| Riemann 猜想漫谈 (六) |
| 送交者: 141 2005年05月20日15:30:54 于 [教育学术] 发送悄悄话 |
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Riemann 猜想漫谈 (六) - 卢昌海 - If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis. - H. Montgomery
八. 零点在哪里？ 随着 Riemann 论文中的外围命题 - 那些被 Riemann 随手写下却没有予以证明的命题 - 逐一得到证明， 随着素数定理的攻克， 也随着 Hilbert 演讲的聚焦作用的显现， 数学界终于把注意力渐渐投向了 Riemann 猜想本身， 投向了那座巍峨的主峰。 不知读者们有没有注意到， 我们谈了这么久的 Riemann ζ 函数， 谈了那么久的 ζ 函数的非平凡零点， 却始终没有谈及过任何一个具体的非平凡零点。 这也是 Riemann 论文本身一个令人瞩目的特点： 即它除了没有给所涉及的许多命题提供证明外， 也没有给所提出的猜想提供数值计算方面的支持。 Riemann 叙述了许多有关 ζ 函数非平凡零点的命题 (比如 第五节 中提到的三大命题)， 却没有给出任何一个非平凡零点的数值！ 倘若那些非平凡零点是容易计算的， 倒也罢了， 可是就象被 Riemann 省略掉的那些命题个个都令人头疼一样， Riemann ζ 函数的那些非平凡零点也个个都不是省油的灯。 它们究竟在哪里呢？ 直到 1903 年 (即 Riemann 的论文发表后的第 44 个年头)， 丹麦数学家 Gørgen Gram 才首次公布了对 Riemann ζ 函数前 15 个零点的计算结果[注一]。 在这 15 个零点中， Gram 对前 10 个零点计算到了小数点后第六位， 而后 5 个零点 - 由于计算繁复程度的增加 - 只计算到了小数点后第一位。 为了让读者对 Riemann ζ 函数的非平凡零点有一个具体的印象， 我们把这 15 个零点列在下面。 与此同时， 我们也列出了这 15 个零点的现代计算值 (保留到小数点后第七位)， 以便大家了解 Gram 计算的精度： 零点序号 Gram 的零点数值 现代数值 几十年来， 这是数学家们第一次拨开迷雾实实在在地看到 Riemann ζ 函数的非平凡零点， 看到那些蕴涵着素数分布规律的神秘家伙。 它们都乖乖地躺在四十四年前 Riemann 划出的那条奇异的 critical line 上。 Gram 的计算使用的是十八世纪三十年代发展起来的 Euler-Maclaurin 公式[注二]。 在只有纸和笔的年代里， 这种计算是极其困难的， Gram 用了好几年的时间才完成对这 15 个零点的计算。 但即便付出如此多的时间， 付出极大的艰辛， 他在后五个零点的计算精度上仍不得不有所放弃。 在 Gram 之后， R. J. Backlund 于 1914 年把对零点的计算推进到了前 79 个零点。 再往后， 经过 Hardy、 Littlewood 及 Hutchinson 等人的努力 (包括计算方法上的一些改进)， 到了 1925 年， 人们已经知道了前 138 个零点的位置， 它们都位于 Riemann 猜想所预言的 critical line 上。 但是到了这个时候， 建立在 Euler-Maclaurin 公式之上的计算已经复杂到了几乎难以逾越的程度。 九. Riemann 的手稿 随着数学界对 Riemann 猜想兴趣的日益增加， 这个猜想的难度也日益显露了出来。 当越来越多的数学家在高不可测的 Riemann 猜想面前遭受挫折的时候， 其中的一些开始流露出对 Riemann 1859 年论文的一些不满之意。 我们在上面提到， Riemann 的论文既没有对它所提到的许多命题给予证明， 又没有给出哪怕一个 ζ 函数非平凡零点的数值。 尽管 Riemann 在数学界享有崇高的声誉， 尽管此前几十年里人们通过对他论文的研究一再证实了他的卓越见解。 