我 的 數 學 之 路
丘成桐教授
哈佛大學 中國科學院 浙江大學

二零零四年三月二十日

我在香港的郊區──元朗和沙田──長大。

那裡沒有電，也沒有自來水。小時候就在河中洗澡。家中有八兄弟姐妹，食
物少得可憐。五歲時參加某著名小學的入學試，結果沒考上。原因是用了錯誤的
記號，如把57反寫成75，69反寫成96等。

我只能上一所小小的鄉村學校。那裡有很多來自農村的粗野小孩。受到這些
小孩的威嚇，加上老師處理不善，不到一年，我便身患重病。在家中養病的半年，
我思索如何跟同學老師相處。升上小六時，我已經是一群小孩的首領，帶着他們
在街頭亂闖。

家父是位教授。他教了我不少中國文學。可是，他並不知道我曾曠課好一段
日子。﹙或者這是因為我在家中循規蹈矩，他教授的詩詞我也能背誦如流。﹚逃
學的原因是老師不怎樣教學，在學校悶得發慌，不久連上街也覺得無聊了。當時
香港有統一的升中試。我考得並不好，但幸好分數落在分界線上。

政府允許這些落在分界線上的學生申請私立中學，並提供學費。我進入了培
正中學。培正是一所很好的中學。中學生涯的第一年乏善可陳。我的成績不大好，
老師常常對我很生氣。大概剛從鄉村出來，" 野性" 未改吧。

我熱中於養蠶、養小魚，到山上去捉各種小動物。沙田的風景美麗清新，在
大自然的懷抱里，倒是自得其趣，到如今還不能忘懷。

當時武俠小說盛行，我很喜歡讀這些小說，沒有錢去買，就向鄰居借。父親
不贊成我讀這些小說，認為膚淺，但我還是偷偷去看，也看了各種不同的章回小
說如七俠五義、說岳全傳、東周列國志等雜書。

父親從我小學五年級教我詩詞、古文和古典小說如三國演義、水滸傳、紅樓
夢、西廂記等。父親堅持我在看這些小說時，要背誦其中的詩詞。當時雖以為苦，
但順口吟誦，也慢慢習慣。總覺得沒有看武俠小說來得刺激。

但是真正對我有影響的卻不是武俠小說。中國古典文學深深影響了我做學問
的氣質和修養。近代的作品，如魯迅的也有閱讀。記憶深刻的︰「路是人行出來
的，自己的路更要自己去走。」

我們家中常有父親的學生來訪，往往興高采烈的談學問。他們討論時常常談
及希臘哲學，雖然我對希臘哲學不大了解，但卻對它留下深刻的印象。希臘學者
對真理和美無條件的追求是我一生做學問的座右銘。他們對康德的哲學、對自然
辦證法的討論使我莫名其妙，但是久而久之，竟然引起了我對自然科學的興奮。
西方的作品如浮士德、戰爭與和平等文學著作，雖有接觸，但遠不如中國文學對
我的印象深厚。

我開始研讀史學名著史記和左傳。對史記尤其着迷。這不僅是由於其文字優
美、音調鏗鏘，還是因為它敘事求真，史觀獨特。直到現在，我還不時披閱這書。
史學大師駐足高涯，俯視整個歷史，與大科學家的思入風雲，干宇宙之奧秘遙相
呼應。

