龐加萊，J． H．(Poincaré， Jules Henri)1854年4月29日生於法國南錫；1912年
7月17日卒於巴黎．數學、物理學、天體力學、科學哲學．
龐加萊的父親萊昂(Léon，Poincaré)是一位第一流的生理學家兼醫生、南錫醫科
大學教授，母親是一位善良、聰明的女性．龐加萊的叔父安托萬(Antoine，Poincaré)
曾任國家道路橋梁部的檢查官．龐加萊的堂弟雷蒙(Raymond，Poincaré)曾於1911年、1
922年、1928年幾度組閣，出任總理兼外交部長．1913年1月至1920年初，擔任法蘭西第
三共和國第九屆總統．
龐加萊的童年是不幸的，也未表現出什麼超人的天才．在幼兒時，他的運動神經共
濟官能就缺乏協調，寫字畫畫都不好看．5歲時，白喉病把他折磨了9個月，從此就留下
了喉頭麻痹症．疾病使他長時期身體虛弱，缺乏自信．他無法和小夥伴作劇烈的遊戲，
只好另找樂趣，這就是讀書．在這個廣闊的天地里，他的天資通過家庭教育和自我鍛煉
逐漸顯露出來．讀書增強了他的空間記憶(視覺記憶)和時間記憶能力．他視力不好，上
課看不清老師在黑板上寫的東西，只好全憑耳朵聽，這反倒增強了他的聽覺記憶能力．
這種“內在的眼睛”大大有益於他後來的工作，他能夠在頭腦中完成複雜的數學運算，
他能夠迅速寫出一篇論文而無需大改．
15歲前後，奇妙的數學緊緊地扣住了龐加萊的心弦，他曾在沒有記一頁課堂筆記的
情況下贏得了一次數學大獎．1873年底，龐加萊進入綜合工科學校深造．1875年，他到
國立高等礦業學校學習，打算做一名工程師，但一有閒空就鑽研數學，並在微分方程一
般解的問題上初露鋒芒．1878年，他向法國科學院提交了關於這個課題的“異乎尋常”
的論文，並於翌年8月1日得到數學博士學位．由於工程師的職業與他的志趣不相投，他
又想做一個職業數學家．在得到博士學位後不久(1879年12月1日)，他應聘到卡昂大學作
數學分析教師．兩年後，他提升為巴黎大學教授，講授力學和實驗物理學等課程．除了
在歐洲參加學術會議和1904年應邀到美國聖路易斯科學和技藝博覽會講演外，龐加萊一
生的其餘時間都是在巴黎度過的．
龐加萊的寫作時期開始於1878年，直至他1912年逝世——這正是他創造力的極盛時
期．在不長的34年科學生涯中，他發表了將近500篇科學論文和30本科學專著，這些論著
囊括了數學、物理學、天文學的許多分支，這還沒有把他的科學哲學經典名著和科普作
品計算在內．由於他的傑出貢獻，他贏得了法國政府所能給予的一切榮譽，也受到英國
、俄國、瑞典、匈牙利等國政府的獎賞．早在33歲那年，他就被選為法國科學院院士，1
906年當選為院長；1908年，他被選為法蘭西學院院士，這是法國科學家所能得到的最高
榮譽．
龐加萊被認為是19世紀最後四分之一和本世紀初期的數學界的領袖人物，是對數學
和它的應用具有全面了解、能夠雄觀全局的最後一位大師．他的研究和貢獻涉及數學的
各個分支，例如函數論、代數拓撲學、阿貝爾函數和代數幾何學、數論、代數學、微分
方程、數學基礎、非歐幾何、漸近級數、概率論等，當代數學不少研究課題都溯源於他
的工作．
1．函數論．如果說18世紀是微分學的世紀，那麼19世紀則是函數論的世紀．龐加萊
是因發明自守函數而使函數論的世紀大放異彩的，他本人也因此在數學界嶄露頭角．
所謂自守函數，就是在某些變換群的變換下保持不變的函數．自守函數是圓函數、
雙曲函數、橢圓函數以及初等分析中其他函數的推廣，它不僅對其他各種應用是重要的
，而且在微分方程理論中也扮演着主要的角色．
