Riemann 猜想漫談 (一)

- 盧昌海 -

If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis.

- H. Montgomery

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Bernhard Riemann
1826 - 1866
一. Hardy 的電報

讓我們從一則小故事開始我們的 Riemann 猜想之旅吧。 故事大約發生在七十年前， 當時英國有一位很著名的數學家叫做 Godfrey Hardy (1877-1947)， 在我看來他是兩百年來英國數學界的一位勇者。 為什麼說他是勇者呢？ 因為在十七世紀的時候， 英國數學家與歐洲大陸的數學家之間發生了一場激烈的論戰。 論戰的主題是誰先發明了微積分。 論戰所涉及的核心人物一邊是英國的科學泰斗 Isaac Newton (1642-1727)， 另一邊是歐洲大陸 (德國) 的哲學及數學家 Gottfried Leibniz (1646-1716)。 這一場論戰打下來， 兩邊筋疲力儘自不待言， 還大傷了和氣， 留下了曠日持久的後遺症。 自那以後英國的許多數學家開始排斥起來自歐洲大陸的數學進展。 一場爭論演變到這樣的一個地步， 英國數學界的集體榮譽及尊嚴、 Newton 的赫赫威名便都成了負資產， 英國的數學在保守的舞步中走起了下坡路。

這下坡路一走便是兩百年。

在這樣的一個背景下， 在複數理論還被一些英國數學家視為來自歐洲大陸的危險概念的時候， 土生土長的英國數學家 Hardy 卻對來自歐洲大陸 (而且偏偏還是德國)、 有着複變函數色彩的數學猜想 - Riemann 猜想 - 產生了濃厚的興趣， 積極地研究它， 並且取得了令歐洲大陸數學界為之震動的成就 (這一成就將在 後文 中介紹)， 算得上是勇者所為。

當時 Hardy 在丹麥有一位很要好的數學家朋友叫做 Harald Bohr (1887-1951)， 他是著名量子物理學家 Niels Bohr (1885-1962) 的弟弟。 Bohr 對 Riemann 猜想也有濃厚的興趣， 曾與德國數學家 Edmund Landau (1877-1938) 一起研究 Riemann 猜想 (他們的研究成果也將在 後文 中介紹)。 Hardy 很喜歡與 Bohr 共度暑假， 一起討論 Riemann 猜想， 常常待到假期將盡才匆匆趕回英國。 結果有一次當他趕到碼頭時， 發現只剩下一條小船可以乘坐了， 只好硬着頭皮登上。 在汪洋大海中乘坐小船可不是鬧着玩的事情， 弄得好算是浪漫刺激， 弄不好就得葬身魚腹。 信奉上帝的乘客們此時都忙着祈求上帝的保佑。 Hardy 卻是一個堅決不信上帝的人， 不僅不信， 有一年他還把向大眾證明上帝不存在列入自己的年度六大心願之中， 且排名第三 (排名第一的是證明 Riemann 猜想)。 不過在這生死攸關的時刻 Hardy 也沒閒着， 他給 Bohr 發去了一封簡短的電報， 上面只有一句話：

“我已經證明了 Riemann 猜想！”

Hardy 果真已經證明了 Riemann 猜想嗎？ 當然不是。 那為什麼要發這麼一個電報呢？ 回到英國後他向 Bohr 解釋了原因， 他說如果那次他乘坐的船真的沉沒了， 那人們就只好相信他真的證明了 Riemann 猜想。 但他知道上帝是肯定不會把這麼巨大的榮譽送給他 - 一個堅決不信上帝的人 - 的， 因此上帝一定不會讓他的小船沉沒的。[注一]

上帝果然沒有捨得讓 Hardy 的小船沉沒。 自那以後又過去了七十餘個年頭， 吝嗇的上帝依然沒有物色到一個可以承受這麼大榮譽的人。

二. Riemann ζ 函數與 Riemann 猜想

那麼這個讓上帝如此吝嗇的 Riemann 猜想究竟是一個什麼樣的猜想呢？ 在回答這個問題之前我們先來介紹一個函數： Riemann ζ 函數。 這個函數雖然掛着 Riemann 的大名， 卻不是 Riemann 首先提出的。 但是 Riemann 雖然不是這一函數的提出者， 他的工作卻大大加深了人們對這一函數的理解， 為其在數學與物理上的廣泛應用奠定了基礎。 後人為了紀念 Riemann 的卓越貢獻， 就用他的名字命名了這一函數。[注二]

