| 我的黎曼问题情结 |
| 送交者: Zhang Tong 2004年08月19日17:18:25 于 [教育学术] 发送悄悄话 |
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黎曼问题 中国初值 ２０世纪６０年代初，原子弹及三峡大坝工程的研究部门分别向中科院数学所提出了有关冲击波及涌波的问题。这些问题都可以归结为非线性双曲型守恒律的间断解研究。按照研究室主任吴新谋的安排，我和郭於法等四人组成一个小组，自行研读文献，各自选题从事有关基础理论研究。在调研中，我被１．Ｍ．Ｇｅｌｆａｎｄ的文章《拟线性方程理论的若干问题》中有关黎曼问题的论述所深深吸引。 描写气体运动的基本方程是欧拉方程，它由质量、动量和能量三个守恒律组成，它的最大特点和困难在于解中会出现间断现象，冲击波就是一种压缩性的间断。１８５８年，黎曼紧紧抓住了间断现象这一特点，提出并解决了欧拉方程一种最简单的间断初值问题即初值为含有一个任意间断的阶梯函数，被后人称为黎曼问题。黎曼构造出了它的四类解，它们分别由前、后向疏散波和前、后向冲击波组装而成。并利用相平面分析方法给出了此四类解的判别条件。黎曼的这一工作开创了“微分方程广义解”概念及“相平面分析”方法之先河，具有极大的超前性。黎曼以其敏锐的洞察力和巨大的创造力为非线性双曲型守恒律的数学理论奠定了第一块基石。 １９６２年，我被这一工作的简洁、优美和深刻所深深打动，毅然将黎曼问题选定为自己的研究方向，希望把黎曼的工作推广到更一般的方程甚至高维的情形。在几乎不被周围人们理解和接受的情况下，我兴致盎然地走上了一条充满挑战的探索之路。 几个月后，我对Ｇｅｌｆａｎｄ文中提出的未解决的问题悟出了一个富有几何直观的想法：用构造凸包的方法将欧拉方程中的凸函数推广至非凸函数，从而将黎曼的结果推广至非凸方程的领域，并澄清了有关的熵条件。 与此同时，吴新谋指导的毕业论文小组曾试图将黎曼的结果推广至初值含有两个间断的情形，其实质是研究两个黎曼解中所含的四道基本波的相互作用。我和郭於法用相平面分析方法找出了前向疏散、后向压缩的一般初值，并证明了整体解的存在性，以及初值所具有的前向疏散、后向压缩性质对时间的不变性。这是欧拉方程整体间断解存在性证明的第一个结果，１９６５年在《数学学报》上发表。 二维问题 中国学派 １９８４年我开始考虑二维问题，和学生陈贵强合作完成了两篇论文，一篇澄清了二维非线性双曲型守恒律的一些基本概念，另一篇给出了二维冲击波反射问题中出现正规反射的充要条件。 欧拉方程的二维黎曼问题是一个著名难题，在２０世纪８０年代甚至它的提法都有待澄清。１９８５年，我和学生郑玉玺研究了最简二维模型单个守恒律的黎曼问题。 １９８６年９月，根据中科院与美国国家基金会的有关协定，由美方提名，我赴马里兰大学访问半年。期间访问Ｂｅｒｋｅｌｅｙ时，与郑玉玺一起对解决上述问题提出了自己的分析和猜想。 总而言之，一维黎曼问题澄清了守恒律的基本波，而二维黎曼问题则揭示出这些基本波在跨音速流动中相互作用所形成的各种基本流场结构。 此套猜想于１９８７年５月在Ｂｅｒｋｅｌｅｙ举行的有关会义上宣布后引起强烈反响。会议主持人，美国国家科学院Ｊ．Ｇｌｉｍｍ院士在次年发表的综述性文章中称：“一套完整的猜想已经形成。”１９９０年“猜想”以３８页的篇幅在美国发表。后续性的工作有以下三方面： Ａ．完善分类：根据旋度的符号将滑移面分顺、逆时针两类，将分类最终完善为１９类。其中主要的６类都包含在原来的分类中。 Ｂ．数值实验：分别用三种完全不同的计算格式对猜想做数值实验，计算结果完全相同，与猜想基本相符。 Ｃ．严格证明：严格证明极其困难。从１９８６年起，我先后带领的九个学生从简化模型入手，逐步向Ｅｕｌｅｒ方程副近，主要进展如下： Ｃ１．最简模型（单个守恒律）已完全解决。除前述与郑玉玺合作的工作外，我与学生张朋在进一步考查初值为三片常数的情形时，发展了广义特征方法，得到了冲击波相互作用时出现类马赫反射的充分必要条件。 Ｃ２．根据力学的启示，李荫藩和曹亦明１９８５年在研究计算方法中曾将欧拉方程拆分为等压流方程（反映惯性效应）和压差流方程（反映压差效应）。 Ｃ３．欧拉方程：２０世纪五六十年代苏美学者曾考虑过静止气体向真空的膨胀，但问题远未解决。１９９９年，我的前学生李杰权经过数年的探索，十分巧妙地找到了一组黎曼不变量，将非线性双曲型方程组变换成线性退化双曲型方程组，从而圆满解决了该问题，终于跨出了严格证明“猜想”的第一步，这是高维欧拉方程非轴对称解大范围存在性的第一个证明。 还可以提及的是，１９９７—１９９８年，我和郑玉玺曾将四片常状态的初值推广为无穷多片常状态，而考虑欧拉方程的轴对称解，将问题归结为一个三维动力体系的奇点连接问题。不同于有关经典理论，此时轨道可通过间断（冲击波）来过渡。我们经过精细分析将问题完全解决，共构造出五类解，其中包含了旋涡、真空、冲击波、疏散波及常状态的不同组合，并找到了一个旋涡的解析解。 三件幸事 选题当先 回顾４０多年的工作历程，我有幸事三件： 一、来到了数学所这块宝地，选了一个好题目； 二、在兴趣的驱动下，经过４０年的长期探索，找出了一条解决此难题的道路； 三、遇上了很多很多的学生和合作者，使我的征途充满了友谊、快乐和活力。 但愿今后有青年人把我们找到的这条路走到底。这条路很崎岖，但沿途的风景很美妙。更盼望青年人找到其他的道路和有效的方法，对解决高维黎曼问题做出更大的贡献。 |
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