物理學和數學從來都是緊密聯繫在一起的，儘管殊途然而同歸。
在剛剛過去的二十世紀裡，物理學和數學都經歷了前所未有的革命,而
兩者的密切合作更是奏響了人類文明史上的動人篇章.作為上個世紀物
理學發展的基礎理論,廣義相對論和量子力學都使用了大量的數學工具，
包括Riemann幾何，微分方程，線性代數和群論，隨後出現的量子場論
則逐漸把拓撲學和大範圍微分幾何納入其中，同時把群論尤其是Lie群
和Lie代數運用的更加嫻熟。此時，數學家的寶庫仍然是豐富多彩的，
物理學可以隨意使用,不感到匱乏。但是到了七十年代，一批前衛的粒
子物理學家在嘗試將內部與外部對稱性結合起來的研究中,發現當時的
數學工具已經無能為力，於是他們撇開數學家,獨立發展了超對稱的數
學基礎。在這段時期，物理學對於數學的影響一直是間接的，比如，
Einstein使用了Riemann幾何以描述他的物理思想，這促使數學家恢復
了對其的興趣並將其大大發展,甚至有的問題在物理學家加以研究之前，
數學家根本無法了解它們的重要性和解決的可能性,但是數學家畢竟很
少從物理學家那裡找到現成的結論可供使用.但在二十世紀的最後二十
年,情況發生了意想不到的改變，物理學中超對稱理論的建立為數學家
研究Clifford代數提供了豐富的資源,物理學中某一類精確可解模型的
研究直接導致了Hopf代數的誕生,而二十年來超弦的發展即使在物理學
上是毫無意義的，也會在數學史上留下深深的痕跡。1990年,理論物理
學家Witten獲得了數學界的最高獎---Fields獎，這或許可以作為物理
學對數學所產生的巨大影響的最好詮釋。
一）量子理論和紐結的拓撲
物理學和幾何學之間相互激發的歷史已經相當長了，在Euclid時代，幾
何被用來刻畫物理空間，這一空間後來成為Newton力學中的參考系。
Maxwell理論和Einstein理論的出現大大加深了人們對幾何學的認識，
這引發了二十世紀微分幾何在多方面的發展。幾何學研究對象是可以測
量的量，比如距離，角度，曲率等，它在本質上是一門定量的學科。與
此相反，拓撲學是一門定性的學科，它研究可測量量被去掉以後的幾何
性質。舉例來說，假如桌子上有一根細線，幾何學研究的是這條線的長
度和精確形狀，拓撲學研究的是它繞桌面上一個點轉過的圈數，而這一
圈數必為一整數，並且與線的長度和精確形狀無關。
紐結和環結是拓撲學家非常關心的一個概念，對紐結和環結的研究也是
一個很典型的拓撲學的工作領域。1928年，Alexander 發現可以利用具
有整數係數的多項式為紐結或環結定義一個不變量，不同的多項式對應
於不同的紐結或環結。這個工作的重要意義在於能夠在一定程度上對所
有紐結或環結進行分類，它的缺點是無法區分開紐結或環結和它的鏡像。
大約60年以後，也就是在1987年，Jones 找到了一個新的多項式表示紐
結和環結不變量，它比Alexander 多項式的優越之處在於能夠區分紐結
或環結和它的鏡像。到這時候，關於紐結和環結的討論仍然僅局限於數
學的範圍內，然而令人吃驚的是，在兩年之後，物理學家Witten賦予了
Jones 多項式一個非常優美的量子理論解釋，這就把純粹的數學研究與
粒子物理的最前沿成果緊密地結合在一起了。在由兩維物理空間和一維
時間構成的三維時空中，Witten選擇了一個恰當的量子場論模型，發現
Jones多項式就是Chern--Simons理論中Wilson圈算子的真空期望值，它
們的拓撲不變性由理論滿足廣義協變性得到保證。
現在，我們已經有了很多量子理論與拓撲學結合研究的例子，為了描述
這些不尋常的現象，近十五年來物理學家和數學家發展了一個新的研究
領域--拓撲量子場論。Witten獲得Fields獎也主要是因為上述工作.
