不过现在，我们可以利用这种‘自相似性’，重新定义几何图形的‘维数’。

仍然利用上面的图，用自相似性来定义的‘维数’可以如此简单而直观地理解：首先将图形按照（N: 1）的比例缩小，然后，如果原来的图形 可以由（M）个缩小之后的图形拼成的话，这个图形的‘维数’d，就等于 ln(M)/ln(N)。不难看出，将上述方法用来分析直线、平面、空间，分别得到d = 1、2、3（上图中的a、b、c）。

上图中的（d），是一种很简单的分形，叫做科和曲线，也是一种自相似图形，它的迭代生成过程如下图所示。

 图四

可以用同样的方法分析如图（d）及上图所示的科和曲线：首先，将科和曲线的尺寸缩小至三分之一；然后，用四个这样的‘小科和曲线’，便能构成与原来一模一样的科和曲线。因此，我们得到科和曲线的维数d = ln(4)/ln(3) = 1.2618..。这就说明了，科和曲线的维数不是一个整数，而是一个小数，或分数。

 下面，我们再回头研究分形龙的维数（图二）。将图中的分形龙曲线，尺寸缩小为原来的一半之后，得到右上图的小分形龙曲线。然后，将四个小分形龙曲线，分别旋转方向，成为如右下图的位置。最后，再按照右下图中箭头所指的方向，移动四个小分形龙曲线，便拼成了左下图的、与原来曲线一样的分形龙曲线。因此，如此可以证明，分形龙曲线的维数为2，因为（d = ln(4)/ln(2) = 2）。

有趣的是，分形龙图形的边界也是一个可以用迭代法产生的分形：

 图五

由图六可知，整个分形龙曲线的边界是由四段相似的图形组成的。这种分形的维数估算方法比较复杂一些，它的“分形维数“(d)可以通过解如下方程求得:

 图六

 通过分形龙，我们认识了分形，理解了分数维。分形几何是理解混沌概念及非线性动力学的基础，在现代科学技术中，有着广泛的应用。

下面的连接可以让你亲身体会分形龙图形的趣味和美妙：

 http://www.tianfangyetan.net/cd/java/fractals.html