神奇的代數

　　世界是連續的，還是離散的？一根鋼棒，一束光線，看起來都是連續不斷的。但古希臘的德漠克利特就認為，萬物都是離散的，由極小的原子組成，甚至包括靈魂一現在我們確實已知道，“月魂日魄”的光是由一個個的“光子”組成的，就連時間和空間似乎也是量子化（離散）的。代數（學）就是專門研究離散對象的數學，它是現代數學的三大支柱之一（另兩個為分析與幾何）。代數從19世紀以來有驚人的發展，帶動了整個數學的現代化。隨着信息時代的到來，計算機，信息都是數字（離散化）的，甚至電視機．攝像機、照相機都在數字化。知識經濟有人也稱為數字經濟。這一切的背後的科學基礎，就是數學，尤其是專門研究離散對象的代數。現在的代數已經是外延極廣的綜合科學，不是指中學的代數，那只是代數的萌芽。代數發端於“用符號代替數”，後來發展到以符號代替各種事物，乃至於概念，作用，映射。代數的基礎研究各種代數系統，即定義了運算的抽象集合。主要的代數系統有：群、環、域、模、格、各種空間等。

　　“群”是最基本的系統，就是有一個運算（及其逆運算）的集合。例如，整數集對加法（及減法）是一個群。再如，對1、2、3這三個數的“操作”全體是一個群，記為S3。這種操作共6個：（）、（12）、（13）、（23）、（123）、（321）。操作（ 123）的意思是：變 1為 2，變 2為 3，變 3為（ l）。操作（ 12）的意思是把回變為2，把2變為1，而3不變。當然操作（l）的意思是全都不變。兩個操作A和B的乘積BA定義為先施行人再施行B。例如D（12）（123）＝（23）。 而“環”就是有一又半個運算的集合（所謂半個運算是指它同能無道運算）。例如”星期數”全體還0，互， 2， 3， 4， 5，引就是一個R（對於加法和乘法），這裡5的意思是星期五（所以5＋ 3＝ 8＝ l，5 x 3＝ 15＝ l）。 類似地，我們還可考慮鐘點數IO，…，11｝，也是一個環（當然3 X 8＝ 24）。有趣的是，我們把星期數的 7改為 2，就得到只有兩個元素的環｛ 0， l｝（實際上它還是域，即可以加減乘除，稱為“二元域”’，注意其中1＋1＝0）。二元域在現代通信、密碼等理論中極重要。

代數以如下成果光照歷史：解決了困擾人類ZOOO多年的古希臘三大歷史名題（三等分角，化圓為方，立方倍積），解決了五次（以上）方程不可（根式）解問題，畫正17邊形，破譯密碼等IE題。此外，代數還研究更抽象的“範疇”（例如群的全體是一個範疇），函子等。與代數相關的數學有：線性代數、抽象代數、代數數論、代數幾何、代數拓撲、同調代數、拓撲代數、表示論、泛函分析、代數函數論等等。

（摘自《現代科學知識·熱點問題450例》）

Appendix: 代數學範疇

(數學發展到現在，已經成為科學世界中擁有100多個主要分支學科的龐大的“共和國”。大體說來，數學中研究數的部分屬於代數學的範疇；研究形的部分，屬於幾何學的范籌；溝通形與數且涉及極限運算的部分，屬於分析學的範圍。這三大類數學構成了整個數學的本體與核心。在這一核心的周圍，由於數學通過數與形這兩個概念，與其它科學互相滲透，而出現了許多邊緣學科和交叉學科。)
　　　
　
　　1、算術
　　
　　算術有兩種含義，一種是從中國傳下來的，相當於一般所說的“數學”，如《九章算術》等。另一種是從歐洲數學翻譯過來的，源自希臘語，有“計算技術”之意。現在一般所說的“算術”，往往指自然數的四則運算；如果是在高等數學中，則有“數論”的含義。作為現代小學課程內容的算術，主要講的是自然數、正分數以及它們的四則運算，並通過由計數和度量而引起的一些最簡單的應用題加以鞏固。
　　
　　算術是數學中最古老的一個分支，它的一些結論是在長達數千年的時間裡，緩慢而逐漸地建立起來的。它們反映了在許多世紀中積累起來，並不斷凝固在人們意識中的經驗。
　　
　　自然數是在對於對象的有限集合進行計算的過程中，產生的抽象概念。日常生活中要求人們不僅要計算單個的對象，還要計算各種量，例如長度、重量和時間。為了滿足這些簡單的量度需要，就要用到分數。
　　
　　現代初等算術運算方法的發展，起源於印度，時間可能在10世紀或11世紀。它後來被阿拉伯人採用，之後傳到西歐。15世紀，它被改造成現在的形式。在印度算術的後面，明顯地存在着我國古代的影響。
　　
　　19世紀中葉，格拉斯曼第一次成功地挑選出一個基本公理體系，來定義加法與乘法運算；而算術的其它命題，可以作為邏輯的結果，從這一體系中被推導出來。後來，皮亞諾進一步完善了格拉斯曼的體系。
　　
　　算術的基本概念和邏輯推論法則，以人類的實踐活動為基礎，深刻地反映了世界的客觀規律性。儘管它是高度抽象的，但由於它概括的原始材料是如此廣泛，因此我們幾乎離不開它。同時，它又構成了數學其它分支的最堅實的基礎。