自守函數的名稱今天已用於包括那些在變換群z′=(az+ b)/(cz+d)或這個群的某些
子群作用下的不變函數，其中a，b， c，d可以是實數或複數，而且ad-bc=1．此外，在
複平面的任何有限部分上，這個群完全是不連續的．更一般的自守函數則是為研究二階
線性微分方
1880年以前，F．克萊因(Klein)在自守函數方面作了一些基本的工作，後來他在188
1年至1882年與龐加萊合作．龐加萊在受到I．L．富克斯(Fuchs)有關工作的吸引而注意
到這件事後，對這個課題已作了先行的工作．他以橢圓函數理論為指導，發明了一類新
的自守函數，即他所謂的富克斯函數，這是比橢圓函數更為普遍的一類自守函數．後來
，龐加萊把分式變換群擴充到復係數的情況，並考慮了這種群的幾種類型，他把這種群
叫克萊因群．對這些克萊因群，龐加萊得到了新的自守函數，即在克萊因群變換下不變
的函數，龐加萊把它叫做克萊因函數．這些函數有類似於富克斯型函數的性質，但基本
域比圓要複雜．此後，龐加萊指出如何藉助於克萊因函數表示僅有正則奇點的代數係數
的n階線性方程的積分．這樣，整個這類線性微分方程都可以用龐加萊的這些新的超越函
數來解了．
自守函數理論只是龐加萊對於解析函數論的許多貢獻之一，他的每項貢獻都是拓廣
的理論的出發點．他在 1883年的一篇短文中首先研究整函數的格與其泰勒展開的係數或
者函數的絕對值的增長率之間的關係，它與皮卡(E．Picard)定理結合在一起，通過J．
阿達瑪(Hadamard)和 E．波萊爾(Borel)的結果，導致了整函數和亞純函數的龐大理論，
這個理論在80年之後仍然尚未研究完．
自守函數提供了具有某種奇點的解析函數的頭一批例子，它們的奇點構成非稠密的
完備集或奇點的曲線．龐加萊給出另外一個一般方法構成這種類似的函數，即通過有理
函數的級數，這導致後來被波萊爾和A．當儒瓦(Denjoy)所提出的單演函數理論．代數曲
線的參考化定理也是自守函數論的一個結果，它促使龐加萊在1883年導出一般的“單值
化定理”，這等價於存在由任意連通、非緊緻黎曼面到複平面或開圓盤的共形映射．
尤其是，龐加萊是多復變解析函數的創始人，這理論在他之前實際並不存在．他得
到的第一個結果是這樣的定理：兩個復變量的亞純函數F是兩個整函數的商．在1898年，
他針對“多重調和函數”對於任意多複變函數進行了深入的研究，並在阿貝爾函數論中
加以應用．他還在1907年指出了全新的問題，導出兩個複變函數的“共形映射”概念的
推廣，這就是現在眾所周知的、給人以深刻印象的解析流形的萌芽．龐加萊也對多復變
函數的重積分的 “殘數”概念給出滿意的推廣，這是在其他數學家早期對這個問題作了
多次嘗試而揭示出嚴重困難之後進行的．多年後，他的思想在J．勒雷(Leray)的工作中
產生了完滿的結果．
2．代數拓撲學(組合拓撲學)．龐加萊最先系統而普遍地探討了幾何學圖形的組合理
論，人們公認他是代數拓撲學的奠基人．可以毫不誇張地說，龐加萊在這個課題上的貢
獻比在其他任何數學分支上的貢獻都更為使他永垂不朽．
龐加萊先在1892年和1893年的科學院《通報》(Comptes Re－ndus)中發表了一些短
文，然後於1895年發表了一篇基本性的論文，接着是一直到1904年在幾種期刊上發表的
五篇長的補充，這都是論述近代代數拓撲學的方法的．龐加萊認為，他在代數拓撲學方
面的工作與其說是拓撲不變性的一種研究，不如說是研究n維幾何的一種系統方法．我們
現在稱之為單形的同調論的一整套方法完全是龐加萊的發明創造：其中有流形的三角剖
