物理学和数学从来都是紧密联系在一起的，尽管殊途然而同归。
在刚刚过去的二十世纪里，物理学和数学都经历了前所未有的革命,而
两者的密切合作更是奏响了人类文明史上的动人篇章.作为上个世纪物
理学发展的基础理论,广义相对论和量子力学都使用了大量的数学工具，
包括Riemann几何，微分方程，线性代数和群论，随后出现的量子场论
则逐渐把拓扑学和大范围微分几何纳入其中，同时把群论尤其是Lie群
和Lie代数运用的更加娴熟。此时，数学家的宝库仍然是丰富多彩的，
物理学可以随意使用,不感到匮乏。但是到了七十年代，一批前卫的粒
子物理学家在尝试将内部与外部对称性结合起来的研究中,发现当时的
数学工具已经无能为力，于是他们撇开数学家,独立发展了超对称的数
学基础。在这段时期，物理学对于数学的影响一直是间接的，比如，
Einstein使用了Riemann几何以描述他的物理思想，这促使数学家恢复
了对其的兴趣并将其大大发展,甚至有的问题在物理学家加以研究之前，
数学家根本无法了解它们的重要性和解决的可能性,但是数学家毕竟很
少从物理学家那里找到现成的结论可供使用.但在二十世纪的最后二十
年,情况发生了意想不到的改变，物理学中超对称理论的建立为数学家
研究Clifford代数提供了丰富的资源,物理学中某一类精确可解模型的
研究直接导致了Hopf代数的诞生,而二十年来超弦的发展即使在物理学
上是毫无意义的，也会在数学史上留下深深的痕迹。1990年,理论物理
学家Witten获得了数学界的最高奖---Fields奖，这或许可以作为物理
学对数学所产生的巨大影响的最好诠释。
一）量子理论和纽结的拓扑
物理学和几何学之间相互激发的历史已经相当长了，在Euclid时代，几
何被用来刻画物理空间，这一空间后来成为Newton力学中的参考系。
Maxwell理论和Einstein理论的出现大大加深了人们对几何学的认识，
这引发了二十世纪微分几何在多方面的发展。几何学研究对象是可以测
量的量，比如距离，角度，曲率等，它在本质上是一门定量的学科。与
此相反，拓扑学是一门定性的学科，它研究可测量量被去掉以后的几何
性质。举例来说，假如桌子上有一根细线，几何学研究的是这条线的长
度和精确形状，拓扑学研究的是它绕桌面上一个点转过的圈数，而这一
圈数必为一整数，并且与线的长度和精确形状无关。
纽结和环结是拓扑学家非常关心的一个概念，对纽结和环结的研究也是
一个很典型的拓扑学的工作领域。1928年，Alexander 发现可以利用具
有整数系数的多项式为纽结或环结定义一个不变量，不同的多项式对应
于不同的纽结或环结。这个工作的重要意义在于能够在一定程度上对所
有纽结或环结进行分类，它的缺点是无法区分开纽结或环结和它的镜像。
大约60年以后，也就是在1987年，Jones 找到了一个新的多项式表示纽
结和环结不变量，它比Alexander 多项式的优越之处在于能够区分纽结
或环结和它的镜像。到这时候，关于纽结和环结的讨论仍然仅局限于数
学的范围内，然而令人吃惊的是，在两年之后，物理学家Witten赋予了
Jones 多项式一个非常优美的量子理论解释，这就把纯粹的数学研究与
粒子物理的最前沿成果紧密地结合在一起了。在由两维物理空间和一维
时间构成的三维时空中，Witten选择了一个恰当的量子场论模型，发现
Jones多项式就是Chern--Simons理论中Wilson圈算子的真空期望值，它
们的拓扑不变性由理论满足广义协变性得到保证。
现在，我们已经有了很多量子理论与拓扑学结合研究的例子，为了描述
这些不寻常的现象，近十五年来物理学家和数学家发展了一个新的研究
领域--拓扑量子场论。Witten获得Fields奖也主要是因为上述工作.
