學校研究生院要我為《研究生教育》寫一篇文章，這使我回憶起自己做華羅庚老師研究生的那些難忘的日子。我願意把它講述給現在的年輕研究生們，並藉此寄託我對導師的懷念之情。

一

和中國的許多學生一樣，我在孩童時期就對數學着了迷。我和妹妹只吵過一次架，而且我把她揍得很兇，那是因為在小學時她把我的數學習題本剪碎了，使我心疼至極而憤怒得失去控制。在天津一中上高二時，每個星期天中午不吃飯，跑到天津市圖書館去讀華羅庚的《數論導引》。高三畢業時，中國科技大學招生人員來天津一中，說1958年我校上屆學生朱濱考上科大，使天津一中的信譽很高，動員我們也考科大。我在招生手冊中看到華羅庚給科大58級學生上課的一張照片，便馬上報了名。在科大五年（1959—1964）的大學生活是難以忘懷的。那時的科大學生生活真正是“團結、緊張、嚴肅、活潑”。學校領導對我們的教導是：他們和先烈們創建了統一的新中國，我們的任務就是努力學好知識，把中國建成強大的國家。當時的祖國一派生機勃勃，年青人充滿了單純的理想。我在科大踏踏實實地念了五年數學。許多老科大人都知道科大數學系有三條“龍”，即華龍（華羅庚）、關龍（關肇直）和吳龍（吳文俊），我在大學前三年屬於關龍，關肇直老師的課有一種高屋建瓴的氣勢，並富有哲理性。我也聽過吳文俊先生的代數幾何課，每次課一氣呵成，條理清晰，思路敏捷。到了1962年，華羅庚要在我們班開設代數與數論專業，我成了這個專業的學生。當時教我們代數的是華羅庚、萬哲先和曾肯成三位大家，教數論的是王元和吳方兩名高手，輔導教員是謝盛剛和徐誠浩，在這樣的教授手下學習真是令人振奮。1963年，吳方老師帶我做大學畢業論文，題目是《橢圓內的整點問題》，那是把陳景潤關於圓內整點的最新結果推廣到橢圓上，曾經得到陳景潤的親自指點。文章作好後，華羅庚同意作為大學畢業論文，並發表在《科大校慶五周年論文集》中，這是我的第一篇學術論文。1964年畢業前夕，我考上了華羅庚的數論研究生。