在當時讀這些文章，大多部份不能夠領會，尤其困難的是讀馮友蘭寫的新原
道和新原人，但是重複的去讀，總有點收穫。

晉朝陶淵明好讀書，不求甚解，每有會意，便欣然忘食。

其實在做科學時，也往往有同樣的經驗，讀書只要有興趣，不一定要全懂，
慢慢自然領會其中心思想，同時一定要做到︰不戚戚於貧賤，不汲汲於富貴。

這是古人的經驗，陶淵明的古文和詩有他的獨特氣質，深得自然之趣，我們
做科學的學者也需要得到自然界的氣息，需要同樣的精神。

在以後的日子裡，我都以此作為原則，以研讀學問為樂事，不以為苦。在父
親的循循善導下，我開始建立我對人生的看法。

到如今，我讀史記至以下一段時，仍然使我心志清新︰司馬遷孔子世家贊天
下君王至於賢人，眾矣！當時則榮，沒則已焉，孔子布衣，傳十餘世，學者宗之。

假如我們追求的永恆的真理，即使一時的挫折，也不覺灰心。

韓愈苟余行之不迷，雖顛沛其何傷。

我讀左傳，始知有不朽的事情。

左傳叔孫豹論三不朽太上有立德，其次有立功，其次有立言，雖久不廢，此
之謂不朽。

以前我以為立德跟立言沒有關係，但是數十年的觀察才知道立德的重要性。
立德立功立言之道，必以謙讓質樸為主。

我有一個學生在南京大學電視台訪問自炫︰「會當凌絕頂，一覽眾山小」，
真輕妄浮誇之言。其實遠山微小，越近越覺其宏大。往往眾人合作才能跨過困難
的地方，在沒有嘗試創作性的學問時，才會說這種膚淺的說話。

在培正的第二年，我多言多動，老師要記我小過。她是我的班主任，責任心
強，誠然是為我好。當她知道家父是位教授，但卻拿着微薄的薪酬後，大為震動。
此後在她悉心栽培下，我在課堂上規矩多了。

就在這年，我們開始學習平面幾何。

同學對抽象思維都不習慣。由於在家中時常聽父親談論哲學，對利用公理進
行推導的做法，我一點也不覺得見外。

學習幾何後，我對父親的講話，又多明白了幾分。利用簡單的公理，卻能推
出美妙的定理，實在令人神往。

對幾何的狂熱，提高了對數學──包括代數──的鑑賞能力。當你喜歡某科
目時，所有有關的東西都變得淺易。

我對歷史也甚有興趣。它培養我對事物要作一整體觀。

事件是如何發生的？

到底是甚麼原故？

將來會如何？

就在這時，父親完成了他的西方哲學史。他跟學生談話，總是說應整體地看
歷史。這種觀念深深地影響了我。

這種想法，在往後的日子中，指引我去尋找研究項目。

父親的書對我有很深的影響。

書中第一頁的引言︰文心雕龍諸子身與時舛，志共道申。標心於萬古之上，而
送懷與千載之下。

這是何等的胸襟。

哲學史的目的有三，一曰求因，哲學思潮其源甚伙，必先上溯以求之。

二曰明變，往昔哲學思想交纏屈結，故重理其脈絡，是為要務。

三曰評論，所有思潮及其流派，皆一一評論，作警策精闢之言。

這三點和自然科學的研究有密切的關係，再加上創新，則可以概括研究的方
法了。

十四歲時，父親便去世了。這或許是我一生中最大的打擊。在一段頗長的日
子裡，對父親離開了我和家人的事實，我都不能置信。

家中經濟，頓入困境，我們面臨輟學。幸得母親苦心操持，先父舊交弟子的
援手，我們才倖免如此。

家中遽變，令我更成熟堅強。困境中人情冷暖，父親生前的教導，竟變得真
實起來。以前誦讀的詩詞古文，有了進一步的體會。

我花了整整半年，研習古典文學和中國歷史，藉此撫平繃緊的心弦。典麗的
詩詞教人欣賞自然之美。

我閱讀了大量數學書籍，並考慮書中的難題。當這些難題都解決掉後，我開
始創造自己認為有挑戰性的題目。

由個人去創造問題此後變成我研究事業中最關鍵的環節。學校的課本已經不
能滿足我了。我跑到圖書館、書店去看書。

我花了許多時間打書釘，閱讀那些買不起的書本。我讀了華羅庚先生寫的很
多參考書，無論在分析或數論上的討論，都漂亮極了。也看了很多幫助課堂解題，
例如陳明哲寫的一些小冊子，一般來說，我會比課程早一個學期做完所有的習題，
所以聽數學課是一程享受。