分、單純複合形、重心重分、對偶複合形、複合形的關聯係數矩陣等概念以及從該矩陣
計算貝蒂(E．Betti)數的方法．籍助這些方法，龐加萊發現歐拉多面體定理的推廣(現在
稱之為歐拉-龐加萊公式)以及關於流形的同調的著名的對偶定理；稍後他引進了撓率的
概念．在這些論文中，他還定義了基本群(第一個同倫群)並證明它與一維貝蒂數的關係
，給出兩個流形具有相同的同調但具有不同的基本群的例子，他還把貝蒂數和微分形式
的積分聯繫在一起，敘述了G．德拉姆(de Rham)直到1931年才證明了的定理．有人這樣
正確地說過：直到1933年發現高階同倫群之前，代數拓撲學的發展完全基於龐加萊的思
想和方法．
此外，龐加萊還指出如何把這些新工具用於那些促使發現它們的問題．在兩篇論文
中，他定出了復代數曲面的貝蒂數，以及形如Z2=F(x，y)(F是多項式)的方程定義的曲面
的基本群，從而為後來S．萊夫謝茨(Lefschetz)和W．V．D．霍奇(Hodge)的推廣鋪平了
道路．
3．阿貝爾函數和代數幾何學．當龐加萊一接觸到G．F．B．黎曼(Riemann)和K．魏
爾斯特拉斯(Weierstrass)關於阿貝爾函數和代數幾何學的工作之後，他立即對這個領域
發生了濃厚的興趣．他在這個課題上論文的篇幅在他的全集裡和自守函數的論文篇幅差
不多，時間是從1881年到1911年．這些文章的主要思想之一是關於阿貝爾函數的“約化
”．龐加萊把J．雅可比、魏爾斯特拉斯和皮卡研究過的特殊情形加以推廣，證明了一般
的“完全可約性定理”．並注意到對應於可約的簇的阿貝爾函數，這是推廣某些已有結
果和研究某些函數特殊性質的出發點．
龐加萊在代數幾何學方面的最突出貢獻是他在1910年至1911年間關於代數曲面F(x，
y，z)=0中所包含的代數曲線的幾篇論文．他所運用的卓有成效的方法使他證明了皮卡和
F．塞韋里(Severi)的深刻結果，並首次正確地證明了由G．卡斯特爾諾沃(Castelnuovo)
、F．恩里格斯(Enriques)所陳述的著名定理．在其他問題上，他的方法也極有價值，看
來它的有效性還遠遠沒有窮盡．
4．數論．在這個領域，龐加萊首次給出整係數型的虧格的一般定義．他的最後一篇
數論論文(1901年)最有影響，是我們現在所謂的“有理數域上的代數幾何學”的頭一篇
論文．這篇論文的主題是個丟番圖(Diophantus)問題，即求一條曲線f(x，y)=0上具有有
理數坐標的點，其中f的係數是有理數．龐加萊定義了曲線的“秩數”，並猜想秩數是有
限的．這個基本事實由L．J．莫德爾(Mardell)在1922年予以證明，並由A．韋伊(Weil)
推廣到任意虧格的曲線(1929年)．他們用的是“無限下降法”，這基於橢圓(或阿貝爾)
函數的半分性質；龐加萊在他的文章中發展了一種與橢圓函數的三分性質有關的類似的
計算，這些思想似乎是莫德爾證明的出發點．莫德爾-韋依定理在丟番圖方程論中已成為
基本的定理，但是與龐加萊引入“秩數”概念的許多問題仍然尚未得到解答，更深入地
鑽研他的論文也許會導出新的結果．
5．代數學．龐加萊從未出於代數學本身的需要而去研究代數學，只是當在算術或分
析問題中需要代數結果時才去研究它．例如，他關於型的算術理論的工作使他研究次數
≥3的型，其上作用着連續自同構群．與此有關，他注意到超復系和由超復系的可逆元素
乘法定義的連續群之間的關係；他在1884年就這個問題所發表的短文後來引起E．施圖迪
(Study)和E．嘉當(Cartan)關於超復系的文章．龐加萊在1903年關於線性微分方程的代