二

華羅庚在60年代共招了11名研究生，他任科大副校長之後，把很大的精力放在科大培養學生。62年研究生為鍾家慶、孫繼廣、曾憲立和陸洪文，63年為林秀鼎，64年為徐傳宣、那吉生、賀祖琪、陳文德、裴定一和我。我們分別學習華羅庚從事的三個重要研究方向：多複變函數論、代數學和數論。他給我定的方向是代數數論。40年代他本人在美國作過不少傑出的數論工作。回國後於50年代培養了一批優秀的解析數論學生（陳景潤、王元、越民義、吳方等）。但他一直希望有人繼續從事代數數論工作。這期間，他和王元正在從事數在積分近似計算中的應用的研究，考慮用分圓域的單位構作積分插值，減小高維積分的計算量並提高誤差精度。我對代數和數論相交叉並有實際應用的這個研究領域非常合意。華羅庚指導研究生的方針是以自學為主，指定要念的書，參加一些討論班，並平均每兩周和他談一下學問。他要我念一本Landau的書：《代數數域上的解析方法》，要我念幾篇文章，包括他和王元正在做的積分近似計算的文章初稿。參加他主持的一個“不等式”討論班，大家共同討論Bellman當時剛出版的一本關於不等式的書。參加討論班的除了我們研究生，還有其他專業的科大教員，比如有作概率論的殷湧泉。在一個權威人士帶領下，不同學科的人員共同討論一個課題，是華羅庚從事研究和培養人材的十分顯著的特點。而且每個討論班都有明確的長遠目的。他組織“不等式”討論班的目的是鍛煉我們的基本功，更長遠的想法是他想從事數理經濟學的研究，不等式是一個重要工具。這個討論班給我的印象極為深刻。在討論班第一次課上他說：“我叫你們念這本書是因為我不認為這本書寫得很好”。他認為，用他精湛的矩陣技巧可以更系統地整理此書中許多矩陣不等式，歸結於少數幾個手段，使書中的內容看起來非常簡單。這是他一貫倡導的“從薄到厚，又從厚到薄”讀書方法的典型體現。記得我在他這種不迷信前人的薰陶之下，改進了此書中的一個不等式，並且在某種意義下改進到最佳程度。聽殷湧泉和當時華羅庚的秘書王柱對我講，華對我的結果和方法頗為欣賞，但他並沒有為此事當面誇獎過我。他對學生的要求是非常嚴格的。他要我們幹的事，都要定期有個交待，決不能抱有“他會忘記”的僥倖心理。每次見他之前，都抱着小心翼翼的敬畏的心情，不但在數學上作好準備，而且要想好如何答覆他提出的問題。對於不滿意的學生他會當眾訓斥（但是次數不多），但對符合心意的人，或者看到我們的成績，他是由衷高興的。這從嚴的要求使我終生受益匪淺，督促我學業不斷進步，永不自滿。正是在1964年，張勁夫和郁文等有遠見的中科院領導決定成立中科院研究生院，把在全國各所的研究生集中到北京中關村學習一年。我們一共分成四個班，大家的專業從數理化一直到考古學，我對這些五花八門的專業感到很新奇，大家相處很融洽。1965年，我去北京順義縣“四清”，然後就開始了“文化大革命”，所以，我的研究生學習只進行了不到一年。1968年10月，我們六位同班同學均被分配到北京之外，我被分配到山西太原公司在動力廠當電工。1973年5月回到已下遷合肥的科大，不久去北京隨萬哲先老師學習代數編碼理論。萬哲先老師組織我們幾位舉行代數數論討論班，隨後北大的聶靈沼、丁石孫先生也參加進來。於是時隔8年，我又重操舊業，繼續華老師叫我從事的工作。1979—1981年，我去美國進修，學習了西方代數數論的新進展，直到今天，這仍是我的主要研究方向。

三

華羅庚老師於1985年6月12日在日本東京大學的講台上猝然倒地，至今已經9年了。他對世界數學的傑出貢獻是舉世公認的。他的治學精神和對待人生的態度，則集中表達在他經常講的名言警語之中。他多次講過“天才在於勤奮，聰明在於積累”。熟悉他經歷的人都懂得這句話的份量。華羅庚於1910年11月12日出生在江蘇省金壇縣。父親華瑞棟開代銷店。華羅庚在金壇中學初中畢業後，家裡無力供他上高中，便幫助父親經營小店。1928年，金壇發生流行瘟疫，他的母親染病去世，他也臥床六個月未翻身，導致左腿殘廢。就在這時，留法回國的王維克在金壇中學教書，借書給華羅庚看（一本大代數，一本解析幾何，一本50頁的微積分）。他開始對數學着迷，邊站櫃檯邊自學數學。由於影響作生意，他父親多次要撕掉他的“天書”。1929年他在《科學》第14卷上發表了第一篇論文。他的第二篇論文（1930年《科學》第15卷）引起清華大學數學系主任熊慶來的注意。他於1931年推薦華羅庚作數學系助理，管圖書、公文和打字等。至1933年，他的數學水平和能力已為大家公認，由於葉企蓀教授仗義執言（“清華出了個華羅庚是好事，不應資格問題限制人才使用”）。他破格提升為助教，教微積分。1935年又升為教員，這期間，他除了對高等數學基礎知識全面認真學習之外，對數論尤有興趣，曾受到楊武之教授的指點。1936年法國數學家阿達瑪和美國數學家維納來清華系統講學，好學勤奮的華羅庚使他們深深感動。1936年，在維納推薦下華羅庚以訪問學者身份去英國進修，在劍橋大學受著名解析數論學家哈代的指點。至此，由於他頑強的努力和眾多專家的引薦，他終於登上了數學研究的世界舞台。在這裡，起根本作用的是他自強不息的精神，即他所說的，要“鍥而不捨，持之以恆”，“勤奮刻苦”。誠如他於1980年3月的一次為別人的題詞：“苦幹猛攻埋頭干，熟能生出百巧來。勤能補拙是良訓，一分辛苦一分才”。我到他家或辦公室去，總是看到桌上鋪滿了書籍和草稿紙。1978年他已身背氧氣瓶，我到北京醫院去看他，他正躺在床上計算分圓單位，尋找新的恆等式，親手把布滿公式的一個筆記本交給我。後來，裴定一和我完成了他的一個想法，儘管他和王元都參與過這項研究，他讓裴和我發表了（1980年），這是他（在病床上）指導我的最後一篇論文。我還要講一件事，那是在78年前後，我去北京時中午常在他辦公室休息。每天午睡前都要從一個布袋裡隨機地抽取五封信讀讀，那是從全國各地寄給他的。多數表達了人們對他的熱愛和敬仰，其中也不乏溢美之詞，有些甚至到肉麻的程度。他逝世後，中科院數學所在他辦公室里整理出足足四麻袋草稿紙！這些年來，我常把這個故事講給年青人，希望他們不要只看到那個布袋，不要只看到他的成績和榮譽，而那四個麻袋是他勞動和汗水的化身，才是他的真正價值。當前改革開放的形勢為年青人創造了更多的機會，但也助長了某些人逃避艱苦的思想。我相信，任何一種真正的事業都是通過艱苦勞動得來的，我這種堅定的信念來源於華羅庚老師的榜樣：儘管他是天才，他仍然勤奮了一生！

