诚然，经济学所涉及的数学知识的范围似乎比经典物理学广，但这只是一
个
广度与深度的区别，而从艰深的程度来说，并不能认为现代数学在经济学中的应用已超
过
了分析学在经典物理学中的应用。事实上，现代数学的概念在现代物理学，如量子力学
和
相对论等方面的应用也是相当普遍的。
现代数学的许多概念和分析学是平行发展的，并不存在谁是谁的先修科目问题。现
代
数学的学习从理论上说只需要初等数学的知识和良好的抽象思维能力。他更注重数学修
养
的培养而非实际的应用技能。适当地学习一些现代数学的知识对于进一步学习分析学将
是
受 菲浅的。之所以认为现代数学艰深的原因不外乎两个：一在于他的抽象性，而另一
个
很重要的原因是因其未被纳入常规的教学体系，也就是说人们缺乏系统学习的机会。
中国过去由于意识形态方面的原因，将马克思主义政治经济学（或者说是前苏联的
那
一套政治经济学）绝对真理化了，而对西方经济学采取完全抵制的态度，偶有介绍，也
只
是作为批判的对象。改革开放后，客观上产生了学习西方经济学的需要。而西方经济学
这
几十年的发展，尽管也有一些不同的声音，但总体趋势就是形式化。这必然会对国内的
传
统观念产生严重的冲击。中国过去由于实行文理分科，文科学生的数学素质普遍过低，
而
经济学又一向被划入文科的范畴，以致于在进一步深入学习西方经济学的过程中遇到了
难
以逾越的障碍。
人们在对待一个不熟悉的事物时往往容易采取两种极端的态度。第一种态度就是竭
力
贬低它。中国过去由于传统的政治经济学力量相对强大，权威们（既得利益集团）出于
对
自身地位的担忧，就采取了这种态度。那时的西方经济学被认为是庸俗的经济学，是应
该
批判的对象，而数学作为其分析方法则完全是为了垄断资产阶级的利益服务，被斥为是
掩
盖西方经济学庸俗本质的一种工具。因而不去学习其技术细节。这在很大程度上使我们
对
西方经济学的介绍始终停留在一个肤浅的层面，被其表面的诸多流派所迷惑，阻碍了我
们
对西方经济学本质思想的吸收利用，使大学的经济学系成了一个缺乏自身明确方向的专
业。
随着社会主义市场经济体制的确立，在对待西方经济学的态度方面也有所转变，庸
俗
的提法已很少出现，而对数学则采取了一种折衷的态度，既承认它是一种有用的分析手
段
， 但也反对将其过分抬高，要看到他庸俗的本质。总之数学只是一种需要时可以加以利
用
的 手段而已（不懂得真正去爱，又怎能真正得心应手？）。一般来说，中庸之道总是没
错
的。 但对中国这个在经济学方面长期缺乏严密逻辑传统的国家来说，一定程度的校枉过
正
应该 是必要的，现在在青年学子中间已经产生了强烈的数理化愿望，这在一定程度上也
是
出于 更牢固地确立经济学学科地位的需要。
但文理分科的后果并不是能马上消除的，旧有的教学体系也不是能在一夜之间改变
的。
现在中国经济系的学生多数都缺乏足够的数学训练，而在研究生阶段也不可能系统地开
设
那些必要的数学课程，并且更重要的是，缺乏足够的能够教授数理经济学的教师队伍，
这
就使得学生们显得无所适从。作为研究生，由于数学的限制，往往只能学习一些国外本
科
生所用的中级教材，而一些经典的文献都难以阅读，于是第二种态度产生了，那就是对
数
学的过分崇敬乃至畏惧。数学在经济学中的应用被人为地夸大了。
正如前面所分析的，数学在经济学的应用并不如通常所以为的那样艰深。事实上，
即
使在《美国经济评论》这样的刊物中，90%以上的文章也只是用到一些简单的数学模型。

在经济学中应用最广泛的数学知识就是微积分中的极值原理，即通常所说的一阶和二阶
条
件，这对每个经过大学训练的人都应是不成问题的，只是由于经济系的学生平时使用数
学
的机会较少，因此看到满眼的积分微分符号，就会有一种本能的“畏惧”，事实上，只
要硬
着头皮耐心去读，一般都是能读懂的。真正令经济系学生感到头痛的是那些以前所未曾
接
触过的概念：如消费者行为中的非线性规划、一般均衡与博弈论中的不动点定理，分离
超
平面以及宏观经济学中经常会用到的随机过程、变分法等。这些概念从纯数学的角度来
说
其理论基础或是证明过程都是非常高深的，但对于应用目的来说，其逻辑一般都并不复
杂
。 就拿在描述经济学的数理化程度时经常被提及的不动点定理来说，排除数学证明上所
要
求 的严格性，其逻辑是很容易理解的：一个经济系统可以看成是一个函数，它以上一阶
段
的 运行结果作为本阶段的输入并将本阶段的输出作为下一阶段的输入，那么所谓的一般
均
衡 状态也就是输入等于输出，从而整个系统的运行状态保持不变的状态，而这很自然地
对
应 了数学中的不动点定理，即在有界凸集上定义的映射到自身的连续函数f(X)中存在不
动
点， 使得X=f(X)。因此，只要适当地开设一些分析基础的课程，或者自己静下心来学习
一
、两 个月，很多概念都是能够澄清的，从而为今后的进一步学习打下良好的基础。
当然，不可否认，在经济学中也确实存在一些难以在短期内掌握的概念，但这些一
般
都不是主流，根据经济学的基本定理，他们是边际收益递减的，并不会影响大多数内容
的
学习，况且，在需要时花上一定精力去掌握它们对于高层次的学习也应是必要的。另外
，
学习数学其价值决不仅在于实际应用，他更大的价值在于对逻辑思维和分析能力的培养
。
因此，学习数学应该抛开实用主义的利益导向，而将它作为基础素质的训练来学习。
其实真正危险的倾向在于为了掩盖自身的不足或是抬高自己的身价而有意无意地过
分
夸大经济学中数学的高深程度。遗憾的是，这种情况已经发生，数学已成为一种装饰，
一
个炫耀的资本。
数学可以成为一个进入壁垒以抬高经济学学科的地位，保护已在圈中的既得利益者
。
数学基础差的人可以通过夸大数学的难度来为自己开脱并赢取他人的谅解，有时甚至还
能
产生自豪感。而数学基础好的人则一方面可以将其作为炫耀的资本，另一方面必要时也
可
成为自己对经济的本质问题缺乏理解的挡箭牌——我就是在搞纯理论研究，我就是在玩
数
学。
总之，数学不应被神化。要想使数学这把利器真正为我所用，就应首先将它请下神
坛。