希尔伯特通过两条途径对20世纪数学施加影响：一条是通过自己遍及数论、代数、
几何、分析以及数学基础的工作，一条是通过提出并研究数学前沿的问题指出未来数学
发展的方向。
　　自从《21世纪100个科学难题》出版之后，希尔伯特的名字也逐渐为更多的人知道，
由于数学，特别是现代数学，很难为一般人所理解，自然，数学在媒体上难得有什么地
位，而数学家的名字听起来也格外陌生了。无论国外国内，稍有科学素养的人都知道牛
顿和爱因斯坦。无疑，牛顿应该是有史以来最伟大的科学家，而爱因斯坦是20世纪最伟
大的物理学家。但是，谈起20世纪的数学，我想，至少应该记住三个人的名字：庞加莱
、希尔伯特和冯·诺伊曼，他们是20世纪最有影响的数学家。庞加莱是非线性数学（如
现代时髦的浑沌理论）的奠基人以及当代数学女王——拓扑学的创建者。冯·诺伊曼被
称为“计算机之父”和现代计算数学的奠基人，而数理经济学和对策论（一译博奕论）
也由他首先取得突破的。而对20世纪主流数学——结构数学有巨大影响的当属希尔伯特
。
　　希尔伯特通过两条途径对20世纪数学施加影响：一条是通过自己遍及数论、代数、
几何、分析以及数学基础的工作，一条是通过提出并研究数学前沿的问题指出未来数学
发展的方向。他之所以能做到这点，除了他的天才和格廷根的优美环境之外，就要归结
为他的献身精神——热爱数学、学习数学的热望，不断地去深入理解数学的任何一个部
门。总之，使数学成为生活中不可或缺的东西。笔者在格廷根的档案馆中发现他的记录
和笔记中，有一部分是他取得博士学位以后，访问国内国外知名数学家的记录；另有三
大本笔记，详细记录他提出的各种问题以及对各种问题的思考；而他在1900年8月8日关
于《数学问题》的报告显然不是急就章，而是长年思考积累的结果。
　　希尔伯特的报告不是大会报告，而是数学史组的分组报告，从这个意义上来讲，那
时人们的确重视科学发展的历史，而也正是这种重视历史的心态，才使这些最伟大的数
学家成就其历史的伟业。从另外一个意义上来讲，希尔伯特的23个问题是一个继往开来
的文献，说它继往，是它总结了19世纪几乎所有未解决的重要问题；说它开来，是这些
问题的确推动了 20世纪数学的进步。因此各数学大国，美国、前苏联、日本以及法国、
德国和英国的数学家或组织起来或单独研究希尔伯特问题的历史和现状，并进一步提出
新的问题。这里我们也极简单地概括一下，欲知其详，则有待于专著的问世。
　　希尔伯特的23个问题分属四大块：第1到第6问题是数学基础问题；第7到第12问题是
数论问题；第13到第18问题属于代数和几何问题；第19到第23问题属于数学分析。从顺
序上讲，显然希尔伯特把自己的重点放在数学基础上，他自己的工作也正为缔造数学大
厦牢固的基础而努力。从19世纪末希尔伯特已致力把数学建立在少数公理的基础上。他?