四

華羅庚非常強調基本功的重要性。首先，他捨得在基礎知識上多花工夫，他說“在中學時，別人花一小時，我就花兩小時。而到工作時，別人花一小時解決的問題，我有時就可能用更少的時間去解決了”。他多次對我們講過，他花了整整兩年去念了Weyl的《群表示論》一書，一直到他認為真正念懂了，並且化成了自己的語言—矩陣，然後作為工具研究多複變函數，寫了《典型域上調和分析》一書。“基本功要練成什麼樣呢？”他說“要練得很熟，熟了才能有所發明和發現，熟能生巧，在練基本功時最忌諱好高婺遠，不要怕粗活，不要輕視點滴工作。輕視困難和懼怕困難是孿生兄弟，往往會出現在一個人身上，例如有人輕視複雜的計算，實際上是懼怕計算。我看見過不少青年，眼高手低，淺嘗輒止，匆匆十年，一無成就。”他把練基本功比喻為練拳，要“拳不離手，曲不離口”。他鼓勵年青人，做學問要勇於和強者較量。為此，他把“班門弄斧”這句成語反其道而行之，主張“弄斧必到班門”。只有和強者較量才能增長見識和做出高水平成果。另一方面，他又強烈主張不迷信別人，“只是跟着別人的腳印走路，那就總要落後別人一步”，“在科學研究中最主要的精神之一是創新精神”。他多次對我們講，要做出好的文章，關鍵是要有幾手自己的“招路”和“拿手好戲”，別人都不如你，這樣你才能做出新的東西，人家才注意你。華羅庚的這一治學思想對他的學生影響極大。前面說過，華羅庚對矩陣工具的純熟使他在數學的多個領域中都取得國際水平的成就，並使研究工作有他自己的特點。曾肯成先生曾有一句戲言：“龍生龍，鳳生鳳，華羅庚的學生會打洞”，所謂“打洞”即指矩陣對角化，使非對角元素均為零。又如：他對於體的研究也是很獨特的他發現了體一些別開生面的恆等式，由此出發建立了體上許多新奇結果。這種方法經曾肯成又傳李尚志，使李尚志近年來在體上典型群的極大子群研究中得出國際上最完整和系統的成果。華羅庚用矩陣工具發展出矩陣幾何，並用來研究模形式理論，他和他的學生萬哲先寫了《典型群》一書。在六十年代，萬哲先帶領學生們用限域上典型群理論系統地構作試驗設計方案，近來又用於編碼理論。在解析數論方面，他的許多世界一流的貢獻歸結於他對數論工具的創新。他還和王元一起發展了近似計算的數論方法（國際上稱為華—王方法）。這一切表示出華羅庚的數學研究有一種鮮明的個性，具有從龐雜中看透本質的深刻洞察能力和一種數學大家的風範，體現着勇攀高峰的強烈創新精神。這種風格深深地影響了下幾代而形成“中國學派”。