　　
　　2、初等代數
　　
　　作為中學數學課程主要內容的初等代數，其中心內容是方程理論。代數一詞的拉丁文原意是“歸位”。代數方程理論在初等代數中是由一元一次方程向兩個方面擴展的：其一是增加未知數的個數，考察由有幾個未知數的若幹個方程所構成的二元或三元方程組（主要是一次方程組）；其二是增高未知量的次數，考察一元二次方程或准二次方程。初等代數的主要內容在16世紀便已基本上發展完備了。
　　
　　古巴比倫（公元前19世紀～前17世紀）解決了一次和二次方程問題，歐幾里得的《原本》（公元前4世紀）中就有用幾何形式解二次方程的方法。我國的《九章算術》（公元1世紀）中有三次方程和一次聯立方程組的解法，並運用了負數。3世紀的丟番圖用有理數求一次、二次不定方程的解。13世紀我國出現的天元術（李冶《測圓海鏡》）是有關一元高次方程的數值解法。16世紀意大利數學家發現了三次和四次方程的解法。
　　
　　代數學符號發展的歷史，可分為三個階段。第一個階段為三世紀之前，對問題的解不用縮寫和符號，而是寫成一篇論文，稱為文字敘述代數。第二個階段為三世紀至16世紀，對某些較常出現的量和運算採用了縮寫的方法，稱為簡化代數。三世紀的丟番圖的傑出貢獻之一，就是把希臘代數學簡化，開創了簡化代數。然而此後文字敘述代數，在除了印度以外的世界其它地方，還十分普通地存在了好幾百年，尤其在西歐一直到15世紀。第三個階段為16世紀以後，對問題的解多半表現為由符號組成的數學速記，這些符號與所表現的內容沒有什麼明顯的聯繫，稱為符號代數。16世紀韋達的名著《分析方法入門》，對符號代數的發展有不少貢獻。16世紀末，維葉特開創符號代數，經笛卡爾改進後成為現代的形式。
　　
　　“＋”、“－”號第一次在數學書中出現，是1489年魏德曼的著作。不過正式為大家所公認，作為加、減法運算的符號，那是從1514年由荷伊克開始的。1540年，雷科德開始使用現在使用“＝”。到1591年，韋達在著作中大量使用後，才逐漸為人們所接受。1600年哈里奧特創用大於號“＞”和小於號“＜”。1631年，奧屈特給出“×”、“÷”作為乘除運算符。1637年，笛卡爾第一次使用了根號，並引進用字母表中頭前的字母表示已知數、後面的字母表示未知數的習慣做法。至於“≮”、“≯”、“≠”這三個符號的出現，那是近代的事了。
　　
　　數的概念的拓廣，在歷史上並不全是由解代數方程所引起的，但習慣上仍把它放在初等代數裡，以求與這門課程的安排相一致。公元前4世紀，古希臘人發現無理數。公元前2世紀（西漢時期），我國開始應用負數。1545年，意大利的卡爾達諾開始使用虛數。1614年，英國的耐普爾發明對數。17世紀末，一般的實數指數概念才逐步形成。

　　
　　3、高等代數
　　
　　在高等代數中，一次方程組（即線性方程組）發展成為線性代數理論；而—、二次方程發展成為多項式理論。前者是向量空間、線性變換、型論、不變量論和張量代數等內容的一門近世代數分支學科，而後者是研究只含有一個未知量的任意次方程的一門近世代數分支學科。作為大學課程的高等代數，只研究它們的基礎。
　　
　　1683年關孝和（日本人）最早引入行列式概念。關於行列式理論最系統的論述，則是雅可比1841年的《論行列式的形成與性質》一書。在邏輯上，矩陣的概念先於行列式的概念；而在歷史上，次序正相反。凱雷在1855年引入了矩陣的概念，在1858年發表了關於這個課題的第一篇重要文章《矩陣論的研究報告》。
　　
　　19世紀，行列式和矩陣受到人們極大的關注，出現了千餘篇關於這兩個課題的文章。但是，它們在數學上並不是大的改革，而是速記的一種表達式。不過已經證明它們是高度有用的工具。
　　
　　多項式代數的研究始於對3、4次方程求根公式的探索。1515年，菲洛解決了被簡化為缺2次項的3次方程的求解問題。1540年，費爾拉里成功地發現了一般4次方程的代數解法。人們繼續尋求5次、6次或更高次方程的求根公式，但這些努力在200多年中付諸東流。
　　
　　1746年，達朗貝爾首先給出了“代數學基本定理”的證明（有不完善之處）。這個定理斷言：每一個實係數或復係數的n次代數方程，至少有一個實根或復根。因此，一般地說，n次代數方程應當有n個根。1799年，22歲的高斯在寫博士論文中，給出了這個定理的第一個嚴格的證明。1824年，22歲的阿貝爾證明了：高於4次的一般方程的全部係數組成的根式，不可能是它的根。1828年，年僅17歲的伽羅華創立了“伽羅華理論”，包含了方程能用根號解出的充分必要條件。
　　