打從十五歲起，我開始替低年級學生當家教，以幫補家計。我找到一些巧妙
的方法，使成績低劣的孩子搖身變成優等生，為此我覺得有點飄飄然。

我積累了教導年青人的經驗，同時也體會到教學相長的道理。

我們的數學老師十分好。他教授的內容，比課程要求來得艱深，但我覺得絲
毫不費氣力。其實我的同學們雖然叫苦，但是總的來說，數學都不錯，這叫做取
法乎其上，得乎其中。

近代數學的教學方法，恐怕適得其反，取法乎其中，得乎其下。

當時我們的物理老師不太行，對此不無失望。中學時養成不了物理上的基本
直觀，至今於心還有戚戚焉。

國文老師卻是無懈可擊。他是我的父執輩。

他教導我們思想要不落俗套。

國文教師說思惟要自出機杼，讀好書之餘，爛書也無妨一讀，以資比較。因
此我甚麼書都啃。他這種觀點，就是放諸我日後的科學生涯中，也有其可取之處。

作文堂的一個典型題目︰豬的哲學觀於是大伙兒興高采烈，自由發揮。

在班裡我並非名列前茅，數學科的等級也不見得最高。但我比同班諸子想得
更深，書也讀得更多。

中學讀書，除數學外，真正對我前途有影響的是國文和歷史。

現在來談談中學國文和歷史對我的影響。最重要的是立志，覺得做學問是一
輩子的志願。

典論論文曹丕蓋文章，經國之大業，不朽之盛事。年壽有時而盡。榮樂止乎
其身。二者必至之常期，夫若文章之無窮。是以古之作者，寄身於翰墨，見意於
篇籍，不假良史之辭，不託飛馳之勢，而聲名自傳於後。

