证明：

2^(n+1) - 7*[f(n-1)^2]是一个完全平方数。

解：

当n=2时，2^3-7=1是完全平方数。

2^(n+2)-7*f(n)^2]= [2^(n+1)-7*f(n-1)^2]+[4(2^n-7*f(n-2)^2)]-

                                 2[2^n- 2(7)f(n-1)f(n-2)]        (1)

如果(1)中第一个[]乘第二个[]=第三个[]的平方，命题得证。就令

(1)中第一个[]乘第二个[]=第三个[]的平方,得

2^(n-2)=f(n-1)^2+2f(n-2)^2+f(n-1)f(n-2)               (2)

现在用数学归纳法证明(2)

将f(n) = -f(n-1) - 2*f(n-2)代入下式

f(n)^2+2f(n-1)^2+f(n)f(n-1)

得到

f(n)^2+2f(n-1)^2+f(n)f(n-1)=2[f(n-1)^2+2f(n-2)^2+f(n-1)f(n-2)]

将归纳假设(2)代入上式得

2^(n-1)= f(n)^2+2f(n-1)^2+f(n)f(n-1)                (3)

用n=2验证(3),成立。这样我们就证明了(2)。从而，证明了(1)的左端是完全平方数。