Riemann ζ 函數 ζ(s) 是級數表達式 (n 為正整數)

ζ(s) = Σn n-s (Re(s) > 1)

在複平面上的解析延拓。 之所以要對這一表達式進行解析延拓， 是因為 - 如我們已經註明的 - 這一表達式只適用於複平面上 Re(s) > 1 的區域 (否則級數不收斂)。 Riemann 找到了這一表達式的解析延拓 (當然 Riemann 沒有使用 “解析延拓” 這樣的現代複變函數論術語)。 運用路徑積分， 解析延拓後的 Riemann ζ 函數可以表示為：

式中的積分環繞正實軸進行 (即從 +∞ 出發， 沿實軸上方積分至原點附近， 環繞原點積分至實軸下方， 再沿實軸下方積分至 +∞ - 離實軸的距離及環繞原點的半徑均趨於 0)； 式中的 Γ 函數 Γ(s) 是階乘函數在複平面上的推廣， 對於正整數 s>1： Γ(s)=(s-1)!。 可以證明， 這一積分表達式除了在 s=1 處有一個簡單極點外在整個複平面上解析。 這就是 Riemann ζ 函數的完整定義。

運用上面的積分表達式可以證明， Riemann ζ 函數滿足以下代數關係式：

ζ(s) = 2Γ(1-s)(2π)s-1sin(πs/2)ζ(1-s)

從這個關係式中不難發現， Riemann ζ 函數在 s=-2n (n 為正整數) 取值為零 - 因為 sin(πs/2) 為零[注三]。 複平面上的這種使 Riemann ζ 函數取值為零的點被稱為 Riemann ζ 函數的零點。 因此 s=-2n (n 為正整數) 是 Riemann ζ 函數的零點。 這些零點分布有序、 性質簡單， 被稱為 Riemann ζ 函數的平凡零點 (trivial zeros)。 除了這些平凡零點外， Riemann ζ 函數還有許多其它零點， 它們的性質遠比那些平凡零點來得複雜， 被稱為非平凡零點 (non-trivial zeros) 。 對 Riemann ζ 函數非平凡零點的研究構成了現代數學中最艱深的課題之一。 我們所要討論的 Riemann 猜想就是一個關於這些非平凡零點的猜想， 在這裡我們先把它的內容表述一下， 然後再敘述它的來籠去脈：

Riemann 猜想: Riemann ζ 函數的所有非平凡零點都位於複平面上 Re(s)=1/2 的直線上。

在 Riemann 猜想的研究中數學家們把複平面上 Re(s)=1/2 的直線稱為 critical line。 運用這一術語， Riemann 猜想也可以表述為： Riemann ζ 函數的所有非平凡零點都位於 critical line 上。

這就是 Riemann 猜想的內容， 它是 Riemann 在 1859 年提出的。 從其表述上看， Riemann 猜想似乎是一個純粹有關複變函數的命題， 但我們很快將會看到， 它其實卻是一曲有關素數分布的神秘樂章。

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二零零三年十一月六日寫於紐約
http://www.changhai.org/

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注釋

[注一] Hardy 的這個解釋讓我想起了一句有趣的無神論者的祈禱語： God, if there is one, save my soul if I have one (上帝啊， 如果你存在的話， 拯救我的靈魂吧， 如果我有靈魂的話)。

[注二] 遠在 Riemann 之前， Riemann ζ 函數 (當然那時還不叫這個名字) 的級數表達式就已經出現在了數學文獻中， 但是那些表達式中函數的定義域較小。 Riemann 把 Riemann ζ 函數的定義域大大地延拓了， 這一點對於 Riemann 猜想的表述及研究具有重要的意義。 僅憑這一點， 即便把 Riemann 稱為 Riemann ζ 函數的提出者之一， 也並不過份。

[注三] sin(πs/2) 在 s=0 及 s=2n (n 為正整數) 時也為零， 但是在 s=0 時 ζ(1-s) 有極點， s=2n (n 為正整數) 時 Γ(1-s) 有極點， 因此只有在 s=-2n (n 為正整數) 時可以由 sin(πs/2)=0 推知 Riemann ζ 函數的取值為零。