Riemann 猜想漫談 (十)

- 盧昌海 -

If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis.

- H. Montgomery

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十五. 更高、 更快、 更強

三億個零點擺平了 Zagier， 但顯然遠不是對 Riemann ζ 函數非平凡零點進行計算的終點。 不過在介紹進一步進展之前我們先要對零點計算做一點補充說明。

當我們說到零點計算的時候， 一般人會很自然地認為所謂零點計算， 顧名思義就是計算零點的數值。 不知讀者在 上一節 時有沒有想過這樣一個問題： 那就是三億個零點， 即使每個只保留十位數字， 寫下來也有三十億個數字 (如果加上小數點、 等號及零點編號等， 則數字還要翻上一番)。 以每頁三千個數字而論， 起碼要一百萬頁紙才能記錄下來！ 當然， 計算結果不是非得記錄在紙上不可的。 但是三十億個數字差不多是 3GB， 這在今天雖然算不了什麼， 在 1982 年卻是非同小可的數量， 用任何方式記錄都並不容易。 以計算機硬盤為例， 當時容量為幾個 MB 就算很大了， 價格十分昂貴， 而要想記錄三億個零點卻要上千個這樣的硬盤！ 若果真如此， Zagier 豈不還大大低估了他那兩瓶葡萄酒的價值？

其實狡猾的 te Riele 並沒有計算那些零點的具體數值。 事實上除了最初那些小範圍的計算外， 我們前面介紹的大規模零點計算並不給出零點的具體數值， 而只是驗證零點是否在 critical line 上。 因此， 當人們說 “計算了前 N 個零點” 時， 實際指的往往只是驗證了前 N 個零點是否位於 critical line 上[注一]。

但是不計算零點的數值， 又如何判斷零點是否在 critical line 上呢？ 其實很簡單。 我們在 第十一節 中介紹過， 要研究 Riemann ζ 函數在 critical line 上的零點， 只需研究 Z(t) 的符號改變即可。 假如在區間 0在 critical strip 內位於區間 0在 critical line 上位於區間 0就可以推知 Riemann ζ 函數的前 N 個零點全部位於 critical line 上。 由於這兩者都不涉及零點的具體數值。 因此我們可以不計算零點數值就直接證明 Riemann ζ 函數的前 N 個零點 (或更一般地， 複平面上某個區域內所有的零點) 都位於 critical line 上， 這正是大多數零點計算所採用的方法。

對 Riemann ζ 函數零點的計算越推進 (即 N 越大)， 我們在複平面上沿虛軸方向延伸得就越高 (即 T 越大)。 隨着計算機運算速度越來越快， te Riele 的三億個零點的記錄很快就失守了。 四年後， 由他本人及 J. van de Lune 領銜將計算推進到了十五億個零點。 此後 van de Lune 及其他一些人繼續進行着零點計算。 不過這時已經很少有人象當年的 Turing 那樣覺得有可能通過零點計算直接找到 Riemann 猜想的反例， 也再沒有象 Zagier 那樣敢於下注的勇士了。 人們在計算零點上的興趣和投入遂大為下降。 這其中一個顯著的變化就是逐漸用廉價的小型或微型機取代以往的大型機， 且往往使用機器的閒散時間而非正規工作時間來進行計算。 儘管如此， 計算機技術的神速發展還是抵消了所有這些因素帶來的不利影響。 零點計算仍在推進着， 只是速度變得緩慢起來， 這種趨勢一直延續到二十世紀末 (2000 年)。

但是到了 2001 年 8 月， 德國 Böblingen IBM 實驗室的 Sebastian Wedeniwski 啟動了一個被稱為 ZetaGrid 的計劃， 建立了迄今為止最強有力的 Riemann ζ 函數零點計算系統， 重新將零點計算推向了快車道。 ZetaGrid 系統將零點計算通過計算機網絡分散到大量的計算機上， 從而極大地拓展了資源利用面。 ZetaGrid 剛啟動的時候， 加入系統的計算機只有 10 台， 半年後就增加到了 500 台， 這些都是 IBM 實驗室的內部計算機。 一年後， Wedeniwski 將 ZetaGrid 推向了互聯網， 任何人只要下載安裝一個小小的軟件包就可以使自己的機器加入 ZetaGrid， 此舉很快吸引了大量的參與者。 如今在 ZetaGrid 上的聯網計算機數平均已在一萬以上， 雖然 ZetaGrid 上的多數計算是利用各台機器的閒散 CPU 時間進行的 (比如通過背景過程或屏保程序)， 但由如此大量的計算機所形成的總體運算能力依然十分可觀。 截止本文寫作之日， ZetaGrid 所計算的零點累計已達 8553 億個 (其中有六百萬個是由本文作者貢獻的 :-)， 而且還在以大約每天十億個以上的速度增加着。

十六. 零點的統計關聯

除了不計算具體數值這一特點外， 前面所介紹的那些大規模零點計算還有一個特點， 那就是都只針對前 N 個零點。 換句話說， 所有那些計算都是以第一個零點為起始的。 它們所驗證都只是複平面上 0那麼 Odlyzko 為什麼會研究起零點的統計關聯來呢？ 這還得從二十世紀七十年代初說起。 當時英國劍橋大學有位來自美國的研究生叫做 Hugh Montgomery， 他所研究的課題是零點在 critical line 上的統計關聯。

