数学家因其品禀各异，大致可分为下列三种：

(一)创造理论的数学家。这些数学家工作的模式，又可粗分为七类。

●从芸芸现象中窥见共性。从而提炼出一套理论，能系统地解释很多类似的问题。一个明

显的例子便是上世纪末Lie在观察到数学和物理中出现大量的对称后，便创造出有关微分

方程的连续变换群论。李群已成为现代数学的基本概念。

●把现存理论推广或移植到其它结构上。例如将微积分由有限维空间推广到无限维空间，

将微积分用到曲面而得到连络理论等便是。当Ricci,Christofel等几何学家在曲面上研究

与座标的选取无关的连络理论时，他们很难想像到它在数十年后的Yang-Mills场论中的重

要性。

●用比较方法寻求不同学科的共同处而发展新的成果。例如：Weil比较整数方程和代数几

何而发展算数几何：三十年前Langlands结合群表示论和自守形式而提出“Langlands纲领

”，将可以交换的领域理论推广到不可交换的领域去。

●为解释新的数学现象而发展理论。例如：Gauss发现了曲面的曲率是内蕴（即仅与其第

一基本形式有关）之后，Riemann便由此创造了以他为名的几何学，成就了近百年来的几

何的发展；H.Whitney发现了在纤维丛上示性类的不变性后，Pontryagin和陈省身便将之

推广到更一般的情况，陈示性类在今日已成为拓扑和代数几何中最基本的不变量。

●为解决重要问题而发展理论。例如J.Nash为解决一般黎曼流形等距嵌入欧氏空间而发展

的隐函数定理，日后自成学科，在微分方程中用处很大。而S.Smale用h-协边理论解决了

五维或以上的Poincare猜想后，此理论成为微分拓扑的最重要工具。

●新的定理证明后，需要建立更深入的理论。如Atiyah-Singer指标定理，Donaldson理论

等提出后，都有许多不同的证明。这些证明又引起重要的工作。

●在研究对象上赋予新的结构。Kahler在研究复流形时引入了后来以他为名的尺度；近年

Thurston在研究三维流形时，也引进了“几何化”的概念。一般而言，引进新的结构使广

泛的概念得到有意义的研究方向。有时结构之上还要再加限制，如Kahler流形上我们要集

中精神考虑Kahler-Einstein尺度，这样研究才富有成果。

（二）从现象中找寻规律的数学家。这些数学家或从事数据实验，或在自然和社会现象中

发掘值得研究的问题，凭着经验把其中精要抽出来，作有意义的猜测。如Gauss检视过大

量质数后，提出了质数在整数中分布的定律；Pascal和Fermat关于赌博中赔率的书信，为

现代概率论奠下基石。五十年代期货市场刚刚兴起，Black和Scholes便提出了期权定价的

方程，随即广泛地应用于交易上。Scholes亦因此而于去年获得诺贝尔的经济学奖。这类

的例子还有很多，不胜枚举。

话说回来，要作有意义的猜测并非易事，必须对面对的现象有充分的了解。以红楼梦

为例，只要看了前面六七十回，就可以凭想像猜测后面大致如何。但如果我们对其中的诗

词不大了解，则不能明白它的真义。也无从得到有意义的猜测。

（三）解决难题的数学家。所有数学理论必须能导致某些重要问题的解决，否则这理论便

是空虚无价值的。理论的重要性必与其能解决问题的重要性成正比。一个数学难题的重要

性在于由它引出的理论是否丰富。单是一个漂亮的证明并不是数学的真谛，比如四色问题

是著名的难题，但它被解决后我们得益不多，反观一些难题则如中流砥柱，你必须将它击

破，然后才能登堂入室。比如一日不能解决Poincare猜测，一日就不能说我们了解三维空

间！我当年解决Calabi猜测，所遇到的情况也类似。