我认为证明有缺陷，看看谁能找出来。
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利用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数一致连续。
已知：f(x)在闭区间[a,b]上有定义，且f(x)连续。求证：f(x)在闭区间[a,b]上一致连续。
证明：
∵f(x)在[a,b]上连续
上式中的δ
0(ε,x
0)表示δ是ε和x
0的函数，而
即意味着
。
固定ε，只让x
0在区间[a,b]上变化，则一般来说δ
0也要发生变化。当x
0取遍[a,b]上的所有实数时，[a,b]将被所有x
0的邻域
构成的集合S覆盖，或者说S是[a,b]的一个无限开覆盖。
由有限覆盖定理得S中有有限个开区间能覆盖住[a,b]，不妨设这有限个开区间构成的集合为
。
令
（∵i为有限正整数，∴δ
i为有限个，在这有限个δ
i之中一定有最小值），这个δ不再与x
0有关，是因为无论对[a,b]上的哪个数x
i，当
时，总有
。下证对任意x'和x''∈[a,b]，当|x'-x''|<δ时，总有|f(x')-f(x'')|<ε。
事实上，由连续的定义，
那么，当
时，有
显然，ε是任意正数，那么2ε也是任意正数，也相应地存在正数2δ。这就证明了f(x)在[a,b]上一致连续。