零點的對關聯函數
Montgomery 這個名字不知大家有沒有覺得面熟？ 對了， 本系列各篇文章所引的共同題記正是出自此人！

我們以前談論零點分布的時候， 所關心的往往只是零點是否分布在 critical line 上。 Montgomery 的研究比這更進一步。 他想知道的是， 假如 Riemann 猜想成立， 即所有零點都分布在 critical line 上， 那它們在 critical line 上的具體分布會是什麼樣的？

在 Montgomery 進行研究的時候雖然已經有 Rosser 對前三百五十萬個零點的計算結果 (參閱 第十三節)， 但如我們在上文中所說， 那些計算並不涉及零點的具體數值， 從而無法為他提供統計研究的依據。 因此 Montgomery 只能從純理論的角度來研究零點在 critical line 上的統計關聯。

Montgomery 對零點分布的理論研究從某種意義上講恰好與 Riemann 對素數分布的研究互逆。 Riemann 的研究是着眼於通過零點分布來表示素數分布 (參閱 第五節)， 而 Montgomery 的研究則是逆用 Riemann 的結果， 着眼於通過素數分布來反推零點分布。

不幸的是， 素數分布本身在很大程度上就是一個謎。 除了素數定理外， 有關素數分布的多數命題都只是猜測。 而素數定理， 如我們在 第七節 中看到的， 與零點分布的相關性非常弱， 不足以反推出 Montgomery 感興趣的信息。 於是 Montgomery 把目光投注到了比素數定理更強的一個命題， 那便是 Hardy 與 Littlewood 於 1923 年提出的關於孿生素數分布規律的猜測， 即迄今尚未證明的著名的強孿生素數猜想 (有關這一猜想的介紹可參閱拙作 孿生素數猜想)。 Montgomery 以 Riemann 猜想的成立為前提， 以 Riemann 的公式及 Hardy 與 Littlewood 所猜測的孿生素數分布規律為依據， 研究提出了有關 Riemann ζ 函數非平凡零點在 critical line 上的分布規律的一個重要猜測：

上式中 t' 和 t'' 分別表示一對零點的虛部， α 和 β 是兩個常數 (α<β)。 很明顯， 上式表示的是零點的對關聯 (pair correlation) 規律。 這一規律被稱為 Montgomery 對關聯假設 (Montgomery pair correlation conjecture)， 其中的密度函數 ρ(t) = 1-[sin(πt)/πt]2 被稱為零點的對關聯函數 (pair correlation function)。

從上述分布規律中可以看到 limt→0 ρ(t) = 0， 這表明兩個零點互相靠近的幾率很小。 換句話說 Riemann ζ 函數的非平凡零點有一種互相排斥的趨勢。 這一點與 Montgomery 最初想象的很不相同。 Montgomery 曾經以為零點的分布是高度隨機的， 如果那樣的話， 對關聯函數應該接近於 ρ(t) ≡ 1。 這一分布也不同於 Montgomery 當時見過的任何其它統計分布 - 比如 Poisson 分布或正態分布 - 中的對關聯函數， 它與素數本身的分布也大相徑庭。 這一分布究竟有何深意呢？ 對 Montgomery 來說還是一個謎。

大家也許還記得， 在 第五節 中我們曾經介紹過 Riemann 提出的三個命題， 其中第一個命題 (也是迄今唯一被證明的一個) 表明在區間 0n = (t/2π) ln(t/2π)

利用這一定義， 相鄰零點的間距被歸一化為 Δn~1， 而 Montgomery 對關聯假設可以簡化為 (請讀者自行證明)：

Montgomery 對關聯假設提出之後， 一個很自然的問題就是： 零點分布果真符合這一假設嗎？ 這正是 Odlyzko 登場的地方。 由於 Montgomery 對關聯假設涉及的是對關聯在 T→∞ 情形下的極限分布， 因此要想對這一假設進行高精度的統計檢驗， 最有效的辦法是研究虛部很大的零點的分布， 這也正是 Odlyzko 將零點計算推進到 1020 及更高區域的原因。 我們在右上方的圖中給出了 Montgomery 零點對關聯函數 (曲線) 及由 Odlyzko 利用 1020 附近七千萬個零點對之進行統計檢驗的結果 (數據點)。 兩者的吻合幾乎達到了完美的境界。

1972 年春天， 剛剛完成上述零點統計關聯研究的 Montgomery 帶着他的研究成果飛往美國 St. Louis 參加一個解析數論會議。 在正式行程之外， 他順道在 Princeton 高等研究所做了短暫的停留。 沒想到這一停留卻在數學與物理間造就了一次奇異的交匯， 我們 Riemann 猜想之旅也因此多了一道神奇瑰麗的景致。

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二零零四年八月一日寫於紐約
http://www.changhai.org/

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注釋

[注一] 舉個例子來說， 雖然早在 1982 年 te Riele 就 “計算了” 前三億個零點， 但直到幾年後 Odlyzko 與 te Riele 才合夥對區區兩千個零點做了真正的數值計算 (精度達小數點後一百位)， 並以此為基礎一舉否證了 Mertens 猜想 (參閱第五篇 [注一])。