立志之後，必需培養興趣，而做習題和思考是不二法門︰論語學而時習之，
不亦樂乎。

學而不思則罔，思而不學則殆。

楚辭路曼曼其修遠兮吾將上下而求索

做學問要有興趣，才能深入，但追求學問的道路曲折有致，必須要有毅力，
才能持久。

楚辭亦余心之所善兮雖九死其猶未悔抽思惟郢路之遼遠兮魂一夕而九逝

在中學和大學的教育中最重要的一環是︰培養氣質孟子︰我知言，我善養吾
浩然之氣。

曹丕︰譬諸音樂，曲度雖均，節奏同檢，至於引氣不齊，巧拙有素，雖在父
兄，不能以移子弟。

岑參︰性靈出萬象。

但是師友和讀書的環境卻足以轉變人的情懷雅志。

汪中︰撫弦動曲，乃移我情。

做學問，無論是自然科學或文學都有氣質的問題，從文章中，往往可以看出
作者的修養。

古代注重音樂，從樂聲中可以看見國家的盛衰，也是同樣的道理。

季札觀樂﹙左傳﹚吳公子札來聘，請觀於同樂，使工為之歌周南召南。曰美
哉，始基之矣。猶未也，然勤而不怨矣……

為之歌鄭，曰美哉，其細已甚。民不堪也，是其先亡乎。

為之歌齊，曰美哉，泱泱乎，大風也哉。表東海者，其太公乎……

為之歌大雅，曰廣哉，熙熙乎，曲而有直體，其文王之德乎。

在培養氣質上，師友的關係至為重要。

韓愈師者，傳道授業解惑者也。

論語三人行，必有我師焉。

在與師友相交之際，言必及義，而最重要的善於發問。

善問者如叩鐘，問之大者則大鳴，問之小者則小鳴。

中國科學家最欠缺的是發問的精神。歷史上最著名的是屈原的天問篇︰遂古
之初，誰傳道之，上下未形，何由考之……。日月安屬，列星安陳。

以後的學者很少有這種精神，可能是科學不發達的一個原因。

善於發問後，才能尋找到自己志趣所在，才能夠擇善而固執之。

楚辭民生各有所樂兮余獨好修以為常雖體解吾猶未變兮豈余心之可懲涉江苟
余心其端真兮雖僻遠之何傷

很多同學開始時讀書讀得很好，以後就灰心了，不求上進，一方面是基礎沒
有打好，又不敢重新再學，一方面是跟師友之間的關係沒有搞好，言不及義，得
不到精神上的支持。有些則名利薰心，不求上進。我有些學生畢業時很踏實，受
到表揚，就以為自己了不起，事實上學問還沒有成熟就凋謝了。

離騷何昔日之芳草兮，今直為此蕭艾也。

豈其有他故兮，莫好修之害也。

以下引韓愈作文的態度實在值得各人去參考︰韓愈答李翊書始者非三代兩漢
之書不敢觀，非聖人之志不敢存，處若忘，行若遺，儼乎其若思，茫乎其若迷。
當其取於心而注於手也，惟陳言之務去，戛戛乎其難哉！……

其觀於人也，毀之則以為喜，譽之則以為憂，以其猶有人之說者存也。如是
者亦有年，然後浩乎其沛然矣。吾又懼其雜也，迎而距之，平心而察之。其皆醇
也，然後肆焉。雖然，不可以不養也。行之乎仁義之途，游之乎詩、書之源，無
迷其途，無絕其源，終吾身而己矣。

一九六六年我進了中文大學。雖然對歷史抱着濃厚的興趣，我還是選擇了數
學作為我的事業。

就在這時，中學時念的高等數學漸漸消化，開始時還不大懂，但一下子全都
懂了。我比班中同輩高明不少。

大學的數學使我大開眼界。連最基本的實數系統都可以嚴格的建立起來，着
實另人興奮萬分。當我了解數學是如此建構後，我寫信給教授，表達我的喜悅。
這是本人賞析數學之始。

一位剛從柏克萊畢業的博士來了香港，他名叫史提芬色拉夫﹙Stephen Salaff
﹚. 他對我大為讚賞，我們合寫了一本有關常微分方程的書。

另外一位老師布狄﹙Brody ﹚來自普林斯頓。他有一套獨特的教學法。他找
來一本高深的數學著作，然後要求學生在書中找尋錯誤，並提出改正的方法。

這是讓我們不要盲目依賴書本的良方。同時也訓練了我對書本上定理採取存
疑的態度。

我有時將某些定理推廣了，在課堂上說出來，他聽了很高興。

這些教導的重要性在於──培養成獨立思考的習慣──在人前表達數學同時
在表達數學的時候，找出自己的弱點，與同學和老師一同切磋。

這不論對自己或對自己日後的教學都十分要緊。

古人說學無常師，其實教亦無常法，有之，因人而施教也。

孔門弟子問仁，孔子對每個人有不同的回答方法，而孔門弟子因此各有所長。

孔子教學有禮樂射御書數。

西方Plato 教學有幾何、數論、天文和音樂，合稱數學。

古今中外都以培養通材為訓練領袖的主要過程。

現代社會需要政界和工商業的領袖，也需要大量的工人、會計師、律師等的
白領階級和藍領階級，訓練他們可能有不同的層次。

但是有一點很重要的︰作為一個知識分子必需要具有推理的能力。

自古以來最要緊和最富用途的就是三段論證方法。

在學校學習邏輯方法最好的莫過於平面幾何的公理系統。熟習證明使我們思
考清晰。

良好的中學教科書，必需要包含公理系統的學習。平面幾何的本身可能沒有
用途，但是它的方法卻是最重要的。

正如朱自清寫的荷塘月色的內容可能不重要，但我們要學他的文字的應用，
書寫流暢的做法。

學習需要融匯貫通，更需要博聞強記。

有些人以為數學每一步都可推理，不宜強記，這是極為可笑的說法，我還沒
有親眼看過一個偉大的數學家有這種能力。即使在做研究的時候，我們不能不記
憶前人或近人的工作，使我們能夠向前作新的研究。

