评几句紫荆棘鸟的阿列夫0问题（顺便解之）

送交者: 定理 2010年09月07日20:38:16 于 [教育学术] 发送悄悄话

一、原来全伊今天‘势’‘势’了半天的‘势’，指的是cardinality。是谁译的这么糟糕? 二、紫荆棘鸟提的问题 － －－－－－－－－ 整数集的势记为 A0 (阿列夫0)。 大家知道，对无穷集合，A0 是最小的。 现在来个假设 (先请不要批评这个假设)，假设 A0 是某个集合 S 的幂集的势，那么 ||S|| < A0， 但是 S 显然不是有限集合，所以 ||S|| >= A0。 这个显然矛盾。 当然最简单的解释是，这个集合 S 不存在 ---- 如果这样，这个问题就没意义。所以，有什么理由一定得假设 S 不存在吗？ －－－－－－－－ 如果上面引用的头一二段里句句都是真的，那么结论不是紫荆棘鸟的末段里的‘这个问题没意义’，而是她的假设‘A0 是某个集合 S 的幂集的势’是不真的。 三、紫荆棘鸟不应该不懂我上面的第二点，所以她最后的问题，应该是装傻下圈套。 四、上面引用的紫荆棘鸟的头一二段当然是错的。错的地方是她所称的 ‘假设 A0 是某个集合 S 的幂集的势，那么 ||S|| < A0’。 为甚么错？因为存在一个cardinality等于阿列夫0的集合、其幂集的cardinality也等于阿列夫0。要找这样的集合不难，这就是一个：从2数起的质数所组成的集合，名之曰 Ｓ。 要证明Ｓ的cardinality＝阿列夫0，我们只需构造一个从Ｓ到整数的一一对应。如下就是一个如此的一一对应： 任取Ｓ里的一个元素，姑命之曰T，构造一个正整数如下： 2^(T, 2) * 3^(T, 3) * 5^(T, 5) * 7^(T, 7) * ... * p^(T, p) * ... 上面的 2, 3, 5, 7, ..., p, ... 是从2数起的全部质数；对任一质数p，若p包含于Ｔ，则(T, p)＝1，否则(T, p)＝0。 明显地，不同的Ｔ，按以上方法构造出的正整数也就不同。所以是一一对应。 结论：紫荆棘鸟提的问题没有意义，但原因并非她所猜的‘A0 是某个集合 S 的幂集的势’的那个‘集合 S 不存在’，原因恰是那样的集合Ｓ存在。

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