　　4、數論
　　
　　以正整數作為研究對象的數論，可以看作是算術的一部分，但它不是以運算的觀點，而是以數的結構的觀點，即一個數可用性質較簡單的其它數來表達的觀點來研究數的。因此可以說，數論是研究由整數按一定形式構成的數系的科學。
　　
　　早在公元前3世紀，歐幾里得的《原本》討論了整數的一些性質。他證明素數的個數是無窮的，他還給出了求兩個數的公約數的輾轉相除法。這與我國《九章算術》中的“更相減損法”是相同的。埃拉托色尼則給出了尋找不大於給定的自然數n的全部素數的“篩法”：在寫出從1到n的全部整數的紙草上，依次挖去2、3、5、7……的倍數（各自的2倍，3倍，……）以及1，在這篩子般的紙草上留下的便全是素數了。
　　
　　當兩個整數之差能被正整數m除盡時，便稱這兩個數對於“模”m同餘。我國《孫子算經》（公元4世紀）中計算一次同餘式組的“求一術”，有“中國剩餘定理”之稱。13世紀，秦九韶已建立了比較完整的同餘式理論——“大衍求一術”，這是數論研究的內容之一。
　　
　　丟番圖的《算術》中給出了求x？＋y？＝z？所有整數解的方法。費爾馬指出x^n＋y^n＝z^n在n＞3時無整數解，對於該問題的研究產生了19世紀的數論。之後高斯的《數論研究》（1801年）形成了系統的數論。
　　
　　數論的古典內容基本上不藉助於其它數學分支的方法，稱為初等數論。17世紀中葉以後，曾受數論影響而發展起來的代數、幾何、分析、概率等數學分支，又反過來促進了數論的發展，出現了代數數論（研究整係數多項式的根—“代數數”）、幾何數論（研究直線坐標系中坐標均為整數的全部“整點”—“空間格網”）。19世紀後半期出現了解析數論，用分析方法研究素數的分布。二十世紀出現了完備的數論理論。

　　
　　5、抽象代數
　　
　　1843年，哈密頓發明了一種乘法交換律不成立的代數——四元數代數。第二年，格拉斯曼推演出更有一般性的幾類代數。1857年，凱雷設計出另一種不可交換的代數——矩陣代數。他們的研究打開了抽象代數（也叫近世代數）的大門。實際上，減弱或刪去普通代數的某些假定，或將某些假定代之以別的假定（與其餘假定是相容的），就能研究出許多種代數體系。
　　
　　1870年，克隆尼克給出了有限阿貝爾群的抽象定義；狄德金開始使用“體”的說法，並研究了代數體；1893年，韋伯定義了抽象的體；1910年，施坦尼茨展開了體的一般抽象理論；狄德金和克隆尼克創立了環論；1910年，施坦尼茨總結了包括群、代數、域等在內的代數體系的研究，開創了抽象代數學。
　　
　　1926年，諾特完成了理想（數）理論；1930年，畢爾霍夫建立格論，它源於1847年的布爾代數；第二次世界大戰後，出現了各種代數系統的理論和布爾巴基學派；1955年，嘉當、格洛辛狄克和愛倫伯克建立了同調代數理論。
　　
　　到現在為止，數學家們已經研究過200多種這樣的代數結構，其中最主要德若當代數和李代數是不服從結合律的代數的例子。這些工作的絕大部分屬於20世紀，它們使一般化和抽象化的思想在現代數學中得到了充分的反映。
　　
　　抽象代數是研究各種抽象的公理化代數系統的數學學科。典型的代數系統有群、環、域等，它們主要起源於19世紀的群論，包含有群論、環論、伽羅華理論、格論、線性代數等許多分支，並與數學其它分支相結合產生了代數幾何、代數數論、代數拓撲、拓撲群等新的數學學科。抽象代數已經成了當代大部分數學的通用語言。
　　
　　現在，可以籠統地把代數學解釋為關於字母計算的學說，但字母的含義是在不斷地拓廣的。在初等代數中，字母表示數；而在高等代數和抽象代數中，字母則表示向量（或n元有序數組）、矩陣、張量、旋量、超複數等各種形式的量。可以說，代數已經發展成為一門關於形式運算的一般學說了。