往往記熟某一門技巧後，我們會突然融匯貫通，所以多做習題是很緊要的事，
假如能夠讓學生在課堂上有所表現，不單老師對他們了解，他們也了解自己有甚
麼不懂的地方。

學生既要強記，亦要貫通，兩者能混而為一乃是絕妙之處。

同一個問題，可能有超過很多個不同的解法，學生能用不同的方法解題，值
得鼓勵。譬如來說，畢氏定理是數學中最基本的定理，古往今來有無數的不同證
明，能夠舉出一些不同的證明，會讓學生了解不同的看法可以達到同一的目標。
近代數學的大發展，往往起源於用不同的手法解決同一的問題，所以不可少看這
些不同的證明。

數學既可以實用，亦獨立為一至為美麗的學科，習題可以重視實用，但絕對
要討論看來無用但美麗的工作，重要的數學的發展可以從實用而形成，也可以追
求純美而成功，要注意的是︰所有重要的實用數學都建基在純美的數學上。

數學家和數學是分不開的，能夠多談數學歷史和數學家的經歷，會對培養學
生的興趣有極大的幫助。

一本數學教科書能夠引導學生的興趣是一本最成功的教科書，可以講故事﹙
數學家的故事、創造這些命題的過程、中國數學、希臘數學、巴比倫的數學、阿
拉伯的數學，都是有意思而影響着近代數學家思維的常識。﹚，可以跟其它學科
如物理、工程、經濟、音樂等等溝通的數學都值得討論。

能使學生以學數學為樂乃是成功的教科書。

雖然只讀了三年大學，已經完成了大學的課程。在色拉夫教授的幫助下，我
進入了柏克萊的研究院。柏克萊的數學系當時在世界數一數二。我八月入校，便
認識了陳省身教授。他後來成為我的論文導師。

在香港時我醉心於極度抽象的數學﹙當然我的分析功夫也很紮實﹚，覺得數
學愈廣泛愈好。我打算念泛函分析，已經學了不少這方面的東西，包括丹福一史
華滋有關的巨冊，還有不少有關算子代數的書。

到柏克萊後，認識不少卓越的學者，我的看法改變了。

我如饑似渴地從他們處學習不同的科目。從早上八時到下午五時我都在上課
﹙有時在班上吃午飯﹚. 這些學科包括拓樸、幾何、微分方程、李群、數論、組
合學、概率及動力系統。我並非科科都精通，但對某幾門學問格外留神。

學拓樸時，發現跟以前學的完全不同。班上五十人，每個人看來都醒目在行，
比我好多了。他們表現出色，說話條理分明。

於是我埋首做好功課，不久之後，我發現自己畢竟也不賴。關鍵是做好所有
棘手的題目，並把這些題目想通想透。

我讀了約翰米拿﹙John Milnor ﹚的一本書，對裡面講到的曲率的概念深深
着迷。米拿是位卓越的拓樸學者。

我開始思考與這書有關的問題，並大部分時間呆在圖書館。當時研究生並沒
有辦公室。柏克萊名牌教授不少，然而不久之後，我對他們竟有英雄見慣的感覺。
在圖書館裡我讀了不少書藉和期刊。

在柏克萊的第二個學期，我漸漸能證出一些不簡單的定理。這些定理與群論
有關。在崇基時，我跟老師聊天時曾談及有關的內容，我現在把它用到幾何上去。
教授都為我的進展而驚訝不已，欣慰非常。其中一位教授開始與我合作，寫了兩
篇論文。陳省身教授其時正在放年假。當他回來時，對我的表現甚為嘉許。