五

華羅庚對於中國的數學教育和科學發展傾注了極大的熱情，也發表了許多精闢的見解。他多次為全國各地中學生和中學教員做演講，是中國數學競賽的創始人之一。1981年他訪美六個月，受到48個大學的邀請，訪問了其中26所美國大學，感觸頗深，寫了一個匯報。在匯報中他對於中外的數學教育作了對比，對於中國的教育和科研提出許多中肯的意見。這裡只舉幾個例子，他認為，“中國人一般刻苦用功，考試可以得好分數，但創造性的思考欠缺，這和國內填鴨式教學有關”。他極力主張派人出國學習，至於這些人的回國問題，關鍵不在於“物質上差異”而在於“安置好他們的工作，讓他們發揮作用”。他認為“研究人員應當教書，有助於他的研究工作和培養新人”，研究所“人數要少而精”。“我們某個所的黨委書記給外賓介紹情況說：我們所很小，只有六百人，云云，已被人傳為笑談”，“研究員和教授不應都是永久牌的”。對於學術評價，他也有兩句名言：“早發表，緩評價”，“努力在我，評價由人”，“我認為這對學術的發展是有益的，我們以往有許多評價太急，在國外造成不好的印象，在國內我就不知道有華不等式，華方程、華算子、華定理等第，出來之後才知道那是指的什麼，好的工作，國外人家是不會抹煞的，與其自己這樣說倒不如遲十年二十年由人家說去”。對於目前學術鑑定會過濫和自己動不動就稱為“國際水平”的風氣，華羅庚的這些話是很值得深思的。以上是我想到的華老師的教誨。但我還沒有說到他對我更重要更深遠的影響，這個影響在我作學生的時候並沒有多少察覺。因為那時我還是未出校門閱歷不深的學生，在我到了中年，經歷了社會的風風雨雨，這種影響才顯露出來，那就是一個人應當如何對待困難和挫折，如何選擇人生的道路。我已經說到華羅庚少年和青年時代之艱苦，我也聽過華師母淚流滿面地訴說，丈夫遠渡重洋去英國求學時，她隻身一人在上海照顧兩個生病的孩子，可以想象一個殘疾人離開妻子兒女是什麼滋味。1937年抗日戰爭爆發，華羅庚從英國回來，在昆明市的西南聯大作教授。據段學復回憶，他們的討論班常被敵機轟炸中斷，華羅庚拖着殘腿跑路極不方便，有一次被彈片濺起的泥土蓋住全身，後來索性住在農人家裡。1946年華羅庚到了美國，1948年成為伊利諾大學正教授，他的數學研究處在頂峰時期，工作也有了保障，這對於艱苦奮鬥了半生的華羅庚，無疑是極好的人生歸宿。然而，他在1950年2月又毅然放棄了優厚的職位，攜全家動身回到新中國，這是他一生中最重要的抉擇！