二)四维流形研究的新进展
对于大于和等于五维的流形，人们很早就有了很好的处理可微流形的理
论，而一维和二维流形因其可以嵌入三维流形中计算而实际上非常容易
描述。真正构成困难的是三维流形和四维流形，其中三维流形可用上节
提到的Jones方法以及由Thurston 独立发展的方法进行研究，虽然这些
方法不是完备的，但是已经比较成功。与其他维数的流形不同，四维流
形是解析结构最为丰富（理论上有无穷多种）的流形，它有一个其他维
数流形所不具有的奇异空间，即与四维Euclid空间拓扑等价但微分结构
不同的奇异四维空间。因此，对于数学家来说，即使我们生活的真实时
空不是四维，对四维流形的研究也是最为激动人心的，而它恰好具有物
理时空维数这一事实则简直让物理学家兴奋的发狂。
1982年，牛津大学的研究生Donaldson指出，可以用自对偶的nonablien
Yang-Mills方程来研究四维流形的拓扑不变量，此后的大多数关于四维
平滑流形的成果都来自于对自对偶Yang-Mills理论的研究，而Donaldson
不变量也成为研究四维流形结构的基础。然而，Donaldson不变量的计算
过程极为复杂繁琐，很多学术论文动辄就达几百页。1989年，Witten曾
经指出，对Donaldson不变量的计算，等价于计算四维空间里N=2超对称
规范理论中的关联函数。但是在当时，这项工作的用处不大，因为虽然
在紫外即高能量区域，由于渐进自由行为，可以很方便的进行计算，但
是在红外即低能量区域，由于耦合过于强烈，对规范理论的研究是完全
不清楚的。
事情的转机出现在1994到1995年，Seiberg和Witten 的一系列工作掀起
了一场世纪末的理论物理学和数学革命，在长达一年半的时间里，人们
几乎每个星期都能看见新的进展，以前困扰人们多时的问题一个又一个
的得到解决。Seiberg和Witten发展了一套解析技术以处理超对称Yang-
Mills 理论，在四维量子场论中，利用这些技术，物理学家首次得到了
许多一般的精确解，其中最引人瞩目的是利用磁单极凝聚机制定量描述
夸克禁闭。Seiberg和Witten 理论的核心思想是自然界广泛存在对偶现
象（电－磁对偶，粒子－孤子对偶，强耦合－弱耦合对偶等），利用对
偶性质，能够很好地求解非阿贝尔规范理论中的强耦合区域即红外区域。
由于上面所提到的规范理论和Donaldson不变量之间的关系，Seiberg和
Witten的工作除了为物理学带来新的曙光，也在拓扑学中引发了一场彻
底的革命。在他们理论的框架内，Donaldson 不变量的计算化为数出磁
单极方程经典解个数的问题，从而成千倍的简化了对四维平滑流形的研
究。
为了摆脱物理学对数学的影响，十九世纪的数学家曾立誓要创造出真正
纯粹的数学。群论建立之初就被数学家寄以厚望，他们认为终于发展了
一个永远也不会被用于物理学的数学理论。他们又一次失望了，实际上
Lie 群已经成为研究基本粒子物理的基础数学工具，而分立群则是固体
物理和化学物理工作者的通用语言。但是，至少数学家已经不像他们的
前辈那样必须从物理学中发掘数学问题，他们在研究数学时已不必理会
物理学家在做些什么，至于他们的成果屡屡被物理学家拿去使用，那只
能说明他们发展的数学理论不但优美而且有不斐的实用价值。因此，当
陈省身发现以他名字命名的数学名词频频出现在理论物理学家的文章中
时，当Atiyah和Singer发现他们的指标定理被理论物理学家用来研究粒
子物理时，他们的心情肯定是非常自豪的。但是，Atiyah却惊奇地发现，
他的学生Donaldson 必须要从物理学家那里借用方法来研究拓扑和几何
学，而陈省身的学生丘成桐则毫不犹豫地投身于广义相对论和超弦理论
的研究之中。数学和物理学在单飞近二百年以后，在二十世纪的最后二
十年里，终于又走到了一起，《三国演义》中倾情演绎的天下大势，竟
然毫无二致地在数理科学的身上重现。
数学讲究严密和逻辑，物理学依赖事实和猜想，数学家每走一步都要有
确凿的理由，而物理学家则常常凭直觉一步到达事物的核心，然后再转
回来寻找理论根据。数学家的缺点在于过于相信推理以至很难在观念上
实现大的飞跃，正如丘成桐所说，“。。。在这个年代，我们（数学家）
要搞清楚物理学家在量子场论方面的直观是怎样训练出来的，因为我们
本身没有这方面的观念”，“二十一世纪至少前几十年在无穷维空间上
的几何，要不停地受到量子场论的影响，因为我们很容易定义什么叫做
无穷维空间上的几何，可是往往没有办法得出任何有意义的结论。这是
因为我们没有办法把物理上的观念搞清楚，而无穷维几何通常不是直观
可以得到的，所以往往需接受物理或其他自然科学供给的观念来使我们
向前走。。。”
而人的想象力也不可能无限丰富，因此，物理学家除了猜想还需要借助
强大的数学工具。现在，物理学家是除数学家外学习数学最多的人，有
着良好数学修养的物理学家更能够清晰而有效的表达自己的思想。正如
Salam所说，“最近几年中我们看到拓扑学、同伦、上同调论和Calabi-
Yau 空间、Riemann面、模空间---真正的、活生生的数学正在渗透到物
理中来，我们了解更多真正的数学，就可以具有更深的洞察力”。