縱然如此，對這些工作我倒不覺得怎樣。摩里教授﹙Charles B. Morrey ﹚
有關非線性偏微分方程的課，另人難忘。他教授的非線性技巧，當時並不流行。

他的書也佶屈聱牙。但我隱隱感覺到他發展的技巧十分深奧，對未來幾何學
的發展舉足輕重。我用心地學習這些技巧。雖在盛名之下，聽他課的學生同事都
不多。到學期終結時，我竟成為他班上唯一的學生。他索性就在辦公室里授課了。
這科目後來成為我數學生涯的基石。

完成幾篇文章後，陳教授到處說我是何的出色，雖然他對我的工作認識不深。
我開始全盤地思考數學，尤其是幾何。我也試圖去研究幾何學的其它問題，可是
進度緩慢。

這年夏天老友鄭紹遠從香港來了，我們在校園旁租了一所〝柏文〞，心情更
加開朗了。

就在這個夏天，我請求陳教授當我的論文導師，他答應了。約一個月後，他
告訴我，我在一年級時的文章，已夠格作為畢業論文。我有點悶納，心想這些工
作還不夠好，而且我還希望多學點東西。

就這樣，在第二個學年中我學了不少復幾何及拓樸。陳師對我期望甚殷，他
提議考慮黎曼猜想。十分遺憾的是，到目前為止，我還沒有想過它。

代而之者，我嘗試去了解空間的曲率。我確認卡拉比﹙E. Calabi ﹚在五十
年代作出的某建議，會是理解這概念的關鍵。當時我不認為卡拉比是對的。我開
始對此深思苦想。這並不是個當代幾何學者研究的標準課題，明顯地，這是分析
學上的一道難題，沒有人願意跟它沾上邊。

我漸漸養成把分析作為工具引進幾何中的志趣。在此之前，曾有人把非線性
理論用於三維空間的曲面上。但我考慮的，卻是任意維數的抽象空間。

由於摩里教授及陳師對極小曲面的興趣，我亦對這項目深深着迷。對調和映
照尤其情有獨鍾，並因此鑽研了變分法。

我對幾何中的所有分析內容都感興趣。簡而言之，就是要把非線性微分方程
和幾何融匯成一體。要了解非線性方程，就必須先了解線性方程。因此我建立了
在流形上調和函數的主要定理。在我的影響下，鄭紹遠研究了有關的特徵值及特
征函數等問題。我們合作寫了幾篇重要文章，到而今還是這項目的基礎。

畢業時我得到幾份聘書。陳師提議我到高等研究所，那兒的薪水不及哈佛提
供的一半。但我還是到那兒去了。在高等研究所我認識了其它科目出色的數學家。
同時提升了對拓樸，尤其是空間對稱理論的鑑賞力。事實上，利用分析的想法﹙
在流形上的群作用﹚，我解決了這科目的一些重要課題。

由於簽證的問題，我到了紐約石溪分校。當時石溪是尺度幾何的重鎮，事實
上那兒真的不錯，聚集了一批朝氣勃勃的幾何學家。我學習他們的技巧，但並不
認為那是幾何的正確方向。

