孪生素数猜想，张益唐究竟做了一个什么研究？

by 王若度

l链接：http://www.guokr.com/article/437023/

最近，《自然》杂志的网站上刊登了一篇文章，在华人数学爱好者和学者之间产生了轰动。该文章的标题是《第一个无穷组素数成对出现的证明》。

“孪生素数猜想”是什么？

这篇文章为何会引起轰动呢？这要从“孪生素数猜想”说起。众所周知，素数是只含有两个因子的自然数（即只能被自身和1整除）。而“孪生素数”是指两个相差为2的素数，例如3和5，17和19等。孪生素数猜想是说，存在无穷对孪生素数。

孪生素数的问题已经有约200年的历史。在1900年的国际数学家大会上，希尔伯特将孪生素数猜想列入了他那著名的23个数学问题。想了解这个问题的奇妙之处，需要大概了解素数的分布规律。2000多年前，古希腊数学家欧几里德最先证明了素数在自然数中有无穷多个。这个证明是数学爱好者都很熟悉的，英国数学家哈代在他的《一个数学家的辨白》中也对这个证明津津乐道（如果有人没有读过的，推荐一读）。

随着数学慢慢发展，人们渐渐意识到素数在自然数的分布具有一定的规律。随着数量级的增大，素数的密度越来越小。例如，100以内有25个素数（25%），而100万以内的素数只有7.85%。尽管素数的分布越来越稀疏，但其稀疏程度却是可以度量的。例如，人们发现素数的倒数和为无穷，这就意味着素数的分布比完全平方数要稠密。在法国数学家勒让德和德国数学家高斯等人的推动下，人们开始猜测素数的分布律接近x/ln(x)，即前x个整数中大约有x/ln(x)个素数。这一结果于1896年被两位数学家各自证明，此时距离勒让德的猜想提出已经有98年。

素数的分布律说明，素数在自然数中越来越稀疏，同时素数之间的距离——平均而言——会越来越远。因此，孪生素数猜想也就显得很越发奇妙——如果素数之间的距离真的越来越远，那么出现无穷对距离为2的素数就不是那么显然的事了。这似乎说明素数的分布是相当“随机”的，而不是近似均匀的扩散。可能学概率论的读者会注意到，这一结论与概率论中“随时间推移，一维标准布朗运动的位置平均而言离0点越来越远，但却以概率1无穷次折回0点”有着异曲同工之妙。的确，素数的分布律与随机过程非常相似。然而，更为奇妙的是，素数的位置是完全是确定的，其本质上毫无随机性。

张益唐做了什么工作？

终于可以讲到今天的新闻了。新罕布什尔大学（University of New Hampshire，UNH）任教的张益唐近日声称，其证明了存在无穷多对素数，其差小于7000万。尽管7000万是个很大的数字，但如果结果成立，就是第一次有人正式证明存在无穷多组间距小于定值的素数对。想想我们之前讲的，就会发现，既然素数之间的平均距离越来越远，那么存在无穷多组间距小于定值的素数对，与存在无穷多组间距为2的素数对（孪生素数猜想）是一样神奇的结论。值得一提，如果存在无穷多组间距小于定值的素数，那么，通过取子序列的办法，我们可以得知至少存在一个数字C（小于7000万），使得无穷多组素数之间的间距恰巧为C。无怪乎，美国数学家多利安·戈德菲尔（ Dorian Goldfeld）评论说，从7000万到2的距离（指猜想中尚未完成的工作）相比于从无穷到7000万的距离（指张益唐的工作）来说是微不足道的。

如果张益唐的结果为正确的，那无疑是世界数学界的一大进展，其结果影响力甚至可能超过陈景润在哥德巴赫猜想方面所做的工作。

根据我一位朋友介绍，张益唐就读于北大数学78级，是当时最优秀的几个学生之一，因此也算上是我的师兄。网上关于张益唐的信息很少，只能查到他在UNH担任讲师（Lecturer）。这里，稍微讲解一下美国的学术体系。美国学术界的核心是终身教职系统（Tenure-Track），分为助理教授（Assistant Professor）, 副教授（Associate Professor）和教授（Professor）三个级别。这些教授职位就是传统意义的学者，既进行教学活动，也进行科研（如果是研究型大学的话，是科研为主）。一旦获得终身教职（通常是在升到副教授时，少部分学校是到正教授时，也有部分是助理教授期间），这些教授就可以做任何自己想做的科研，即使没有经费，科研没有进展，甚至不再科研，学校无正当理由（如渎职、犯罪等）也不能开除他们。因此，终身教职是学术界的核心精神，绝大多数数学家（除了在研究所工作的外）都会进入终身教职系统。