六

對於他的回國，特別是看到或聽到他回國後的坎坷經歷，國內外數學家歷來有各種不同的看法後評價，他在美國的不少朋友都抱有惋惜之情，華羅庚自己則是充滿信念的。在回國途中，他發表了熱情洋溢的《致中國全體留美學生的公開信》，信中說：“梁園雖好，非久居之鄉，歸去來兮！……為了抉擇真理,我們應當回去，為了國家民族，我們應當回去，為了為人民服務，我們也應當回去！”1992年，美國數論學家哈潑斯坦在國際數論雜誌《Acta Arithmefiea》上寫了一篇紀念華羅庚逝世的文章，文中說：“如果有許多中國數學家現在在科學的新領域中作出特殊的貢獻，如果數學在中國享有異常的普遍尊重，那就要歸功於作為學者與教師的華羅庚50年來對他國家的數學事業所作的貢獻”。研究數學史的美國人貝特曼寫道：“華羅庚一直是中華人民共和國第一流的科學巨人之一，像愛因斯坦在美國一樣，最後成為本國傳奇式的科學家，……人們可能會設想，如果他留在西方，他將可能完成更多的個人研究計劃。然而，如果這樣做，他就不可能如他最後30年所做的，在中國發展數學及其應用中起到中心作用”。他的好友賽爾伯格也說：“要是華羅庚像他的許多同胞那樣，在第二次世界大戰之後仍然留在美國的話，毫無疑問，他本來會對數學作出更多的貢獻。另一方面，我認為，他回國對中國是十分重要的，很難想象，如果他不曾回國，中國的數學會是什麼樣”。上屆美國數學會主席格雷厄姆也說：“華羅庚比起歷史上任何一位數學家來，受他直接影響的人可能更多。”這些外國人對華羅庚的評價他是當之無愧的。華羅庚於1950年3月16日到達北京，執教於清華大學數學系，並籌備成立中科院數學所。1952年被任命為所長，一切工作重新開始。他諸方網羅人材，生氣勃勃，工作進展神速，先成立數論組（華羅庚，越民義，王元，許孔時，吳方，魏道政）和微分方程組（吳新謀，秦元勛，王光寅，丁夏畦，邱佩璋），後成立代數組（華羅庚，陸啟鏗，龔升），拓撲組（吳文俊，張素誠，孫以豐），泛函分析組（關肇直，田方增，馮康），數理邏輯組（胡世華，唐稚松，陸鍾萬），概論統計組（張宗燧，戴元本），力學組（莊逢甘等），計算機設計組（閔乃大，吳幾康，夏培肅），他從廈門大學調來陳景潤，親自領導“數論導引”和“歌德巴赫猜想”兩個討論班，數學所還向全國開放。從回國到1957年，他的工作受到毛主席和數學家們廣泛支持，寫了四本專著，工作十分有成效。他在50年代的許多學生後來為中國數學作出傑出貢獻，或者改行後，在計算機科學等領域成為學術帶頭人。

七

1957年反右運動中他成了數學所重點批判對象。在1962年，他又以極大的勇氣整頓數學所，提倡在研究實習員中進行基礎課考試，成績太差的調離，並開闢“練拳園地”以增強學術空氣。但好景不長，華羅庚這些作法被說成是“資產階級的反功倒算”，使他非常灰心，幾次對我們說：“數學所的所長我不幹了，沒什麼關係，廁所也是所。”於是，他把工作重心轉到中國科技大學。從1958年，他的研究工作明顯地放慢了速度，但仍以固有的頑強毅力，在科大重整旗鼓，培養學生，把王元也帶到科大來。並開始從事積分近似計算和統籌優選化等應用性研究工作。1966年文革開始，他被抄家，手稿散失，至今沒有下落。他遭到多次批判，被罰打掃數學所的廁所。直到1970年3月4日，周恩來批示要保護華羅庚，將他的關係轉到人大常委，才得以安靜。他仍然到全國各地推廣優選法。1976年文革結束，他積極工作，但已年邁體弱，力不從心，患心肌梗塞多次，背起氧氣瓶還提出“甘作人梯”的口號，一直工作到倒在東京大學的講台上。1982年，他回憶起剛回國時的心情說：“50年由美國回來時，好象入伍的新兵，鬥志旺盛，一心想在祖國建設中盡一份力”。他為祖國耗盡了最後一份精力，他的一生有許多好的機遇和順利的環境，也有不少艱難與困苦。他在任何環境中都自強不息和勇於開拓，使我們永不忘懷。對於那些艱苦創業的人們，人類歷史總是給予特殊的地位。今天，我們國家的政治和經濟上都有很大進步，但也仍有許多不盡人意的地方，讓我們以華羅庚為榜樣，克服困難，繼續勇敢地向前邁進！