还是集合论最早的少数支持者之一，把数学建立在集合论基础上成为他的梦想。这可以
解释他为什么把集合论头号问题——连续统假设列为自己的第1问题。希尔伯特通过自己
的工作包括他的基础问题对于20世纪数理逻辑的发展起了决定性的影响。但是希尔伯持
的纲领却由于哥德尔1930年的不完全性定理而不能实现，从此数理逻辑走向独特的发展
道路。从新的观点看，第1、第2以及第10问题属于数理逻辑的范围，第3、第4、第5、第
6属于较为具体的学科。从某种意义来讲，这些问题可以说都在不同程度上得到解决。
　　数论这一块是希尔伯特本人在1900年之前最为关注的领域，他本人的工作对这领域
的发展也有决定性的影响。出乎他本人的预料，第7问题在他在世时已经解决，而第8问
题的黎曼猜想却至今还距离完全解决尚远，成为未来世纪数学家的头号难题。由第12问
题衍生出的朗兰兹（LangLands）纲领，更是远未解决，而其它4个问题可以说已经基本
解决。
　　20世纪的代数学已由方程论和不变式论发展为抽象代数学或近世代数学，这条发展
路线虽然同希尔伯特问题关系不大，但的确是在希尔伯特本人工作的影响之下发展起来
的。13、14和17这三个代数问题可以说基本解决，它们也给 20世纪数学带来新的方向。
几何的三个问题中，第15问题对于代数几何学的严格化有重要影响，而代数几何学在20
世纪是一门对各方面都有巨大影响的主流学科，它的基础已经建立在交换代数学的基础
上。与此相反，16问题前半的实代数几何学进展不大，尽管希尔伯特的问题有很大进步
。16问题后半的极限环问题经过一个世纪的努力可以说进展甚微，具体讲每一个重要进
展在多年之后都发现不对。18问题共有三问，前两问已经圆满解决，而第三问则发展成
一个十分活跃的领域，特别是开普勒（就是发现行星运动的三定律的那位）猜想终于在
本世纪结束之前完全证明。
　　希尔伯特的5个分析问题，可以说都基本解决。希尔伯特从1900年起研究分析，特别
是狄式原理和积分方程直接推动偏微分方程和泛函分析的发展。总之，希尔伯特23个问
题有4个问题仍是下世纪的大问题（第8、第12、16B 、18C），而其他问题则应在基本解
决的基础上提出更多更新的问题。
　　回顾一个世纪数学的发展，我们的确可以看到希尔伯特通过他自己的工作和提出的
问题，把20世纪数学带上一条健康发展的道路。当然，即使像希尔伯特这样的数学巨人
，也自然会有他的局限性。他基本上没有涉及庞加莱的组合拓扑的工作，E·嘉当关于李
代数的工作以及黎曼几何与张量分析和群表示论的研究。但是，他的工作和他的问题同
20世纪特别是上半世纪一半以上的数学研究有联系。而到20世纪末，数学已发展成如此
庞大的领域，已经找不到一个人来提出全面数学问题的清单，他的工作需要几十人来代
替。这些领袖人物虽然不像希尔伯特那样广博，但决不是狭窄领域的专家，他们都多少
继承希尔伯特的基因，在学科交叉上看到数学未来的前沿。而这正预示着下一世纪数学
辉煌的前景，也是解决老问题，提出新问题的关键所在。

希尔伯特问题研究进展
问 题

1.连续统假设 公理化集合论
1963年,Paul J.Cohen[美国] 在下述意义下证明了第一问题是不
可解的, 即: 连续统假设的真伪不可能在Zermelo-Fraenkel公理系统
内判明。
2.算术公理的相容性 数学基础
Hilbert 证明算术公理相容性的设想, 后来发展为系统“Hilbert
计划”, 但1931年Godel 的“不完备定理”提出用“元数学”证明算
术公理相容性之不可能。数学相容性问题至今尚未解决。
3.两等高等底的四面体体积之相等 几何基础
这问题很快(1900 年) 即由Hilbert 的学生M.Dehn给出肯定解答。
4.直线作为两点间最短距离问题 几何基础
这问题提得过于一般。Hilbert 之后, 许多数学家致力于构造和
探讨各种特殊的度量几何, 在研究第四问题上取得很大进展, 但问题
并未完全解决。
5.不要定义群的函数的可微性假设的李群概念 拓扑群论
经过漫长的努力, 这个问题于1952年由Glenson 、Montgomery、
Zippin等人[ 美国] 最后解决, 答案是肯定的。
6.物理公式的数学处理 数学物理
