黎曼問題 中國初值

２０世紀６０年代初，原子彈及三峽大壩工程的研究部門分別向中科院數學所提出了有關衝擊波及涌波的問題。這些問題都可以歸結為非線性雙曲型守恆律的間斷解研究。按照研究室主任吳新謀的安排，我和郭於法等四人組成一個小組，自行研讀文獻，各自選題從事有關基礎理論研究。在調研中，我被１．Ｍ．Ｇｅｌｆａｎｄ的文章《擬線性方程理論的若干問題》中有關黎曼問題的論述所深深吸引。

描寫氣體運動的基本方程是歐拉方程，它由質量、動量和能量三個守恆律組成，它的最大特點和困難在於解中會出現間斷現象，衝擊波就是一種壓縮性的間斷。１８５８年，黎曼緊緊抓住了間斷現象這一特點，提出並解決了歐拉方程一種最簡單的間斷初值問題�熂闯踔禐楹�有一個任意間斷的階梯函數�牐�被後人稱為黎曼問題。黎曼構造出了它的四類解，它們分別由前、後向疏散波和前、後向衝擊波組裝而成。並利用相平面分析方法給出了此四類解的判別條件。黎曼的這一工作開創了“微分方程廣義解”概念及“相平面分析”方法之先河，具有極大的超前性。黎曼以其敏銳的洞察力和巨大的創造力為非線性雙曲型守恆律的數學理論奠定了第一塊基石。

１９６２年，我被這一工作的簡潔、優美和深刻所深深打動，毅然將黎曼問題選定為自己的研究方向，希望把黎曼的工作推廣到更一般的方程甚至高維的情形。在幾乎不被周圍人們理解和接受的情況下，我興致盎然地走上了一條充滿挑戰的探索之路。

幾個月後，我對Ｇｅｌｆａｎｄ文中提出的未解決的問題悟出了一個富有幾何直觀的想法：用構造凸包的方法將歐拉方程中的凸函數推廣至非凸函數，從而將黎曼的結果推廣至非凸方程的領域，並澄清了有關的熵條件。

與此同時，吳新謀指導的畢業論文小組曾試圖將黎曼的結果推廣至初值含有兩個間斷的情形，其實質是研究兩個黎曼解中所含的四道基本波的相互作用。我和郭於法用相平面分析方法找出了前向疏散、後向壓縮的一般初值，並證明了整體解的存在性，以及初值所具有的前向疏散、後向壓縮性質對時間的不變性。這是歐拉方程整體間斷解存在性證明的第一個結果，１９６５年在《數學學報》上發表。

二維問題 中國學派

１９８４年我開始考慮二維問題，和學生陳貴強合作完成了兩篇論文，一篇澄清了二維非線性雙曲型守恆律的一些基本概念，另一篇給出了二維衝擊波反射問題中出現正規反射的充要條件。

歐拉方程的二維黎曼問題是一個著名難題，在２０世紀８０年代甚至它的提法都有待澄清。１９８５年，我和學生鄭玉璽研究了最簡二維模型�焼蝹�守恆律�牭睦杪鼏栴}。

１９８６年９月，根據中科院與美國國家基金會的有關協定，由美方提名，我赴馬里蘭大學訪問半年。期間訪問Ｂｅｒｋｅｌｅｙ時，與鄭玉璽一起對解決上述問題提出了自己的分析和猜想。

總而言之，一維黎曼問題澄清了守恆律的基本波，而二維黎曼問題則揭示出這些基本波在跨音速流動中相互作用所形成的各種基本流場結構。

此套猜想於１９８７年５月在Ｂｅｒｋｅｌｅｙ舉行的有關會義上宣布後引起強烈反響。會議主持人，美國國家科學院Ｊ．Ｇｌｉｍｍ院士在次年發表的綜述性文章中稱：“一套完整的猜想已經形成。”１９９０年“猜想”以３８頁的篇幅在美國發表。後續性的工作有以下三方面：

Ａ．完善分類：根據旋度的符號將滑移面分順、逆時針兩類，將分類最終完善為１９類。其中主要的６類都包含在原來的分類中。

Ｂ．數值實驗：分別用三種完全不同的計算格式對猜想做數值實驗，計算結果完全相同，與猜想基本相符。

Ｃ．嚴格證明：嚴格證明極其困難。從１９８６年起，我先後帶領的九個學生從簡化模型入手，逐步向Ｅｕｌｅｒ方程副近，主要進展如下：

Ｃ１．最簡模型（單個守恆律）已完全解決。除前述與鄭玉璽合作的工作外，我與學生張朋在進一步考查初值為三片常數的情形時，發展了廣義特徵方法，得到了衝擊波相互作用時出現類馬赫反射的充分必要條件。

Ｃ２．根據力學的啟示，李蔭藩和曹亦明１９８５年在研究計算方法中曾將歐拉方程拆分為等壓流方程（反映慣性效應）和壓差流方程（反映壓差效應）。

Ｃ３．歐拉方程：２０世紀五六十年代蘇美學者曾考慮過靜止氣體向真空的膨脹，但問題遠未解決。１９９９年，我的前學生李傑權經過數年的探索，十分巧妙地找到了一組黎曼不變量，將非線性雙曲型方程組變換成線性退化雙曲型方程組，從而圓滿解決了該問題，終於跨出了嚴格證明“猜想”的第一步，這是高維歐拉方程非軸對稱解大範圍存在性的第一個證明。

還可以提及的是，１９９７—１９９８年，我和鄭玉璽曾將四片常狀態的初值推廣為無窮多片常狀態，而考慮歐拉方程的軸對稱解，將問題歸結為一個三維動力體系的奇點連接問題。不同於有關經典理論，此時軌道可通過間斷（衝擊波）來過渡。我們經過精細分析將問題完全解決，共構造出五類解，其中包含了旋渦、真空、衝擊波、疏散波及常狀態的不同組合，並找到了一個旋渦的解析解。

三件幸事 選題當先

回顧４０多年的工作歷程，我有幸事三件：

一、來到了數學所這塊寶地，選了一個好題目；

二、在興趣的驅動下，經過４０年的長期探索，找出了一條解決此難題的道路；

三、遇上了很多很多的學生和合作者，使我的征途充滿了友誼、快樂和活力。

但願今後有青年人把我們找到的這條路走到底。這條路很崎嶇，但沿途的風景很美妙。更盼望青年人找到其他的道路和有效的方法，對解決高維黎曼問題做出更大的貢獻。