最近讀到兩篇談人工智能（AI）的文章。一篇有關橋牌，一篇有關數學定理的推導。正好自己這兩方面均有涉獵，就寫兩篇談談自己的感想。

關於數學定理的那篇談到，有人認為，AI和人腦的區別，在於人腦會“感覺”。對此，我深有同感。文章談到，在費馬大定理358年的漫長求證過程中，現在看來，關鍵一步就是日本數學家谷山豐和志村五郎差不多在同一時間分別獨立地感覺到費馬大定理和橢圓函數方程中存在一種微妙的聯繫。以後兩人合作研究，最後得到了不那麼著名的谷山-志村猜想。以後，加州伯克利大學的Ribet教授證明了費馬大定理和谷山-志村猜想是等價的。最後，普林斯頓的Wilse教授臨門一腳，用了8年時間，於1993年最終證明了谷山-志村猜想，也證明了費馬大定理。

在這個漫長的過程中，谷山-志村猜想的建立，Ribet教授證明兩者的等價， Wilse教授的證明，以及成百上千其他數學家的不懈努力，當今的AI經過專門訓練後，都可能全部或部分加以完成。唯有那句輕描淡寫的“感覺”，感覺到兩者之間的微妙聯繫，卻是當今或今後最優秀的AI都無法勝任的。

歷時124年，著名的四色定理是由美國數學家Haken 和  Appel 於1976年證明的。這個猜想說，任何地圖都可以用四種顏色標識。人們早就證明五種顏色足以標識任何地圖，人們感覺其實四種顏色就夠了，就是無法證明。

這兩位數學家的大部分工作是用計算機完成的，但這不是當今意義的AI。他們寫了程序，命令計算機如何計算。但是最關鍵的一步，還是兩位數學家完成的。他們把各種地圖歸類成1482種基本構型，他們只要證明這其中任何一種構型只需要最多只需要四種構型就可以了。

四色問題的複雜性遠超過外行人的想象，我對此也知之甚少，我們只來觀察一下，如果放到今天，AI能做些什麼。對地圖進行分類本身並不容易，更難的是如何證明兩個同類或不同類的構型拼接以後，邊界上不會產生新的着色問題。然而，一旦這兩點能夠完成，對1482個構型逐個檢驗，對於受過訓練的AI或許不是大問題。令人驚訝的是，他們的程序已經具有學習功能，“它會根據教會它的技巧制定出複雜的策略”。

下面兩個例子是我自己1991年的研究成果，我很有興趣看看如果我們34年前沒有解出，今天的AI能否勝任。

第一個是集體震動模式，是個歷經36年的世界難題。第一步是我的博士後導師Percus根據牛頓名下一個鮮為人知的數學定理，得出了一個生存函數，然後就被卡住了。大約兩個月以後，他邀請我參加這項工作。第二天我告訴他，這個問題在四個粒子的情況解答是存在的。正如我在《暗示的力量》一文中所說，這個強烈的暗示給了我們極大的鼓舞，我們在兩個星期內得到了完整的解答。

如果讓AI做這個課題，它大概率是不知道牛頓這個定理的。我的理由如下。理論物理學家都知道，超級大師朗道最喜歡用這個數學工具，他不可能沒有想過這個問題。就他的聰明程度，他如果知道牛頓的這個定理，大概不用兩個星期，只要一個晚上，就能得出解答。連朗道都不知道這個定理，當今AI的訓練團隊不知道就不足為奇了。沒有這個定理，這個問題就不可能解決，所以整整用了36年。

我導師是電機工程學士，數學碩士，物理博士，師從諾貝爾獎得主湯川秀樹。我以為他是讀碩士時偶然接觸到的，憑着超強的記憶力所以還記得。我問他在參考文獻中這個定理的出處怎麼寫。他說家裡有這本書，回去查一下。

即使AI的資料庫有這個定理，AI如何憑“感覺”，在浩如煙海的定理資料庫，找出這一個來幫助自己。

另一個問題與無規吸附有關，至少有52年歷史。我1991年解出這個問題時，參考文獻中還沒有中國國內學者的名字，所以這個中文譯名是我自己給出的。

問題大致如下，我們有一個系統的密度表達式，是時間t的無窮級數，t的冪次k代表在晶格上隨機行走k步。係數的諸多因子中有一項是行走k步可能的走法。這個隨機行走是允許重複的，這k步中可能有幾種走法會有重複。憑着排列組合專家的職業習慣，我馬上想到把這原地踏步給消除掉。通過改變求和次序，我做到了這一點。然而，這個新的級數也無法求和，而且似乎更複雜了。這時候，“感覺”就發揮了作用。因為是t的無窮級數，我就對級數進行拉普拉斯變換。變換以後，奇蹟發生了，好幾個求和號消失了。再對新的表達式進行拉普拉斯反變換，最後結果不再是t的無窮級數，而是x=1-exp(-t) 的無窮級數。原先的級數當t趨於無窮，每一項都是無窮大。而現在當t趨於無窮，m每一項是1乘上一個有限的但越來越大的係數。

在整個過程中，消除原地踏步應該是很容易訓練的，告訴AI一次以後它就知道這麼做了。拉普拉斯變換後，改變求和次序並求和也是可以訓練的。拉普拉斯反變換是這種工作的必要步驟，應該不用訓練。反變換時用到了Beta函數，我不知道對AI難度如何。

這兒最難的是，在眾多的數學工具中，怎麼憑“感覺”去找到拉普拉斯變換，各種各樣的變換多的是。其實，當時的情況也不一定是“感覺”，更像病急亂投醫，憑感覺找一個試試看。

前些日子，我寫過一篇短文《都錯了》。我讓ChatGPT和Deep Seek做一道著名的不算太難的數學題，結果兩者都錯了，Deep Seek 還錯的非常離譜。我得出結論，AI只會模仿，不能創新。這種模仿可以非常高端，就像證明四色定理的計算機程序那樣，但從嚴格意義來說，還是不能算創新。創新，恐怕就是文中談到的“感覺”，是AI無法勝任的。