在量子力学、热力学等部门, 公理化方法已获很大成功, 但一般
地说, 公理化的物理意味着什么, 仍是需探讨的问题。至于概率论的
公理化, 已由Ａ. Ｈ. Ｋ o лМ o r o p oB[前苏联,1933]等人建
立。
7.某些数的无理性与超越性 超越数论
1934年, Ａ. Ｏ. г e M ж o H д[ 前苏联] 和Schneider[
德国] 各自独立解决了这问题的后半部分, 即对于任意代数数α≠0,1
和任意代数无理数β≠0 证明了α攩β攪的超越性,1966 年这一结果
又被A.Baker 等人大大推广和发展了。
8.素数问题 数 论
一般情形下的Riemann 猜想至今仍然是猜想。包括在其中的Goldbach
问题至今也未解决。中国数学家在这方面做出了一系列出色的工作。
9.任意数域中最一般的互反律证明 类域论
已由高木贞治[ 日,1921 年] 和E.Artin[美1927] 解决。
10.Diophantius方程可解性的判别 不定分析
1970年,M a T ия c e Bич[ 前苏联] 在Robinson、M.Davis、
H.Putnan等人[ 美] 工作的基础上证明了Hilbert 所期望的一般算法
是不存在的。
11. 系数为任意代数数的二次型 二次型理论
H.Hasse(1929年) 和C.L.Siegel(1936,1951) 在这个问题上获得
了重要结果。
12.Abet 域上的Kro-necker定理推广到任意代数有理域 复乘法
理论
尚未解决
13. 不可能用只有变数的函数解论一般的七次方程 方程论与实
函数
连续函数情形于1957年由B.A p H o лъц[ 前苏联] 否定解决
,如要求是解析函数,则问题仍未解决。
14. 证明某类完全函数系的有限性 代数不变式理论
1958年, 永田雅宜[ 日] 给出了否定解决, 即证明了存在群г,
其不变式所构成的环不具有有限个整基。
15.Schubert 计数演算的严格基础 代数几何学
由于许多数学家的努力,Schubert 演算基础的纯代数处理已有可
能, 但Schubert演算的合理性仍待解决。至于代数几何的基础, 已由
B.L.Vander Waerden(1938 年 -1940年) 与A.Weil(1950 年) 建立。
16. 代数曲线与曲面的拓扑 曲线与曲面的拓扑学、常微分方程
定性理论
对问题的前半部分, 近年来不断有重要结果得到。至于后半部分
,и.T.п eтроъский[ 前苏联] 曾声明, 他证明了n=2 时极
限环的个数不超过3,但这一结论是错误的, 已由中国数学家举出反例
(1979 年) 。
17. 正定形式的平方表示式 域( 实域) 论
已由Artin 于1926年解决。
18. 由全等多面体构成空间 结晶体群理论
问题的第一部分( 欧氏空间中仅有有限个不同类的带基本区域的
运动群) 于1910年由L.Bieberbarch 肯定解决; 问题的第二部分( 是
否存在不是运动群的基本区域但经适当毗连可充满全空间的多面体)
已由Reinhardt(1928年) 和Heesch(1935 年) 分别给出三维和二维情
形的例子; 至于将无限个相等的给定形式的立体在空间中给以最紧密
排列的问题至今尚未完全解决。
19. 正则变分问题的解是否一定解析 椭圆型偏微分方程理论
这问题在下述意义上已获解决,1904 年,C.Bерн mтейн[
前苏联] 证明了一个两个变元的、解析的非线性椭圆方程, 其解必定
是解析的。这个结果后来又被B ернтейн本人和и. г. п e
тровский[ 前苏联] 推广到多变元和椭圆组的情形。
20. 一般边值问题 椭圆型偏微分方程理论
偏微分方程边值问题的研究正在蓬勃发展。
21. 具有给定单值群的线性微分方程的存在性 线性常微分方程
的大范围理论
已由Hibert本人(1905 年) 和H.Rohrl[德,1957 年] 解决。
22. 解析关系的单值化 Riemann曲面论
一个变数的情形已由P.Koebe[德,1907 年] 等人解决。
23. 变分法的进一步发展 变分法
Hilbert 本人和许多其他数学家对变分法的发展作出了重要的贡献。