二)四維流形研究的新進展
對於大於和等於五維的流形，人們很早就有了很好的處理可微流形的理
論，而一維和二維流形因其可以嵌入三維流形中計算而實際上非常容易
描述。真正構成困難的是三維流形和四維流形，其中三維流形可用上節
提到的Jones方法以及由Thurston 獨立發展的方法進行研究，雖然這些
方法不是完備的，但是已經比較成功。與其他維數的流形不同，四維流
形是解析結構最為豐富（理論上有無窮多種）的流形，它有一個其他維
數流形所不具有的奇異空間，即與四維Euclid空間拓撲等價但微分結構
不同的奇異四維空間。因此，對於數學家來說，即使我們生活的真實時
空不是四維，對四維流形的研究也是最為激動人心的，而它恰好具有物
理時空維數這一事實則簡直讓物理學家興奮的發狂。
1982年，牛津大學的研究生Donaldson指出，可以用自對偶的nonablien
Yang-Mills方程來研究四維流形的拓撲不變量，此後的大多數關於四維
平滑流形的成果都來自於對自對偶Yang-Mills理論的研究，而Donaldson
不變量也成為研究四維流形結構的基礎。然而，Donaldson不變量的計算
過程極為複雜繁瑣，很多學術論文動輒就達幾百頁。1989年，Witten曾
經指出，對Donaldson不變量的計算，等價於計算四維空間裡N=2超對稱
規範理論中的關聯函數。但是在當時，這項工作的用處不大，因為雖然
在紫外即高能量區域，由於漸進自由行為，可以很方便的進行計算，但
是在紅外即低能量區域，由於耦合過於強烈，對規範理論的研究是完全
不清楚的。
事情的轉機出現在1994到1995年，Seiberg和Witten 的一系列工作掀起
了一場世紀末的理論物理學和數學革命，在長達一年半的時間裡，人們
幾乎每個星期都能看見新的進展，以前困擾人們多時的問題一個又一個
的得到解決。Seiberg和Witten發展了一套解析技術以處理超對稱Yang-
Mills 理論，在四維量子場論中，利用這些技術，物理學家首次得到了
許多一般的精確解，其中最引人矚目的是利用磁單極凝聚機制定量描述
夸克禁閉。Seiberg和Witten 理論的核心思想是自然界廣泛存在對偶現
象（電－磁對偶，粒子－孤子對偶，強耦合－弱耦合對偶等），利用對
偶性質，能夠很好地求解非阿貝爾規範理論中的強耦合區域即紅外區域。
由於上面所提到的規範理論和Donaldson不變量之間的關係，Seiberg和
Witten的工作除了為物理學帶來新的曙光，也在拓撲學中引發了一場徹
底的革命。在他們理論的框架內，Donaldson 不變量的計算化為數出磁
單極方程經典解個數的問題，從而成千倍的簡化了對四維平滑流形的研
究。
為了擺脫物理學對數學的影響，十九世紀的數學家曾立誓要創造出真正
純粹的數學。群論建立之初就被數學家寄以厚望，他們認為終於發展了
一個永遠也不會被用於物理學的數學理論。他們又一次失望了，實際上
Lie 群已經成為研究基本粒子物理的基礎數學工具，而分立群則是固體
物理和化學物理工作者的通用語言。但是，至少數學家已經不像他們的
前輩那樣必須從物理學中發掘數學問題，他們在研究數學時已不必理會
物理學家在做些什麼，至於他們的成果屢屢被物理學家拿去使用，那隻
能說明他們發展的數學理論不但優美而且有不斐的實用價值。因此，當
陳省身發現以他名字命名的數學名詞頻頻出現在理論物理學家的文章中
時，當Atiyah和Singer發現他們的指標定理被理論物理學家用來研究粒
子物理時，他們的心情肯定是非常自豪的。但是，Atiyah卻驚奇地發現，
他的學生Donaldson 必須要從物理學家那裡借用方法來研究拓撲和幾何
學，而陳省身的學生丘成桐則毫不猶豫地投身於廣義相對論和超弦理論
的研究之中。數學和物理學在單飛近二百年以後，在二十世紀的最後二
十年裡，終於又走到了一起，《三國演義》中傾情演繹的天下大勢，竟
然毫無二致地在數理科學的身上重現。
數學講究嚴密和邏輯，物理學依賴事實和猜想，數學家每走一步都要有
確鑿的理由，而物理學家則常常憑直覺一步到達事物的核心，然後再轉
回來尋找理論根據。數學家的缺點在於過於相信推理以至很難在觀念上
實現大的飛躍，正如丘成桐所說，“。。。在這個年代，我們（數學家）
要搞清楚物理學家在量子場論方面的直觀是怎樣訓練出來的，因為我們
本身沒有這方面的觀念”，“二十一世紀至少前幾十年在無窮維空間上
的幾何，要不停地受到量子場論的影響，因為我們很容易定義什麼叫做
無窮維空間上的幾何，可是往往沒有辦法得出任何有意義的結論。這是
因為我們沒有辦法把物理上的觀念搞清楚，而無窮維幾何通常不是直觀
可以得到的，所以往往需接受物理或其他自然科學供給的觀念來使我們
向前走。。。”
而人的想象力也不可能無限豐富，因此，物理學家除了猜想還需要藉助
強大的數學工具。現在，物理學家是除數學家外學習數學最多的人，有
着良好數學修養的物理學家更能夠清晰而有效的表達自己的思想。正如
Salam所說，“最近幾年中我們看到拓撲學、同倫、上同調論和Calabi-
Yau 空間、Riemann面、模空間---真正的、活生生的數學正在滲透到物
理中來，我們了解更多真正的數學，就可以具有更深的洞察力”。