一年後我到了史丹福，當時那裡並沒有幾何學者。

史丹福環境安寧，非線性偏微分方程很出色。在那裡我碰見好友李安西門及
共同的弟子孫理察。我們一起拓展了在幾何上的非線性分析。

晉‧；陶淵明久在樊籠里，復得返自然。

我剛到史丹福時，一個幾何大會正在舉行。

有位物理學家應邀就廣義相對論發言。

當時我對物理還不算在行。但對他提及有關相對論的一個幾何問題卻一見傾
心。賦予空間的數學解釋，與空間物理導出數學問題，兩者皆令人神往。

這問題當時對我而言，還是遙遠不可及。但我對它念念不忘。

在會議期中，我找到了一個辦法，去反證卡拉比的提議。我發表了我的想法，
反應似乎不錯，沒人提出異議。人們都鬆了口氣，畢竟大家都猜對了，卡拉比猜
想是不對的。

兩個月後，卡拉比教授寫信給我，釐清了我的一些想法。

我在推理中找到一個嚴重的決口。在我的研究生涯中，這可說是最痛苦的經
歷了。我輾轉反側，不能成眠。

差不多兩個星期都失眠，眼見名譽因犯錯﹙雖然我沒把想法成文發表﹚而毀
於一旦。

經過反覆仔細審閱每個步驟後，我相信問題反過來才對。為卡拉比猜想舉出
反例，其論據是先假設它是對的，然後考慮其後果。數年後，當我解答了這個猜
想，很多有關的自然推論就水到渠成了。

意識到卡拉比猜想是對的後，我便朝着正確的方向邁進。在準備最後的證明
前，需要大量的準備工作。我和鄭紹遠合作研究蒙奇─安培方程、仿射幾何、極
大曲面等相關問題。與孫理察合作搞調和影照，與孫理察和李安西門搞極小曲面。
在短短兩年裡，我們於與幾何有關的非線性分析，碩果纍纍。這是幾何學的黃金
時代。

屈原固余心之所善兮，雖九死而猶未悔。

新婚伊始，我找到完成卡拉比猜想的正確想法。

我終於掌握了凱勒﹙Kahler﹚幾何中的曲率了。

一些老大難的代數幾何問題，都因卡拉比猜想的證明而解決掉。

當時我認為我首先了解到Kahler幾何的曲率結構後，有物我相融的感覺︰落
花人獨立微雨燕雙飛

紐約時報 2003 年9 月2 日宇宙一懸案眾人答案殊弦理論中的一個困難在於
它要用十維的時空來描述，而我們生存的空間只有四維而已。史創敏格﹙Strominger
﹚博士回憶起他在找到數學家丘成桐博士的一份論文時的萬分喜悅之情。丘博士
現在任教於哈佛大學及香港中文大學。在這篇文章里他證明了尤金尼奧‧；
卡拉比﹙Eugenio Calabi﹚博士提出的猜想。卡拉比博士現已從賓夕凡尼亞大學
退休。猜想指出這些額外的維數雖然不可捉摸，但在微觀下可以想象它們捲曲起
來，就像地毯的小毛圈。

完成卡拉比猜想的證明後，我看出自己建立了融合兩門重要科目──非線性
偏微分方程和幾何──的架構。

一九七六年我在UCLA碰見老友麥克斯﹙Meeks ﹚，他是我在研究院時的同學。
他的景況不大好。Meeks 是位具原創性的數學家，我向他提議合作，試圖把極小
曲面和三維流形的拓樸聯繫起來。

結果成績斐然。我們解決在這兩門科目中的兩個經典難題︰ 1. 當一塊肥皂
膜的邊界是凸時，膜面不能自相交。

2.史密斯猜想的證明，這是與霍斯頓﹙Thurston﹚工作結合的成果。

一旦把方向校正了，很多古典問題便能迎刃而解。

次年，我回到柏克萊訪問，並組織了" 幾何上非線性問題" 的研討班。孫理
察和鄭紹遠都在那兒。和理察一起，我們終於解決了那個使我念念不忘的有關廣
義相對論的難題。

這道難題叫做正質量猜想，它在廣義相對論中占基本的地位。﹙只有當質量
為正時，時空才能穩定。﹚

一九七八年我又回到史丹福。和蕭蔭棠一起，我們利用極小曲面作為工具，
解決了復幾何上有名的法恩科﹙Frenkel ﹚猜想。我也利用了調和映照作為工具
去研究離散的群對稱。這些想法，迄今仍有其價值。

利用我們在廣義相對論的工作，孫理察和我研究了具正純量曲率的流形的結
構。

一九七九年我們在高等研究所舉辦微分幾何年。差不多所有幾何學家都來了。
我們為幾何學厘定了發展的方向。我提出一百條在幾何里的有趣問題。到目前為
止，有的已經解掉了，但有的還是迄立不動。

