证明：

边长为a的正三角形，有

a^2 + a^2 +a^2 = 4√3A           (1)

证明很简单，从略。

假设有一个面积为A的任意三角形。边长按顺序排列，把中间的边看做底边a，高为h。过最高顶点做垂直于底边的垂线。垂点到底边一个端点的距离为x。

两个斜边平方和是

h^2+x^2+h^2+(a-x)^2=2h^2+2((x-a/2)+a^2/4)

当x=a/2，两个斜边平方和最小。也就是说底边不动，保持h不变，移动最高顶点，是其变成等腰三角形时，三边平方和最小。原三角形最长边与最短边，变为相等。

重复这样的操作，得到一系列等面积三角形，最短边递增，最长边递减，三边平方和递减。这样的序列极限存在。如果最短边的极限小于最长边的极限，可以找到充分接近极限的三角形，做下一次操作使得最短边超过极限。这矛盾，所以序列的极限值是正三角形。递减序列的首项大于极限值，推出

a^2 + b^2 +c^2 ≥ 4√3A