也谈哥德尔定理
黎日工
哥德尔定理，从何谈起呢？
人们把数学比作音乐，似乎能从数学中听到音乐之声。如果追溯音乐的历史
也能追到古希腊数学家毕达哥拉斯——“毕达哥拉斯定理”中的那个毕达哥拉斯。
音阶“多、来、咪…”就是由他与他的学生确定的。在单弦琴上取一根12厘米长
的弦，其振动所发之音定为“多”，则9厘米弦的发音定为“发”，8厘米的发音
定为“索”，6厘米的发音定为高音“多”，这时弦长一半，振动频率正好加倍，
音高八度。如何从毕达哥拉斯的音阶发展到后来的简谱、五线谱，笔者知之甚少。
当然，有了五线谱后，贝多芬、莫扎特就能把他们的音乐潇潇洒洒地写在纸上了。
音乐家的工作形式看上去也与数学家的相仿，都是使用有限的元件写作。数
学家的元件是公理体系；音乐家的则是乐谱体系中的音乐符号。利用这些音乐符
号，贝多芬谱出交响乐，莫扎特演出协奏曲；正如数学家根据公理证出命题及定
理。
大家都知道二胡“二泉映月”吧，是盲人华彦钧先生在孤苦飘零中随心拉出
的肺腑之曲，华先生叫它“自来腔”。我们现在听到的“二泉映月”乃是杨荫浏
先生等在华彦钧先生生前专程到无锡为之录音记下的谱。多亏有此一举，“二泉
映月”才没有变成广陵散第二。这件事特别之处在于，华先生的“自来腔”拉之
在先，然后才由杨先生等写出乐谱。在音乐中，“二泉映月”之类故事不胜枚举，
许多富有特色的音乐都是音乐家采风得来，只要有动听的“自来腔”，不管来自
黄土高原还是赤道村落…，音乐家都能把它化作音乐符号，流传于世。所以，音
乐不会遗漏任何一首好的“自来腔”，即便宛如天音，但它的构件永远“不出始
料”，用数学语言讲，音乐是一个完备的体系。
数学中也有类似“二泉映月”的故事。“二泉映月”拉自心灵，数学也一样，
第一流的问题和结果也不是能从公理直接逻辑地推出，它来自观察、直觉和灵感。
法国人费尔马在1637年“自来”一个猜想叫“费尔马大定理”，不知多少人为它
耗尽脑钡?994年才为英国人Andrew Wiles所攻克。虽然在数学公理体系内
做“谱写”工作如此困难，但人们还是希望：如果能证明数学公理体系的完备性，
象音乐那样，那多好啊，如此一来对哥德巴赫之类猜想我们便可大放其心，因为
解决只在迟早之间。问题是，希望能实现吗？
音乐为什么有完备性？原因很明显，因为音乐符号表示的是人耳能听到的声
音元素。就象天然宝石由化学元素组成一样，“自来腔”自然也可由声音元素组
合出来。还有一点，声音只是一种感觉，语言有语意，但声音没有“声意”“音
意”。这个差别可重要了，如果音乐如语言一样能夠给出具体的意义，那就麻烦
了，就再也无法谱写出所有的“自来腔”了。为什么？假定华彦钧先生拉出一首
“自来腔”向我们断言：“曲为心声，不可音传”，你还有办法为它记谱吗？如
果你有办法，那它就不再是“不可音传”的了！一下子发生矛盾，形成一个左右
为难的“悖论”。
语言可以发生“出乎始料”的事，不禁使我们联想到数学，数学公理体系也
是一种“语言”，而且是弹性更小的“语言”；在这样的体系中发生“出乎始料”
的事就是可以想象的了！所谓“哥德尔不完备性定理”即证明了这一点：在数学
公理体系中确会发生不完备现象，我们没有办法把数学中的所有“自来腔”根据
公理体系给以形式上的证明。一个例子就是集合论中的“连续统假设”，“假设”
说：可列数列（1，2，3，……）中数产生一个无穷量，开区间（0，1）中点也
产生一个无穷量，在这两个度量之间，不存在其它形式无穷量之度量。数学家在
1936年及1963年分别证明，在集合论公理体系中我们的确既不能证实又不能证伪
这个“连续统假设”！至于哥德巴赫猜想是否同样不可判定，尚无定论。
关于哥德尔定理的具体内容，如果你有兴趣及耐心，可以找一本简明的书直
接看一下他的证明。不需高等数学，有中学数学知识就能阅读。在此以哥德尔第
一不完备性定理（下称哥德尔定理）——算术公理系统（或称皮亚诺公理系统）
是不完备的——为例讲一下证明的思想。算术是数学中最基本的体系，这一点大
家都知道。
第一步，哥德尔把所用到的算术元件：逻辑操作符号（非、蕴含、?（对任
何…））、运算符号（加，乘，左右括号…）、等号“=”、常量0，1，2，…、
变量x（1），x（2），…，一一对应于一个正整数，称为哥德尔数。
第二步，建立一个通过以上元件写出算术陈述语句和证明语句的规则。在元
件编号的基础上再定义与这些语句一一对应的哥德尔数。通过哥德尔数的性质又
可提供一个判则，判断一个哥德尔数所对应的语句是或者不是另一个语句的证明。
利用哥德尔数讨论问题是一个关键。
第三步，根据以上结果构造一个哥德尔数为m的语句：“具有哥德尔数m的语
句没有合适的证明语句”。因为此句哥德尔数恰为m，这等于说“本语句不能被
证明”，这就类似“曲为心声，不可音传”了！这句语句就不能根据公理体系加
以形式上的证明！因为，如果不可证，那它已是一句不可证明的语句；如果可证，
又证明了“本语句不能被证明”！
从以上的简单介绍中，我们看到哥德尔定理是从算术公理出发进行推理的，
所谓哥德尔数更利用了数的许多性质。“哥德尔定理”既叫“定理”也有“证
明”，它的每一步推理都有根据，这些“根据”归根究底当然都来自公理体系。
也正因为它在算术公理体系内推理，发现了体系内的问题，它的结论才对算术体
系有意义。如果站在算术体系之外，你按你的根据，我按我的根据，还有什么意
义呢？
哥德尔定理的意义之一在于，那种希望把数学公理体系搞成一个形式化系统、
希望所有的“猜想”、“自来腔”都能从公理出发加以判定、希望不发生“出乎
始料”的事；是不可能实现的。这是我们使用数学公理体系时需要注意的事情。
至于哥德尔定理的其它意义，以及在一个公理体系中不可判定的“猜想”、“自
来腔”是否在另一公理体系中可判定等等问题，读者可以参阅其它很多的文章。
最后，我们要指出一点，用“哥德尔定理”号召“革公理体系命”是荒谬之
论！如果哥德尔定理表明公理化方法不行了，请问：又叫我们如何去相信这本身
来自公理化方法的“哥德尔定理”呢？我们告诫“革命家”们：哥德尔定理是一
条数学定理，用到数学之外，打打比方说明一个注意之点悉听尊便，但，切勿轻
率加以发挥。
（2005年6月11日）