七十年代確是幾何學的豐收期。

到了七十年末期，我在數學界可說是略有名望。對於我解決的難題，媒體也
有廣泛報導。

然而，認為我的奮鬥目標是獎項，是成名成家，那就不對了。這些都不是本
人研究的首要目標。

我對數學的興趣，源於人類智能足以參悟自然的欣喜。從幾何上看，大自然
的美是永恆不朽的。

與朋輩如孫理察、西門、鄭紹遠、麥克斯﹙Meeks ﹚、烏蘭貝克﹙K. Uhlenbeck
﹚、漢米爾頓﹙R. Hamilton ﹚，和稍後的當勞遜﹙S. Donaldson﹚、塔貝斯﹙
H. Taubes ﹚、惠斯根﹙G. Huisken﹚等人的共同努力下，幾何上的非線性分析
已匯成大流。它於探討自然之美中的作用不容低估。晚近的進展更顯示它在物理
及其它應用科學中的重要性。

當幾個重要領域──幾何、非線性分析、代數幾何、數學物理──自然地融
合在一起後，經典的老大難題便會迎刃而解。解決難題可以視為人們理解大自然
的路燈柱。

但是幾何學實在超越了科學家的想象，它日新月異，觀念層出不窮，偉大的
數學家高斯曾說︰ C. F.高斯（1817）

" 竊意以為幾何之本，其真偽實非人類心智所能證明，亦非人類心智所能理
解者，余意於此，日久邇堅。此等空間之屬性，莫測高深，後之來者，或有灼見，
得窺堂奧。惟今之世，吾輩宜視幾何學與純先驗之算術為殊途，宜彼與力學並列
也。"

在過去十年間，我和合作夥伴正在致力研究基本物理在幾何中的作用。為了
從物理中掌握動機後面的直觀，我花了不少時間參加物理系辦的研討班。在與理
論物理學家的交往中，我們獲得了一些數學上深刻的定理。

其中重要的概念是所謂對偶性。

對偶性這概念，優美典雅。它指出在某理論中的強作用等同於另一理論中的
弱作用。

這與中國道家或陰陽有不少共通之處。但對偶性嚴格得多，同時它是定量的。
利用它我們可以算出某些數學量。如果用其它方法來進行，那是極度困難的。

為數學而數學，實屬顯然，何須三思。

於無用諸物理學之種種數學理論，均需一視同仁，與其它理論無分軒輊。

- 彭加箂

使余復稚年，童蒙初習，則願從柏拉圖之教晦，自數學始。

- 伽里略

關於香港數學課程的評論，在上述個人的經歷中，我已經指出我在香港受到
良好的數學教育，但是由我接觸到的香港學生和教育工作同事的談論中，我發覺
香港的數學教育質素，與當年的名校相比，質素有明顥的下降。

一方面注重普及教育，在有意和無意間，將有興趣和有意義的數學教育忽略。
即使學生質素良好，只是學習淺易的課題，既無挑戰性又無興趣，慢慢就喪失學
習的目標，而自暴自棄。在九零年代，香港很多好的中學生高中到外國留學實在
不少，但是即使留學的中學生，大多不想念研究院，與五零年代到八零年代中葉
大不相同，留在香港讀大學的學生，對基本科學的興趣也極為缺乏。

但是這三年來香港學生開始對學問又重新拾起興趣，但是太過注重普及教育，
而不教育美麗而能夠幫助訓練學生邏輯的幾何學，是一個很大的錯誤。

數學裡面種種的分枝，如概率論、線性方程組、微積分、代數和它們在物理
學、工程學和經濟學上的應用都應當使學生有所接觸，更重要的是要求他們做習
題，融會貫通的唯一方法是多學多思考多討論，並多接觸課外書。

Thank you all ！