看看一般有理柯西序列定義無理數需要多少手腳。

(1) 用e-N語言判斷有理柯西序列。
對 n, m 大於 N，|an - am | 小於 e
(2) 用e-N語言定義次序
對 n 大於 N，an 大於 bn，那麼an所代表的數 大於或 = bn 所代表的數。
對 n 大於 N，|an - bn| 小於 e，那麼，an所代表的數 = bn 所代表的數。
否則它們所代表的數不等。

把上述的敘述(不能問為什麼)都設成公理，才勉強達到與無限不循環小數定義
無理數的相同的邏輯嚴格性。

而無限不循環小數的定義沒有用e-N語言，建立次序非常簡單。做+，-運算無
限不循環小數也比一般有理柯西序列簡單。證明兩個有理數夾一個無理數，兩
個無理數夾一個有理數，還是無限不循環小數簡單。

做了這麼多手腳，一般有理柯西序列定義無理數逃過了邏輯循環，但在教學上
是不會成功的。把e-N語言敘述作為公理強加給剛學完有理數的學生，對學生來
講是天書。

一般有理柯西序列這樣定義無理數雖然沒提極限，實際上是用了極限概念，違反
了先學無理數，後學極限論的時序。

其實柯西收斂準則用作判斷序列收斂是合適的，柯西序列定義無理數是不合適的。