數積分的文章又回到交換代數的研究上來．他的方法使他引進一個方程的群代數，並把
它分解為C上的單代數(即方陣代數)．他首次把左理想和右理想的概念引入代數，並證明
方陣代數中的任何左理想是極小左理想的直和．
龐加萊是當時能夠理解並欣賞S．李(Lie)及其後繼者關於“連續群”工作的少數數
學家之一，尤其是，他是早在20世紀初就能認識到嘉當論文的深度和廣度的唯一數學家
．1899年，龐加萊對於用新方法證明李的第三基本定理以及現在所謂的坎貝爾(Campbeel
)-豪斯多夫(Hausdorff)公式感興趣；他實際上第一次定義了現在所說的(複數域上的)李
代數的“包絡代數”，並由李代數已給的基對包絡代數的“自然的”基加以描述，這個
定理在近代李代數理論中成為基本的定理．
6．微分方程．微分方程及其在動力學上的應用顯然處於龐加萊數學思想的中心地位
，他從各種可能的角度研究這個問題，他把分析中的全套工具應用到微分方程理論中．
幾乎每年都要就此發表論文．事實上，整個自守函數理論一開始就是由求積具有代數系
數的線性微分方程的思想引起的．他同時研究了一個線性微分方程在一個“非正則”奇
點的鄰域中的局部問題，首次證明了怎樣得到積分漸進展開．他還研究了如何決定(複數
域中)所有一階微分方程關於y和y′是代數的且有固點的奇點，這後來被皮卡推廣到二階
方程，並在20世紀初期導致P．潘勒韋(Painlevé)及其學派的成果．
龐加萊在這個領域中的最傑出貢獻是微分方程定性理論，它是在其創造者手中立即
臻於完善的．他發現在分析微分方程可能解的類型時，奇點起着關鍵性的作用．他把奇
點分為四類——焦點、鞍點、結點和中心，並闡述了解在這些點附近的性態．在1885年
後，他關於微分方程的論文大都涉及到天體力學，特別是三體問題．
對於物理學問題的持久興趣肯定把龐加萊引向數學物理學的偏微分方程所導出的數
學問題，在這方面他從未忽略他所用的方法和他所得到的結果可能存在的物理意義．他
在1890年的一篇文章中討論了狄利克雷(Dirichlet)問題，發明了“掃散方法”，這種極
其富於獨創性的方法在20世紀20年代和30年代出現的位勢理論上起着重要作用．
此外，龐加萊還在非歐幾何、漸近級數、概率論(例如，他最先使用了“遍歷性”的
概念，這成為統計力學的基礎)等數學分支中也有所建樹．龐加萊在物理學、天體力學、
科學哲學方面的工作請見《世界著名科學家傳記·物理學家Ⅰ》．——編者注.
1911年，龐加萊覺得身體不適、精力減退，他預感到自己活在世上的日子不會很長
了．可是，他不願放下手頭的工作去休息，他頭腦蘊育的新思想太多了，他不願讓它們
和自己一起埋葬．在索爾維會議之後，他投身於量子論的研究，並撰寫論文，發表講演
．同時，他還在思考一個新的數學定理，即把狹義三體問題的周期解的存在問題歸結為
平面的連續變換在某些條件下不動點的存在問題．
臨終前三周，龐加萊抱病在法國道德教育聯盟成立大會上發表了最後一次公開講演
．他說：“人生就是持續的鬥爭”，“如果我們偶爾享受到相對的寧靜，那正是因為我
們先輩頑強鬥爭的結果．假使我們的精力、我們的警惕鬆懈片刻，我們就會失去先輩們
為我們贏得的鬥爭成果．”龐加萊本人的一生就是持續鬥爭、永遠進擊的一生．
1912年7月17日，龐加萊因血管栓塞突然去世．當時他正處在科學創造的高峰時期．
V．沃爾泰拉(Volterra)中肯地評論道：“我們確信，龐加萊一生中沒有片刻的休息．他
永遠是一位朝氣蓬勃的、健全的戰士，直至他的逝世．”