但在攀登主峰的尝试屡遭受挫折， 计算零点的努力又举步维艰的情况下， 对 Riemann 的怀疑终于还是无可避免地出现了。 于是在承认 Riemann 的论文为 “最杰出及富有成果的论文” 之后 Laudau 开始表示： “Riemann 的公式远不是数论中最重要的东西， 他不过是创造了一些在改进之后有可能证明许多其它结果的工具”； 于是在为证明 Riemann 猜想度过一段 “苦日子” 之后 Littlewood 开始表示： “假如我们能够坚定地相信这个猜想是错误的， 日子会过得更舒适些”； 于是就连胆敢用 Riemann 猜想跟上帝耍计谋的 Hardy 也开始认为 Riemann 有关零点的猜测只不过是个猜测而已， nothing more。 “Nothing more” 的意思便是纯属猜测， 没有任何计算及证明依据。 换句话说数学家们开始认为 Riemann 论文中的一切大致也就是他在这一论题上所做过的一切， 他的猜想其依据的只是直觉， 而非证据。 那么 Riemann 猜想究竟只是凭借直觉呢还是有着其它的依据？ Riemann 的论文究竟是不是他在这方面的全部研究呢？ 既然 Riemann 的论文本身没有为这些问题提供线索， 答案自然就只能到他的手稿中去寻找了。 我们曾经提到， 在 Riemann 那个时代许多数学家公开发表的东西往往只是他们所做研究的很小一部分， 因此他们的手稿及信件就成为了科学界极为珍贵的财富。 这种珍贵绝不是因为如今人们习以为常的那种名人用品的庸俗商业价值， 而是在于其巨大的学术价值。 因为通过它们， 人们不仅可以透视那些伟大先辈们的 “Beautiful Mind”， 更可以挖掘他们未曾发表过的研究成果， 那是一种无上的宝藏。 那些有幸躲过管家的火把、 又没有被 Elise 索回的手稿， Dedekind 将它们留在了 Göttingen 大学图书馆， 那就是数学家和数学史学家们可以看到的 Riemann 的全部手稿 (Nachlass)。 自 Riemann 的手稿存放在 Göttingen 大学图书馆以来， 陆续有一些数学家及数学史学家前去研究。 但是只要想一想 Riemann 正式发表的有关 Riemann 猜想的论文尚且如此艰深， 就不难想象研读他那些天马行空、 诸般论题混杂、 满篇公式却几乎没有半点文字说明的手稿该是一件多么困难的事情。 许多人满怀希望而来， 却又两手空空、 黯然失望而去。 Riemann 的手稿就象一本高明的密码本， 牢牢守护着这位伟大数学家的思维奥秘。 但是到了 1932 年， 终于有一位数学家从那些天书般的手稿中获得了重大的发现！ 这一发现一举粉碎了那些认为 Riemann 的论文只有直觉而无证据的猜测， 并对 Riemann ζ 函数非平凡零点的计算方法产生了脱胎换骨般的影响， 让在第 138 个零点附近停滞多年的 Euler-Maclaurin 方法相形见拙。 这一发现也将它的发现者的名字与伟大的 Riemann 联系在了一起， 从此不朽。 这位破解天书的发现者叫做 Carl Siegel (1896-1981)， 他是 Riemann 的同胞 - 一位德国数学家。 上一篇 | 返回目录 | 下一篇 二零零四年二月十六日写于纽约
注释 [注一] 由于 Riemann ζ 函数在上半复平面与下半复平面的非平凡零点是一一对应的 (请读者自己证明)， 因此在讨论时只考虑虚部大于零的零点。 我们把这些零点以虚部大小为序排列， 所谓 “前 15 个零点” 指的是虚部最小的 15 个零点。 [注二] Euler-Maclaurin 公式为： Σkfk = ∫f(k)dk + 1/2[f(m) + f(n)] + ΣjB2j/(2j)![f(2j-1)(n) - f(2j-1)(m)]。 其中左端对 (自然数) k 的求和从 m 到 n； 右端对 k 的积分从 m 到 n， 对 j 的求和从 1 到 ∞； B2k 为 Bernoulli 数 (B2=1/6，B4=-1/30，B6=1/42，...) 。 Euler-Maclaurin 公式的成立对 f(k) 有一定的要求。 |
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