而讲师就差多了，是临时教学职位，收入比起同资历教授（包括助理教授）差很多，教学任务也远远比教授们重。科研上来说，则是完全得不到任何支持。例如我所在的学校，讲师往往由不具有博士学位的教师来担任，教学任务是普通终身教职系统内教员的2-3倍。注意，美国的讲师和英国的讲师是不同的，后者是等价于终身教职系统内职位的。无论如何，张益唐的职位都不是一个数学家理想的职位，可以说他是在讲师的位置上蛰伏了多年。引用香港浸会大学汤老师的说法，“（张益唐老师）从没有正式工作，（人们）以为（他）离开数学界了”。数十年磨一剑，终于发表了惊人的成果。

现代数学的新结果的验证往往需要很长的时间。因为所使用的新技巧，所涉及的专业知识往往都过于高深，以至于全世界只有一两位专家可以看懂。而证明又可能很长，有时竟长达上千页，很多数学家要慢慢挤出时间来看他人的证明。即使发表在顶级数学杂志的结果，也可能时候发现有错。因此，包括我本人在内，许多人也在怀疑张益唐的结果是否正确。在这里，我只简单地将事实列出，留给数学界来评判。

对张益唐的结果不利的事实有：

1. 张益唐来自一所并非以数学闻名的大学，而且是临时职位，且多年以来并无突出建树。在数学界，由无名之辈解决世界难题虽然并非绝无发生，但现代以来已经几乎绝迹。
2. 据张益唐在哈佛的报告的反响来看，他使用的数学技巧不具备革新性，是较为经典的数学技巧。新的突破由经典技巧完成在数学史上是非常罕见的。（这也是为什么只学习了初等数学的民间数学家们往往无法解决数学难题）。
3. 所得出结论过于具有突破性，其他数学家似乎都没有办法做到。
    

对张益唐的结果有利的事实有：

1. 他将文章投到《数学年刊》（Annals of Mathematics），从新闻来看，已准备接收。审稿人的评价非常积极，认为其证明是对的，并且是一流的数学工作。Annals是世界上最权威的数学杂志，即使考虑平行地位，也远远大于《自然》（Nature）、《科学》（Science）这些杂志。在Annals上发表数学文章极难，往往都是顶尖数学家才能做到。北京大学的教授发表一篇Annals，都要在数学学院的网站上写个新闻报道一番，可见其难度。考虑到张益唐并不是成名的数学家，审稿人想必是在非常详细的审阅之后才得出的结论。
2. 新闻提到，其他看过论文和听过报告的专家，没有人找到明显的错误（尽管有些人仍然存有怀疑），并且认为其证明思路可以看懂。
3. 北大校友传言张益唐在北大读书期间非常突出，而77、78级由于之前的文革影响，最顶尖人才都汇聚在一起，因此如果张老师读书期间非常突出，那么至少说明他的数学潜力是没有问题的（远非所谓民间科学家所能比）。
4. 根据华人数学家陶哲轩的博客，尽管由于他本人没有看到文章，仍无法下断言，但他对该结果的评价比较正面，并且他推测张益唐的工作是在其他几位科学家的基础上进行的合理推广。
5. 根据另一名华人数学家转述，张益唐之前虽然没发表过几篇文章，但其有一篇关于黎曼猜想的文章发表在另一数学界高端杂志《Duke数学杂志》上，并得到审稿人很高的评价。这说明，张益唐是具有研究前沿数学问题的知识储备的。
6. 此外，这里有一个关于张老师前几天在哈佛所做之报告的技术总结，将其基本思路整理了一下，有兴趣的朋友可以自行阅读（英文版）：Bounded Gaps Between Primes

2013年5月24日更新：

我收到UNH的一名教授的来信，希望我澄清一下，“张老师在UNH十四年来每年从来没有上过四门以上的课，他得到了我们的尊重，能安心做科研。”

王若度 是加拿大滑铁卢大学统计与精算学系助理教授