假如在你面前放着一堆桔子，怎么摆放才能最节约空间？

别以为这只是困扰水果店老板的日常烦恼之一。虽然任何人都可以凭着经
验或直觉断定，把上一层桔子交错着放到下一层桔子彼此相邻的凹处，显
然要比直接一个叠一个的摆放更合理，也更节约空间。但是，谁能从数学
上证明，的确不存在比这更合理的方法呢？

事实上，在400多年的时间里，由罗利爵士（Sir Walter Raleigh）最早提出
的这个问题——“开普勒猜想”（Kepler’s Conjecture）——难倒了众多
数学家。虽然最新一期的《数学年刊》（Annals of Mathematics）上刊登
了匹兹堡大学数学教授托马斯·海尔斯（Thomas C Hales）1998年完成的
证明论文，但此种权威数学界承认某一难题有了最终解答的通常形式，这
一次似乎却引起了更大的争论。争论的中心便是，你信得过一台计算机的
计算结果吗？

说起开普勒猜想的历史，要回到1590年的某一天。在为自己的船队出海远
征前准备物资时，沃尔特·罗利爵士突然想到:能不能根据一堆摆放整齐的
炮弹的高度，推算出这些炮弹的准确数目呢？他的助手、数学家托马斯·
哈里耳特（Thomas Harriot）几乎毫不费力的就给出了答案。然而，当更
深入地思考这个问题时，哈里耳特却发现，其中的奥秘并不那么简单。水
手们惯常使用的摆放方式是否是最节约空间的方式？怎样摆放球体，才能
使它们占用最少的地方？哈里耳特设想出了多种堆放模型，并在此基础上
发展出了自己的原子理论。

几年后，在写给著名天文学家开普勒（Johannes Kepler）的信中，哈里耳
特提到了这个问题。在经过一系列的试验之后，开普勒在1611年出版的小
册子《新年礼物——论六出的雪花》中提出了自己对于问题正确解答的猜
想:当大小相当的球体按照“面心晶体”——球心位于正方体各面的中心
上——的形式，并且将第一层摆放成六角形时，它们占用的空间最小，对
空间的利用率可以超过74%。虽然开普勒没有为自己的猜想给出证明，但
他的影响力却使该问题自此被命名为“开普勒猜想”。

开普勒猜想被提出之后，许多数学家都试图为其给出证明。但直到200多年
后，另一位伟大的数学家高斯（Carl Friedrich Gauss）才在1831年部分证
明了开普勒猜想，即对于规则形状，开普勒猜想是正确的。但在此之后，
开普勒猜想的证明工作再度停滞。在1900年的国际数学家大会上，数学家
大卫·希尔伯特因此将其列入了著名的“二十三个未解数学难题”之一。

1953年，匈牙利数学家拉兹洛·费耶·托斯（Laszlo Fejes Toth）指出，
无论对于规则和不规则形状，开普勒猜想的证明都可以减少到有限次
数——但数目极为庞大——的计算。这就意味着，从理论上讲，一种穷尽
所有可能的证明方式是可行的。而一台速度足够快的计算机就可以将这种
设想变为现实。

从1992年开始，遵循着托斯的思路，当时在密歇根大学的海尔斯开始与自
己的学生合作，使用计算机辅助证明开普勒猜想。在经过了6年的运算后，
1998年8月，海尔斯宣布证明完成。他的全部证明包括250页笔记，3GB的
计算机程序、数据和运算结果。

虽然海尔斯的证明是如此的有异于常态，但《数学年刊》还是同意发表这
篇论文。为此，《数学年刊》还特意聘请了匈牙利科学院的加伯·费耶·
托斯（Gabor Fejes Toth）——拉兹洛·费耶·托斯的儿子——担任评审
委员会的负责人。

开普勒猜想并不是第一个依赖计算机获得证明的著名数学难题。1976年，
伊利诺伊大学的两位数学家就使用计算机证明了著名的四色定理，即任何
一幅地图，只需要使用四种颜色，就能确保相邻的两个地区颜色不会相
同。这个证明发表后，数学家们不断地从中发现若干错误。虽然每一次有
错误被发现时，研究人员都能迅速地改正这些错误，但这却给许多数学家
留下了非常糟糕的印象。

为了避免重蹈四色定理证明的覆辙，《数学年刊》的工作人员决定对开普
勒猜想的证明进行彻底而谨慎的检验。但是，在花了近6年的时间验证了海
量的数据后，去年，评审委员会却无奈地宣布放弃全面验证开普勒猜想证
明结果的计划。他们验证到的所有部分都丝毫无误，但要把全部数据都一
一核查清楚，却是一件几乎不可能完成的使命。

《数学年刊》无奈之下，想出了一种变通的解决办法。他们打算在发表的
论文之前加上一条免责条款:本证明大部分，但非全部，被验证过。但是，
这个主意却遭到了许多数学家的批评。最后，在征求了另一位数学家的意
见后，《数学年刊》做了一个所罗门王式的决定。把论文一切两半，刊登
已经使用传统方式验证过的证明，舍去计算机运算的数据。

其实，围绕开普勒猜想证明的一系列争论，很大程度上是“数学课是否应
该允许学生使用计算器”的高端版本，只不过争论的双方变成了专业的数
学家，而价值判断的取舍也更为困难。问题的焦点在于，如果接受了海尔
斯的证明，也就意味着，假定计算机在执行计算时完全无误，不会存在任
何微小的程序错误。而是否真的是这样，人类很难凭借自己的能力做出判
断。就像普林斯顿数学教授约翰·康威（John Conway）在接受《纽约时
报》采访时说的:“我不喜欢它们（计算机证明），因为你感觉不知道究竟
发生了什么。”

对于一向追求凭逻辑和运算即可判定真伪，并以明确简洁的证明为“好的
数学”的原则的数学界而言，这无疑是让人非常难以接受的结果。更何
况，计算机的运算也并非无可挑剔。英特尔公司就一直在使用校验工具软
件检查其计算机芯片的运算法则，希望避免1994年奔腾芯片曾经出现过的
数据运算错误再度发生。

不过，也有乐观的数学家指出，既然现在最好的计算机可以在比赛中打败
世界象棋冠军，那么，未来的计算机也应该能够解出难倒了最伟大的数学
家的数学难题。但问题的关键似乎不在于此。开普勒说过，数学是惟一好
的形而上学。用计算机如此形而下的方式解答他留下来的猜想，多少总有
些讽刺的味道罢。